Контрольная работа: История комплексных чисел и основные открытия комплексного числа учеными

Позже оказалось, что еще удобнее представлять число не самой точкой , а вектором , который проходит в данную точку из начала координат. При подобном толковании сложение и вычитание комплексных чисел отвечают этим же операциям над векторами.

Вектор имеется возможность задавать не только его координатами  и , но в свою очередь длиной  и углом , который он создает с положительным направлением оси абсцисс. При этом , , и число  принимает вид , который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число  называют модулем комплексного числа  и обозначают . [5, с.75]

Число  называют аргументом  и обозначают . Отметим, что если , значение  не установлено, а при  оно установлено с точностью до кратного .

Упомянутая ранее формула Эйлера дозволяет записать число  в виде (показательная форма комплексного числа). [1, с.119]

Геометрическое объяснение комплексных чисел разрешило предназначить многочисленные определения, которые связаны с функцией комплексного переменного, увеличило сферу их использования.

Из чего можно заключить, что комплексные числа могут быть полезны во многих вопросах, где они имеют дело с величинами, которые представлены векторами на плоскости, а именно: при исследовании течения жидкости, задач теории упругости.

Долгое время не получалось отыскать таких физических величин, над которыми можно было бы совершать действия, подчиненные тем же правилам, что и действия над комплексными числами - в частности правилу. Отсюда и названия: «мнимая единица», «мнимое число» и другие в настоящее время известен множеством таких физических величин, и комплексные числа обширно используются не только в математике, но и в физике и технике. [7, с.96]

Можно оставить в стороне вопрос о геометрическом или физическом смысле числа, так как в разных сферах науки такой смысл разнообразен.

Правило каждого действия над комплексными числами выводится из установления данного действия. Но установления действий над комплексными числами не выдуманы безосновательно, а введены таким образом, чтобы они согласовывались с правилами действий над вещественными числами. Ведь сложные числа следует рассматривать не в отрыве от реальных, а вместе с ними. [4, с.97]

2 Основные открытия комплексного числаученых

2.1Вклад Декарта в развитие математики как науки

Рене Декарт является французским философом, математиком, механиком, физиком и физиологом. В том числе, создателем аналитической геометрии и современной алгебраической символики, автором метода радикального сомнения в философии, механики в физике, предтеча рефлексологии. [2, с.41]

Декарт является одним из авторов теории уравнений: им сформулировано правило знаков для определения числа положительных и отрицательных корней, поставил вопрос о границах действительных корней и выдвинул проблему приводимости, точнее представления целого числа рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде произведения двух функций этого рода.

Декарт указал, что уравнение 3-й степени разрешимо в квадратных радикалах (а также указал решение с помощью циркуля и линейки, если это уравнение приводимо).

Декарт является одним из создателей аналитической геометрии (которую он разработал одновременно с Ферма), что позволило алгебраизировать эту науку при помощи координатного метода. Предложенная им система координат названа в его честь.

Занятия по математике привели Декарта к открытию новой науки, а именно аналитической геометрии. Сначала он нашел способ записать любую строку, применяя числовое уравнение.

Итак, он как бы комбинировал алгебру и геометрию.

В Голландии в 1618 году Декарт встретился с выдающимся физиком и философом природы Исааком Бекманом, оказавшим значительное влияние на его развитие как ученого. [2, с.56]

В 1637 году Декарт опубликовал основную философско-математическую работу под названием «рассуждение о методе» (полное название: «рассуждение о методе, позволяющем направить свой ум и найти истину в науках»).

В данной книге представлена аналитическая геометрия, а в приложениях представлены многочисленные результаты по алгебре, геометрии, оптике (а также правильная формулировка закона преломления света) и т.п.

Особенное вниманиенеобходимовыделить переработанной им математическую символику Виета, с этого момента близкую к современной. Коэффициенты он обозначал , а неизвестные - .

Натуральный показатель принял современный вид (дробный и отрицательный, установленный Ньютоном). Появилась черта над радикалами. Уравнения даны в каноническом виде (в правой части представлен ноль).

Символическая алгебра Декарта называлась «общей математикой» и она должна объяснить «все, что связано с порядком и мерой».

Создание аналитической геометрии позволило перевести исследование геометрических свойств кривых и тел на алгебраический язык, точнее анализировать уравнение кривой в некоторой системе координат. Создание аналитической геометрии обладает и недостатком, так как необходимо точно определить истинные геометрические свойства, не зависящие от системы координат (инварианты). [2, с.72]

Тем не менее, достоинства нового метода были весьма высоки, и Декарт продемонстрировал их в той же книге, открыв множество положений, неизвестных древним и современным математикам.

В приложении «Геометрия» были даны методы решения алгебраических уравнений (в том числе геометрические и механические), классификация алгебраических кривых.

Новый способ задания кривой является помощью уравнения, который был решающим шагом к понятию функции. Декарт формулирует точное «правило знаков» для установления числа положительных корней уравнения, хотя ему не докажешь.

Декарт изучал алгебраические функции (многочлены), в том числе множество «механических» функций (спирали, циклоиды). Для трансцендентных функций, по мнению Декарта, общего метода исследования не существует.

Комплексные числа еще не были рассмотрены Декартом на равных условиях с вещественными, но он сформулировал (хотя и не доказал) основную теорему алгебры: общее число вещественных и комплексных корней многочлена равно его степени. [2, с.84]

Отрицательные корни Декарт по традиции называют ложной, но в сочетании их с положительными термином действительные числа, отделяя от мнимых (комплексных). Этот термин вошел в математику. Однако Декарт показал некоторую несогласованность: коэффициенты . он был признан положительным, и случай неизвестного знака был специально отмечен многоточием слева.

