Исследование комплексных нулей передачи, возникающих при введении дополнительных некаскадных связей между резонаторами фильтра
Введение
Несоседние (некаскадные) связи резонаторов широко используются в современных полосовых фильтрах, чему посвящены многочисленные публикации, в частности [1-18]. Еще в пионерских работах [1-3] показана возможность благодаря введению несоседних связей создать нули коэффициента передачи и тем самым улучшить избирательность фильтра (получить фильтр с эллиптической характеристикой). Нули передачи, возникающие при наличии в фильтре параллельных ветвей распространения сигнала, для которых разность фаз коэффициентов передачи равна 180є, могут быть получены симметрично с обеих сторон полосы пропускания, только слева или справа от полосы пропускания и т.п. [4].
Другим основанием для введения дополнительных несоседних связей резонаторов является возможность уменьшить вариации группового времени задержки (ГВЗ) в полосе пропускания фильтра, т.е. возможность создания линейно-фазовых фильтров СВЧ. В работах [5-10] дано решение задачи реализации линейной фазовой характеристики, амплитудная характеристика реализуется без нулей передачи.
В дальнейших работах [11-14] рассматривалась задача получения в узкополосном фильтре как линейной фазовой характеристики, так и эллиптической характеристики. В [11] для решения этой проблемы предложено использовать для низкочастотного прототипа обобщенную форму чебышевской рациональной функции с заданным расположением нулей передачи на комплексной плоскости. В [12] представлен синтез фильтров с парой нулей передачи первого порядка на мнимой оси комплексной плоскости, улучшающих избирательность, или с парой нулей передачи на действительной оси комплексной плоскости, дающих изменение фазовой характеристики. В [13] предложена асимметричная реализация полосового фильтра для улучшения одновременно избирательности и линейности фазы и даны примеры реализации так называемых каскадных квадруплетных фильтров с четным числом резонаторов от 8 до 14. В частности, каскадный квадруплетный фильтр 8-го порядка имеет прототип с одной парой нулей передачи на мнимой оси комплексной плоскости для обеспечения избирательности, и с одной парой нулей на действительной оси комплексной плоскости для выравнивания ГВЗ. Строгий подход к проектированию полосовых фильтров с улучшенными ГВЗ и селективностью был представлен Пфитценмайером [14], который дал примеры разработки фильтров высокого порядка, имеющих 12 и 14 резонаторов. Он включил комплексные полюса в характеристическую функцию для создания дополнительных степеней свободы, позволяющих реализовать или эллиптическую характеристику или линеаризацию фазы. В статьях [15-18] даны другие интересные примеры синтеза фильтров с улучшенной избирательностью и линейностью фазы.
Подводя итог обзору литературы можно сделать вывод, что вопрос использования связей между несоседними резонаторами для получения нулей передачи (эллиптической характеристики) проработан достаточно глубоко. Для линейно-фазовых фильтров существует подход Роудса [5-10], приводящий к схеме фильтра, сложенного пополам, с дополнительными связями между резонаторами в половинках вверху и внизу. Частный случай схемы Роудса - это четверка резонаторов (квадруплет), в которой дополнительно связаны первый и четвертый резонаторы [12,13]. Другой подход для линейно-фазовых фильтров исходил от характеристической функции [14] и приводил к цепи высокого порядка (n=12 и 14), имеющей множество вариантов реализации, и для которой заранее неясно, какое минимальное количество некаскадных связей потребуется ввести и какие они будут - емкостные или индуктивные. Однако известно, что фильтры с несколькими некаскадными связями достаточно трудно настраивать, поэтому при практической реализации всегда целесообразно ограничиваться случаем одной или двух некаскадных связей. Отметим, что в большей части практических приложений не требуются фильтры с порядками более 8-го.
