Контрольная работа: История комплексных чисел и основные открытия комплексного числа учеными

История комплексных чисел и основные открытия комплексного числа учеными

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ Государственное Бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт менеджмента и бизнеса

Кафедра Экономики, организации и управления производством

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Математика»

на тему «История комплексных чисели основные открытия комплексного числа учеными»

                                                                  Выполнил студент группы:

                                                         _______________________________

(наименование группы, Ф.И.О.)

                                                                  Проверил  ______Шевелев А.В.______

____________________доцент, к.м.н _________

(Ф.И.О. преподавателя, ученая степень, должность)

Тюмень 2018

Содержание

Введение

Актуальность темы. Решение множества задач по физике и техники ввергает к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Такие уравнения не обладают решениями в сфере реальных чисел. Но решение множества подобных задач обладает совершенно определенным физическим смыслом. Значение количеств в результате решения этих уравнений, назвали комплексными числами.

Комплексные числа являются вещественными числами и мнимой единицей, точнее число, для которого выполняется определенное равенство.

Комплексные числа являются математической концепцией чисел, а именно сумм вещественного и совершенно мнимого числа, точнее вещественного множителя абстрактной квази-величины, где мнимая единица инверсивно устанавливается через утверждение, что ее квадрат равен минус единице.

Комплексные числа были внедрены в математику, чтобы выполнить допустимым действие по извлечению квадратного корня из любого действительного числа. Данное, тем не менее, не является полным основанием для включения новых чисел в математике. Оказалось, что если выполнять вычисления по обычным правилам на выражениях, которые обладают квадратным корнем отрицательного числа, то имеется возможность прийти к результату, который больше не содержит квадратный корень отрицательного числа.

Процесс расширения представлений чисел от натурального к действительному был связан как с потребностями практики, так и с потребностями самой математики. Вначале, для подсчета предметов применялись натуральные числа, а именно:

- необходимость произведения деления повергла к понятию дробных положительных чисел;

- необходимость произведения вычитания к понятиям нуля и отрицательных чисел;

- необходимость извлечения корней из положительных чисел к понятию иррациональных чисел.

Все вышеуказанные операции выполнимы на множестве действительных чисел. Тем не менее существуют также операции, которые невозможны в этом наборе, например, извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Следовательно, существует потребность в дальнейшем расширении понятия числа, в возникновении новых чисел, отличающиеся от действительных.

Геометрически действительные числа представляются точками на координатной прямой: каждому числу соответствует одна точка прямой («образ» действительного числа). Координатная линия полностью заполнена изображениями действительных чисел, точнее «нет места новым числам». Предполагалось, что геометрические изображения новых чисел следует искать не на прямой, а на плоскости.

Целью и объектом изучения является история комплексных чисел.

Для решения задач, необходимо:

а) рассмотреть историю комплексных чисел;

б) определить комплексные числа и их свойства;

в) разобрать действия с комплексными числами.

1 История комплексных чисел

1.1 Формирование понятия о числе

Древнегреческие математики считали «настоящими» только натуральные числа. Потихоньку возникало воззрение о бесконечности большинства натуральных чисел.

В III веке Архимед создал систему выражения близко к такому громадному как.Вместе с натуральными числами использовались дробные числа, состоящие из целой доли единицы. В практических расчетах дроби использовались за две тысячи лет до нашей эры в Древнем Египте и древнем Вавилоне. [7, с.29]

Длительное время считалось, что результат измерения постоянно проявляется или в виде натурального числа, либо в виде отношения этих чисел, точнее дробей.

Древнегреческий философ и математик Пифагор поучал, что «компоненты чисел считаются компонентами всех вещей и весь мир есть гармония и число». Серьезный удар по этой точке зрения нанесло открытие, сделанное одним из Пифагорейцев. Он обосновал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Из этого места следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, чтобы сформулировать длину диагонали квадрата со стороной. Существуют основные положения ратифицировать, что собственно с данного открытия наступает эпоха теоретической математики: невозможно было обнаружить присутствие несоизмеримых величин при помощи опыта, не прибегая к абстрактным рассуждениям. [1, с.34]

Совершенные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, выдал геометрическую интерпретацию и обосновал главную теорему алгебры о том, что каждый многочлен обладает хотя бы одним действительным корнем. [7, с.41]

Следующим значительным шагом в формировании определения числа было основание отрицательных чисел, а именно было выполнено китайскими математиками за два века до н.э.

Отрицательные числа использовались в III веке древнегреческий математик Диофант, который знал правила операций над ними, а в VII веке данные числа уже со всеми подробностями проанализировали индийские ученые, которые ассоциировали эти числа с долгом. При помощи отрицательных чисел имеется возможность одним видом показывать изменения величин. [1, с.55]

Уже в VIII веке было поставлено, что квадратный корень положительного числа обладает двумя значениями, а именно положительным и отрицательным, а из отрицательных чисел квадратный корень извлечь невозможно: нет такого числа, чтобы . [4, с.40]

1.2 На пути к комплексным числам

В XVI веке из-за изучения кубических уравнений обнаружилось важным извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В Формуле с целью решения кубических уравнений вида кубические и квадратные корни обладают видом: [4, с.46]

.

