Фильтр с 8-ю резонаторами с и
Коэффициент передачи фильтра пропорционален минору
. (10)
Возникающий фильтр называется каскадно-квадруплетным, для него коэффициент передачи пропорционален произведению двух скобок, соответствующих цепям 4-го порядка. В зависимости от знака несоседней связи каждая скобка может дать или пару нулей на действительной оси комплексной - плоскости или пару нулей на мнимой оси комплексной плоскости. Знаки несоседних связей могут быть выбраны независимо. Этот случай хорошо исследован в [13].
(а)
(б)
Рис. 3. Характеристики полосового фильтра с 8-ю резонаторами с несоседней связью : (а) структурная схема и групповая задержка, (б) нули коэффициента передачи
Фильтр с 10-ю резонаторами с
Коэффициент передачи фильтра пропорционален минору , который является полиномом 8-го порядка. Аналитическое выражение для этого полинома слишком громоздко, поэтому приводятся только графические данные. Нули были рассчитаны численно. Для имеются пары нулей на действительной и мнимой осях комплексной плоскости и квадруплет комплексных нулей. Наоборот, для имеются два квадруплета комплексных нулей. На рис. 4 показаны групповая задержка и положение нулей для различных знаков связей.
Таким образом, отрицательная связь между первым и последним резонаторами порождает пары нулей передачи на действительной и мнимой осях комплексной плоскости для структур 6-го и 10-го порядка (следующая структура более высокого порядка с аналогичными свойствами имеет 14 резонаторов). Наоборот, чтобы произвести нули на действительной оси комплексной плоскости для структур с 4-мя и 8-ю резонаторами требуются положительные несоседние связи, а на мнимой оси комплексной плоскости- отрицательные несоседние связи. Влияние нулей коэффициента передачи прототипа на действительной оси комплексной плоскости на ГВЗ поясняется в Приложении.
(а)
(б)
Рис. 4. Характеристики полосового фильтра с 10-ю резонаторами с несоседней связью : (а) структурная схема и групповая задержка, (б) нули коэффициента передачи
4. Численные и экспериментальные результаты для фильтра с 6-ю резонаторами с
Для практических приложений наиболее интересным является случай введения отрицательной некаскадной связи между первым и последним резонаторами в фильтре 6-го порядка, где единственная некаскадная связь производит одновременно пару нулей на мнимой оси и пару нулей на действительной оси комплексной плоскости, что позволяет одновременно улучшить избирательность фильтра и линейность фазы. В таком фильтре имеется минимальное усложнение схемы по сравнению с обычным чебышевским фильтром.
Для экспериментальной проверки выводов исследования был спроектирован, изготовлен и протестирован фильтр с 6-ю резонаторами с дополнительной некаскадной связью , имеющий центральную частоту f0=2642,5 МГц. Технические требования для данного фильтра были следующими: рабочая полоса частот 18 МГц, КсвЈ1,2, вносимые потери в рабочей полосе частот не более 1,2 дБ, вариации ГВЗ в рабочей полосе частот не более 3 нс, ослабление не менее 10 дБ на частотах f0±20 МГц. Полоса фильтра была выбрана от 2628,5 МГц до 2656,5 МГц (добавлено по 5 МГц с каждого края рабочего диапазона частот). Структура фильтра была симметричной и эквивалентная схема фильтра имела следующие параметры: =50 Ом, =284,21 нГн, =1,28ґ10-2 пФ, =1,22, 3,14 нГн, 2,04 нГн, 2,01 нГн, -0,35 нГн. Нули коэффициента передачи НЧ-прототипа расположены в точках комплексной плоскости ±1,_423--и--±i1,5666.
Эквивалентная схема фильтра с идеальными трансформаторами на входе/выходе и взаимно-индуктивными связями контуров может быть преобразована в хорошо известную схему с частотно-независимыми К-инверторами сопротивлений [20]. При этом инверторы внешних связей равны , а инверторы внутренних связей равны . Переход от эквивалентной схемы фильтра с К-инверторами к фильтру с распределенной структурой производился по известной методике [20].