Целью данной статьи было проведение систематизации ряда топологических структур фильтров с дополнительными связями между резонаторами, порождающими комплексные нули передачи, и выработка приемов для выравнивания фазы в фильтрах с небольшим числом резонаторов. В отличие от классического метода теории фильтров, где сначала задается характеристическая функция, а затем находится топология фильтра, исследование исходило из топологии с заданным числом связей между резонаторами (топология порождала характеристическую функцию). В рамках эквивалентной схемы в данной статье проведено аналитическое исследование нулей передачи на комплексной плоскости, возникающих после введения несоседних связей между резонаторами фильтра. Рассмотрены физически симметричные структуры фильтров 4, 6, 8 и 10-го порядков, в которых введены связи между половинками фильтров. При анализе было найдено положение на комплексной плоскости нулей передачи для положительных и отрицательных дополнительных связей. Наиболее интересная ситуация для практики соответствует нулям передачи на мнимой оси комплексной плоскости (эллиптическая характеристика фильтра) и на действительной оси комплексной плоскости (изменение ГВЗ). Установлено, что отрицательная связь между первым и последним резонаторами порождает одновременно пары нулей передачи на действительной и мнимой осях комплексной плоскости для структур 6-го и 10-го порядков. Для структур с 4-мя и 8-ю резонаторами положительные связи между первым и последним резонаторами производят нули передачи только на действительной оси комплексной плоскости, а отрицательные - только на мнимой оси. В Приложении объяснено, почему нули коэффициента передачи прототипа на действительной оси комплексной плоскости приводят к уменьшению вариаций ГВЗ в полосе пропускания фильтра, создавая локальный экстремум (подъем) групповой задержки на центральной частоте фильтра.
Для практических приложений наиболее интересным оказывается случай введения отрицательной некаскадной связи между первым и последним резонаторами в фильтре 6-го порядка, на который, по сведениям автора статьи, до сего момента в литературе не обращалось внимания. Здесь единственная некаскадная связь может одновременно произвести две пары нулей передачи- пару нулей на мнимой оси и пару нулей на действительной оси комплексной плоскости, т.е. улучшить одновременно избирательность фильтра и линейность фазы. В некоторых ситуациях такой фильтр с только одной некаскадной связью может быть рассмотрен как оптимальное практическое техническое решение, в нем имеется минимальное усложнение схемы в сравнении с обычным чебышевским фильтром. Для экспериментальной проверки был спроектирован, изготовлен и протестирован гребенчатый фильтр 6-го порядка с отрицательной некаскадной связью между первым и шестым резонаторами. Результаты испытаний подтвердили вывод о возможности одновременно улучшить избирательность и линейность фазы, используя одну дополнительную некаскадную связь.
1. Анализ эквивалентной схемы полосового фильтра
Рассмотрим эквивалентную схему полосового фильтра в виде синхронно настроенных параллельных контуров (резонаторов) с индуктивностями и емкостями , связанных между собой взаимными индуктивностями . Внешние связи с подводящими линиями обеспечиваются идеальными трансформаторами с трансформацией 1:n1 и n2:1, связанными с 1-м и N-м контурами, соответственно. Сопротивление нагрузки и источника примем одинаковыми и равными . Данная эквивалентная схема широко использовалась при проектировании узкополосных фильтров, например, в [2,3,13,16,17]. Рассмотрим полосовой фильтр с центральной круговой частотой и полосой . Выберем и , тогда N?Nнормированная матрица сопротивлений для реактивной цепи с взаимно - индуктивными связями имеет вид:
, (1)
где - комплексная частота низкочастотного прототипа (арифметически равна сопротивлению контура, деленному на ), - комплексная частота полосового фильтра, - нормированный импеданс связи для узкочастотной аппроксимации. Коэффициент передачи между источником и нагрузкой в рассматриваемой цепи равен
, (2)
где - элемент нормированной матрицы проводимостей, рассчитываемой как обратная матрица для матрицы сопротивлений (1) . Фильтры с дополнительными несоседними связями имеют полином в числителе коэффициента передачи (2), который может быть записан для аналитического исследования. Коэффициент передачи фильтра (2) пропорционален величине
, (3)
где есть минор для элемента матрицы сопротивлений (1) [19]. Таким образом, рассчитывая указанные миноры, можно вычислить требуемый полином числителя и определить его нули на комплексной плоскости.
В рамках данной эквивалентной схемы можно вводить дополнительные несоседние связи между резонаторами и фиксировать изменения амплитудной и фазовой характеристик фильтра, то есть к характеристической функции приходить от топологии фильтра (в отличие от классического метода теории фильтров, где сначала задается характеристическая функция, а затем находится топология фильтра). Целесообразно сначала синтезировать каскадную схему фильтра с чебышевской характеристикой, далее в цепь вводить дополнительные связи. Аналогичный подход был ранее использован Вензелем [11]. Расчеты показали, что подходящие несоседние связи, как правило, в 5-10 раз меньше по абсолютной величине каскадных связей, поэтому их введение не приводит к значительным изменениям в ширине полосы пропускания фильтра и пульсациях в полосе пропускания. Поэтому достаточно небольшой подстройки и оптимизации каскадных связей для достижения равнопульсирующих обратных потерь в полосе фильтра для финальной схемы с дополнительными связями.