Эта формула хорошо работает, когда уравнение обладает одним действительным корнем, то выглядит (), а если оно обладает тремя действительными корнями (), то под знаком квадратного корня было отрицательное число. Оказалось, что путь к этим корням проходит через невыполнимую операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. После того, как были решены уравнения 4-й степени, математики интенсивно выискивали формулу с целью решения уравнения 5-й степени. [1, с.72]

Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков обосновал, что буквенное уравнение пятой степениневозможно решить алгебраически, а именно невозможно сформулировать корень через буквенные значенияиспользуя шесть алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня). [7, с.52]

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем четыре могут быть решены алгебраически. Тем не менее, любое уравненией степени обладает (если анализировать и комплексные числа)  корнями (среди которых могут быть и равные).

В этом математики были убеждены еще в XVII веке (опираясь на рассмотрении многочисленных частных случаев), но только на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом. [5, с.39]

Итальянский алгебраист Дж. математика. Кардано в 1545 внес предложение установить числа новой природы. Он представил, что система уравнений обладает видом: [4, с.55]

,

Не имея решений во множестве вещественных чисел, существует решение такого вида, , необходимо только согласиться действовать по таким выражениям согласно правилам обычной алгебры и предположить, что.

1.3 Утверждение комплексных чисел в математике

Кардано назвал их «чисто негативными» и даже «софистически негативными», сказал, что они бесполезны и пытался не использовать их. В действительности, при помощи данных чисел невозможно сформулировать результат измерения ни величиной, ни изменением какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году была издана книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были введены первые правила арифметических операций над этими числами, вплотную до извлечения из них кубических корней. [1, с.88]

Название «мнимые числа» ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из общепризнанных математиков XVIII века - Л. Эйлер внес предложение применять первую букву французского слова мнимого указать количество(мнимой единицы). Этот символ уложился во всеобщее использование из-за К. Гаусса. [7, с.63]

Термин «комплексные числа» был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс средств связи, сочетание, комплекс понятий, предметов, явлений и т.д. - образуя единое целое. [4, с.61]

В XVII веке продолжалось обсуждение арифметического характера мнимых чисел и способности предоставить им геометрическое обоснование. 

Понемногу формировалась техническое оснащение по процедурам над мнимыми числами. На этапе XVII и XVIII веков была выстроена общая теория корнейых степеней вначале из отрицательных, а вслед за этим из любых комплексных чисел, которая основана на такой формуле английского математика А. Муавра (1707), как: [5, с.47]

.

При помощиданной формулы, имеется возможность создать формулу для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году примечательную формулу: ,которая связала экспоненциальную функцию с тригонометрической.

С помощью формул Эйлера удалось построить число e любой комплексной степени. Любопытно, например, что. Имеется возможность находить  и от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, точнеевыстроить теорию функций комплексных переменных. [1, с.104]

В конце восемнадцатого века французский математик Дж. Лагранж сумел огласить, что математическое исследование не представляет труда чисто мнимых значений. При помощи мнимых чисел обучились демонстрировать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Эти уравнения можно встретить, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Немного ранее Швейцарский математик Дж. Бернулли использовал комплексные числа для решения интегралов. [7, с.74]

Хотя в XVIII веке многие вопросы решались при помощи комплексных чисел, в том числе прикладных, связанных с картографией, гидродинамикой и другие, но не было построенного логического объяснения теории данных чисел. Вследствие этого французский ученый Лаплас полагал, что результаты, приобретенные при помощи и мнимых чисел,которые являются только наведением, приобретающие характером истинных достоверностей только после доказательства прямыми подтверждениями. [4, с.79]

Ни один человек не сомневался в верности результатов, которые получены при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они играют роль лишь алгебраической формы иероглифов нелепого количества.

После формирования теории комплексных чисел появился вопрос о присутствии «гиперкомплексных» чисел являются числами с несколькими «мнимыми» единицами. Такая система формы обладает видом, где , выстроил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их «кватернионами». [5, с.60]

Правила действий над кватернионами напоминают правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (смещение): например, , а . [1, с.112]

Наибольшее достижение в формирование теории функций комплексного переменного внесли русские, и советские ученые Мусхелишвили занимался ее приложениями к упругости, Келдыш и Лаврентьев занимались аэро- и гидродинамикой, Богомолов и Владимиров занимались проблемами квантовой теории поля.

Комплексные числа обширно применял отец русской авиации Жуковский (1847 – 1921) при создании теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции комплексных переменных используются во многих областях науки и техники. [7, с.85]

В конце XVIII века, в начале XIX века была получена Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Датчанин Вессель, француз Арган и немец Гаусс независимо друг от друга рекомендовали воспроизвести комплексное число в виде точкой  на координатной плоскости. [4, с.88]