Для реализации был выбран фильтр с коаксиальными резонаторами гребенчатого типа, в котором все настроечные винты для резонаторов находятся на одной стороне корпуса. Внутренняя конструкция гребенчатого фильтра показана на рис. 5. Резонаторы имели поперечное сечение 30 мм ґ--30 мм и высоты 18 мм. Круглые стержни для резонаторов (внутренние проводники коаксиальных резонаторов) имели внешние диаметры Ж8,5 мм, высоты 13 мм и диаметры отверстий Ж 7 мм. Для каскадных связей использовались индуктивные диафрагмы между резонаторами. Внешние связи для фильтра были реализованы с помощью разъемов SMA (3,5 Ч 1,5 мм), которые соединены кондуктивно (посредством пайки) медным проводом Ш1 мм со стержнями 1-го и 6-го резонаторов. Некаскадная связь (емкостная связь) была обеспечена с помощью короткого отрезка полужесткого коаксиального кабеля, уложенного в вырез внутренней стенки корпуса между резонаторами 1 и 6 (оплетка кабеля была припаяна к корпусу). Внутренние проводники кабеля были выпущены в виде зондов в эти резонаторы. Величина связи подстраивалась путем подрезки длины зондов. Знак связи (отрицательный) обеспечивался автоматически при таком элементе связи. Настройка фильтра выполнялась с помощью настроечных винтов М5.
Теоретические результаты для эквивалентной схемы и результаты измерения для гребенчатого фильтра показаны на рис. 6 и 7. Измеренные вариации ГВЗ в рабочей полосе частот составили не более 2,5 нс. Для сравнения, обычный чебышевский фильтр с 6-ю резонаторами с той же полосой пропускания и теми же обратными потерями в полосе пропускания имел бы вариации ГВЗ порядка 6…7 нс. Измеренные вносимые потери в рабочей полосе частот составили менее 1 дБ для покрытых серебром частей фильтра, что соответствует добротностям резонаторов порядка 3500.
С помощью тепловой камеры проводились измерения температурных сдвигов полосы пропускания фильтра. Корпус фильтра был изготовлен из алюминия, стержни коаксиальных резонаторов были изготовлены из обычной стали, настроечные винты М5 были изготовлены из нержавеющей стали (выбор материалов был сделан на основании заранее проведенного температурного расчета для резонансной частоты отдельного резонатора). Измеренный тепловой сдвиг составил 0,3 МГц для Dt=±50є C и гарантировал, что технические требования по избирательности и вариациям ГВЗ выполнены и в диапазоне температур от -30 до +70єС.
Выводы
Были исследованы структуры полосовых фильтров 4,6,8 и 10-го порядков с несоседними связями с целью исследования возникающих комплексных нулей передачи. Было найдено, что в фильтрах с 6-ю и 10-ю резонаторами с дополнительной отрицательной связью между первым и последним резонаторами существует возможность одновременно получить эллиптическую характеристику и улучшить линейность фазы в полосе пропускания. Для практики наиболее интересен фильтр 6-го порядка. Экспериментальные результаты для гребенчатого фильтра 6-го порядка с дополнительной отрицательной связью подтвердили выводы аналитического исследования. Если на входе и выходе базисной структуры с 6-ю резонаторами, имеющей улучшенную линейность фазы, подключить дополнительные резонаторы, то селективность фильтра может быть еще увеличена.
Рис. 5. Внутренняя конструкция гребенчатого фильтра
(а) (б)
Рис. 6. Теоретические результаты (эквивалентная схема) для фильтра с 6-ю резонаторами с : (а) коэффициент передачи и обратные потери, (б) ГВЗ
(а)
(б)
Рис. 7. Экспериментальные результаты для гребенчатого фильтра с 6-ю резонаторами с : (а) коэффициент передачи и обратные потери, (б) ГВЗ
Литература
1. Kurzrok, R.M.: “General four-resonator filters at microwave frequencies”, IEEE Trans., 1966, MTT-14, No.6, pp.295-296.
2. Atia, A.E., and Williams, A.E.: "Narrow-bandpass waveguide filters", IEEE Trans., 1972, MTT-20, No.4, pp.258-265.
3. Atia, A.E., Williams, A.E., and Newcomb, R.W.: "Narrow-band multiple-coupled cavity synthesis", IEEE Trans., 1974, CAS-21, No.5, pp.649-655.
4. Thomas, J.B.: “Cross-coupling in coaxial cavity filters- a tutorial overview”, IEEE Trans., 2003, MTT-51, No.4, pp.1368-1376.
5. Rhodes, J.D.: “The theory of generalized interdigital networks”, IEEE Trans., 1969, CT-16, No.4, pp.280-288.
6. Rhodes, J.D.: “The design and synthesis of a class of microwave bandpass linear phase filters”, IEEE Trans., 1969, MTT-17, No.4, pp.189-204.