2. Нули коэффициента передачи и групповая задержка в низко-частотном прототипе
В этом разделе определены положения нулей коэффициента передачи прототипа и рассчитаны групповая задержка прототипа по формуле (13). Анализ ограничен несколькими физически- симметричными структурами полосно-пропускающих фильтров четного порядка с электрически симметричными характеристиками. При анализе полагалось, что все каскадные связи положительны, в то время как некаскадные связи могут быть положительны или отрицательны. Положительные и отрицательные связи соответствуют соответственно положительным и отрицательным взаимным индуктивностям.
Фильтр с 4-мя резонаторами с
Коэффициент передачи фильтра пропорционален минору
. (4)
Нули для рассчитываются элементарным образом:
. (5)
Формула (5) совпадает с формулой в статье [1]. Очевидно, что при нули расположены на мнимой оси комплексной - плоскости, производя два нуля передачи на действительных частотах, в то время как при нули расположены на действительной оси комплексной плоскости (при условии, что подкоренное выражение положительно). Эти ситуации хорошо исследованы и разобраны в [12]. На рис. 1 показаны групповая задержка и положение нулей для несоседних связей разных знаков.
Фильтр с 6-ю резонаторами с
Коэффициент передачи фильтра пропорционален минору
. (6)
Нули находятся как решение биквадратного уравнения:
. (7)
(а)
(б)
Рис. 1. Характеристики полосового фильтра с 4-мя резонаторами с несоседней связью : (а) структурная схема и групповая задержка, (б) нули коэффициента передачи
(а)
(б)
Рис. 2. Характеристики полосового фильтра с 6-ю резонаторами с несоседней связью : (а) структурная схема и групповая задержка, (б) нули коэффициента передачи
Имеем дискриминант для , тогда есть действительные числа. Отсюда имеем пару нулей на мнимой оси комплексной - плоскости, производящих нули передачи фильтра на действительных частотах, и пару нулей на действительной оси комплексной плоскости, изменяющих групповую задержку. Для (полагая, что несоседние связи значительно меньше каскадных связей) имеем дискриминант , поэтому квадраты нулей являются комплексными числами. В этом случае четыре нуля формируют квадруплет на комплексной - плоскости. На рис. 2 показаны групповая задержка и расположение нулей для данного случая. Таким образом, отрицательная связь приводит к возникновению эллиптической характеристики фильтра и локальному экстремуму ГВЗ на центральной частоте фильтра. Положительная связь не дает эллиптической характеристики, увеличивает вариации ГВЗ в полосе фильтра.
Фильтр с 6-ю резонаторами с и
Коэффициент передачи фильтра пропорционален минору
(8)
Сравнивая (8) и (6), делаем вывод, что введение только модифицирует два коэффициента полинома. Степень полинома как в (6), так и в (8) определяется наличием связи . Отсюда следует вывод, что есть дополнительный элемент настройки для коэффициента передачи фильтра. С практической точки может оказаться удобно вводить и . Связь даст два нуля передачи на мнимой оси комплексной плоскости и два нуля на действительной оси комплексной плоскости, как рассмотрено в предыдущем подразделе. Связь может быть введена для подстройки положения указанных нулей. Такая структура с двумя несоседними связями использовалась для проектирования фильтра с коаксиальными резонаторами в [15].
Фильтр с 8-ю резонаторами с
Коэффициент передачи фильтра пропорционален минору
. (9)
Нули могут быть рассчитаны с помощью формул Кардано как корни кубического полиномиального уравнения или численно. Для сохранения места аналитические выражения для нулей не приводим. Анализ нулей показывает, что для имеется пара нулей на мнимой оси и квадруплет комплексных нулей (вне осей). Для имеется пара нулей на действительной оси и также квадруплет комплексных нулей. На рис. 3 демонстрируется групповая задержка и положение нулей для связей разных знаков.