Все неотрицательные вещественные числа, в том числе иррациональные, рассматриваются Декартом как равные, они определяются как отношение длины отрезка к длине отсчета. Позже Ньютон и Эйлер приняли аналогичное определение числа.

Декарт еще не отделяет алгебру от геометрии, хотя и меняет их приоритеты, он понимает решение уравнения как построение отрезка с длиной, равной корню уравнения. От этого анахронизма вскоре отказались его ученики, прежде всего они, являются англичанами, для которых геометрические конструкции являются чисто вспомогательной техникой.

Книга «метод» сразу сделала Декарта признанным авторитетом в математике и оптике. Примечательно, что она была издана на французском языке, а не на латыни.

Приложение «Геометрия», однако, сразу же было переведено на латинский язык и неоднократно публиковалось отдельно, вырастая из комментариев и становясь справочником европейских ученых. Труды математиков второй половины XVII века отражают сильнейшее влияние Декарта.

В работе «Геометрия» (1637), которая открыла взаимопроникновение алгебры и геометрии, Декарт впервые ввел понятия переменной и функции. В Декартовой системе координат получили реальное истолкование отрицательные числа. [2, с.89]

2.2Гауссовы целые комплексные числа

В 1820-х годах Карл Фридрих Гаусс исследовал биквадратичный закон взаимности и результатом стала монография «Теория биквадратичных вычетов» (1828-1832). Именно в этой работе целые числа доказали свою полезность для решения задач теории чисел, хотя формулировка этих задач не связана с комплексными числами.

Гауссовы целые числа комплексные числа (Гауссовы числа, целые комплексные числа) являются комплексными числами, в которых материальные и мнимую часть чисел.

Множество гауссовых целых комплексных чисел принято обозначать, отражая тем самым тот факт, что оно получается из множества целых комплексных чисел  добавлением в него мнимой единицы  и комбинаций ее с целыми числами.

Гаусс писал, что «естественный источник общей теории следует искать в расширении области арифметики».

В книге Гаусса было показано, что новые числа по своим свойствам во многом напоминают обычные целые числа. Он описал четыре делителя одного, а именно: [2, с.95]

- определено отношение ассоциативности и понятие простого комплексного числа;

- дал критерии простоты и доказанные аналоги основной теоремы арифметики и малой теоремы Ферма;

- подробно рассмотрены вычеты для комплексного модуля;

- подробно рассмотрены индексы и первичные корни.

Главным достижением построенной теории был биквадратный закон взаимности.

Гаусс также использовал числа, которые он ввел в других своих работах, таких как «об алгебраических уравнениях».

Например, кольцо целых чисел Гаусса было одним из первых примеров алгебраической структуры с необычными свойствами.

По аналогии с множеством вещественных чисел делимость в кольце Гауссовых чисел можно отличить по подмножеству целых чисел.  Множество чисел вида  , где  назовем целыми комплексными числами или гауссовыми числами. Нетрудно проверить, что для этого множества выполняются аксиомы кольца.

Таким образом, это множество комплексных чисел  является кольцом и называется кольцом целых чисел Гаусса. Обозначим его как  , так как оно является расширением кольца  элементом, а именно.

Поскольку кольцо гауссовых чисел является подмножеством комплексных чисел, то для него справедливы некоторые определения и свойства комплексных чисел. Так, например, каждому гауссовому числу   соответствует вектор с началом в точке  и с концом в (рис.1). [1, с.140]

Следовательно, модуль гауссова числа есть. Заметим, что в рассматриваемом множестве, подмодульное выражение всегда есть число неотрицательное целое. Поэтому в некоторых случаях удобнее пользоваться нормой, то есть квадратом модуля.

Таким образом,, где   является множеством натуральных чисел, то есть целых положительных чисел Можно выделить следующие свойства нормы.

Так, например, В прямоугольной системе координат комплексное число  играет роль точки в плоскости с координатами (), и эта точка помечается той же буквой  (рис. 1). [1, с.148]

Рисунок 1 - Прямоугольная система координат интерпретации комплексного числа

Кольцо гауссовых чисел - это коммутативное кольцо без делителей 0, так как оно является подкольцом поля комплексных чисел. Отсюда следует мультипликативная сократимость кольца , то есть:

Простое гауссово число является ненулевым числом, не имеющее других делителей, кроме тривиальных. Число, не являющееся простым, называется составным. При этом делители единицы‚ подобно натуральной единице‚ не считаются ни простыми, ни составными числами.

Перечислим некоторые свойства простых гауссовых комплексных чисел: [2, с.106]

- если  простое гауссово число, то и сопряженное к нему гауссово число  тоже является простым;

- если простое гауссово число является делителем произведения гауссовых чисел, то оно является делителем, по крайней мере, одного из сомножителей;

- норма любого простого гауссова числа, кроме ассоциированных с , всегда нечетна и поэтому имеет вид .

Натуральное простое комплексное число может не быть гауссовым простым числом.Например‚ числа 2 и 5 в  уже не простые, а именно:

Гаусс указал определяющие признаки простого комплексного числа в Гауссово число  является простым тогда и только тогда, когда:

- либо одно из чисел  нулевое, а другое целое простое число;