7. Rhodes, J.D.: “A low-pass prototype network for microwave linear phase filters”, IEEE Trans., 1970, MTT-18, No.6, pp.290-301.
8. Rhodes, J.D.: “The generalized interdigital linear phase filter”, IEEE Trans., 1970, MTT-18, No.6, pp.301-307.
9. Rhodes, J.D.: “The generalized direct-coupled cavity linear phase filter”, IEEE Trans., 1970, MTT-18, No.6, pp.308-313.
10. Cloete, J.H.: “Tables for nonminimum-phase even-degree low-pass prototype networks for the design of microwave linear-phase filters”, IEEE Trans., 1979, MTT-27, No.2, pp.123-128.
11. Wenzel, R.J.: “Solving the approximation problem for narrowband bandpass filters with equal-ripple passband response and arbitrary phase response”, 1975 MTT-S Int. Symposium Digest, 1975, p.50.
12. Levy, R.: “Filters with single transmission zeroes at real or imaginary frequencies”, IEEE Trans., 1976, MTT-24, No.4, pp.172-181.
13. Cameron, R.J., and Rhodes, J.D.: “Asymmetric realizations for dual-mode bandpass filters”, IEEE Trans., 1981, MTT-29, No.1, pp.51-58.
14. Pfitzenmaier, G.: “Synthesis and realization of narrow-band canonical microwave bandpass filters exhibiting linear phase and transmission zeros”, IEEE Trans., 1982, MTT-30, No.9, pp.1300-1311.
15. Macchiarella, G.: “An original approach to the design of bandpass cavity filters with multiple couplings”, IEEE Trans., 1997, MTT-45, No.2, pp.179-187.
16. Cameron, R.J.: “General coupling matrix synthesis methods for Chebyshev filtering functions”, IEEE Trans., 1999, MTT-47, No.4, pp.433-442.
17. Cameron, R.J.: “Advanced coupling matrix synthesis techniques for microwave filters”, IEEE Trans., 2003, MTT-51, No.1, pp.1-10.
18. Yildirim N., Sen O.A., Sen Y., Karaaslan M., Pelz D. “A revision of cascade synthesis theory covering cross-coupled filters”, IEEE Trans., 2002, MTT-50, No.6, pp.1536-1543.
19. Корн Г. Справочник по высшей математике для научных работников и инженеров. М. Наука, 1977.
20. Matthaei G.L., Yong L., Jones E.M.T. Microwave filters, impedance-matching networks, and coupling structures. Artech house, 1980.
Приложение
Получим аналитическое выражение для ГВЗ фильтра и покажем, что нули коэффициента передачи прототипа на действительной оси комплексной плоскости создают локальный экстремум групповой задержки на центральной частоте фильтра, что приводит к уменьшению вариаций ГВЗ в полосе фильтра.
Для физически симметричной структуры полосового фильтра коэффициент четного порядка передачи низкочастотного прототипа может быть представлен в виде:
(11)
где - четный полином, - полиномом Гурвица порядка N, - нормированная комплексная частота прототипа. Тогда коэффициент передачи по мощности и безразмерное групповое время задержки для низкочастотного прототипа равны
, (12)
, (13)
где есть фаза коэффициента передачи (11). Эта фаза зависит только от полинома Гурвица в знаменателе (11), так как полином числителя является четной функцией. После ряда трансформаций может быть записано выражение для ГВЗ как функции полинома Гурвица :
. (14)
Анализ (14) показывает, что полиномы числителя и знаменателя имеют порядки (2N-2) и 2N соответственно. Поскольку для фильтров с хорошим Ксв в полосе пропускания имеются небольшие пульсации коэффициента передачи , то можно приближенно считать, что в полосе пропускания . Тогда можно приближенно представить в полосе пропускания следующим образом:
. (15)
контур некаскадный фильтр полосовой
Полином имеет комплексные нули на комплексной плоскости переменной . Поэтому на мнимой оси комплексной плоскости имеются соответствующие минимумы . Следовательно, полином знаменателя в (15) производит локальные максимумы или подъемы для в окрестностях комплексных нулей коэффициента передачи. Если нули передачи находятся на действительной оси комплексной плоскости переменной , то локальный максимум расположен на центральной частоте фильтра