Использование моментов третьего порядка в расчетах электрических нагрузок
В.В. Кузнецов
Аннотация
Рассматриваются вопросы использования корреляционных функций третьего порядка для расчетов систем электроснабжения, когда электрическая нагрузка является стационарной случайной функцией. Вводятся некоторые новые понятия, которые в классической теории электрических нагрузок не используются.
Ключевые слова: случайный процесс, корреляционная функция, характеристическая функция, асимметрия, радиус корреляции, плотность вероятностей, кумулянтные функции.
Введение
Самый распространенный прием в теории случайных функций - корреляционное приближение, когда знание характеристик случайного процесса (СП) X(t) низводится до знания первых двух моментов случайной функции - математического ожидания m(t) (среднего значения) и корреляционной функции K(t1, t2), описывающей степень статистической связи между сечениями X(t1) и X(t2).
Такая информация о СП является достаточной только для нормальных (гауссовых) случайных процессов. В этом случае можно записать многомерную функцию плотности для любого набора сечений СП и решать практически любые задачи, возникающие в приложениях.
Для негауссовых СП корреляционный подход дает значительные погрешности и во многих случаях не может быть приемлемым.
В данной работе мы остановимся на уточнении корреляционного приближения, приняв допущение, что известна корреляционная функция K(t1, t2, t3) третьего порядка [1]. корреляционный электрический нагрузка
Ниже мы увидим, что многие известные в корреляционном подходе понятия получают новую трактовку, обогащая информацию о СП.
В дальнейшем мы чаще будем рассматривать стационарные случайные процессы (ССП), которые, как правило, используются при описании систем электроснабжения для расчетов и прогнозирования электрических нагрузок.
Радиусы корреляции СП
Для стационарной случайной функции X(t), имеющей корреляционную функцию второго порядка K(), как известно, широко применяется такое понятие, как радиус (интервал) корреляции Tcor, который называют также временем статистической зависимости или временем корреляции. Смысл этой характеристики, например, в теории электрических нагрузок, заключается в том, что если рассмотреть два сечения ССП X(t1) и X(t2), задающих электрическую нагрузку в произвольные моменты времени t1 и t2, то при |t1 - t2| > Tcor считается, что эти два сечения есть некоррелированные случайные величины. Если к тому же случайная функция X(t) является нормально распределенной, то эти сечения будут независимыми случайными величинами.
Для нахождения времени корреляции разными авторами использовались разные формулы. Часто принимается следующее определение времени корреляции: Tcor есть величина, определяемая из уравнения [1]:
.
Другими словами, радиус корреляции - это время, отсчитываемое от = 0, за которое нормированная корреляционная функция k() = K()/K(0) уменьшается в e раз (становится равной 1/e).
Иногда время корреляции определяется интегральными соотношениями
Tcor1 =,
или
Tcor2 =.
Эти три различные определения радиуса корреляции дают разные величины, но порядок этих величин оказывается одинаковым.
Понятие радиуса корреляции можно обобщить и на три сечения ССП, но для этого нужно знать корреляционную функцию третьего порядка. Пусть СП X(t) является ССП третьего порядка [1]. Тогда
K(t1, t2, t3) = M[(X(t1) - m(t1))(X(t2) - m(t2))(X(t3) - m(t3))] = K(t2 - t1, t3 - t1) = K(, ).
Введем безразмерную корреляционную функцию третьего порядка S(, ), которая является мерой асимметрии распределения трех сечений случайной функции X(t), разделенных промежутками ||, || и | - | по временной оси:
S(, ) =,
где K() - корреляционная функция второго порядка [1]. Максимальное по модулю значение функции S(, ) достигается при = = 0, и оно равно модулю коэффициента асимметрии Sk:
S(0, 0) == Sk.
Если определить радиус корреляции (по аналогии с корреляционной функцией второго порядка) из условия уменьшение величины нормированной функции S(, ) в e раз по сравнению с максимальным ее значением |Sk|, то, учитывая, что максимальное по модулю значение функция S(, ) принимает в начале координат, вообще говоря, в качестве радиуса корреляции можно принять расстояние от любой точки замкнутой линии, определяемой уравнением
S(, ) = Sk/e,
до начала координат. Естественно, что таких расстояний будет бесчисленное множество. Среди этих величин будут два расстояния, которые измеряются вдоль характерных направлений, определяемых линиями симметрии = и = - . Одно из них будет наибольшим из всех расстояний, а другое - наименьшим. Вот эти величины и можно выбрать в качестве радиусов корреляций.
Эти два радиуса корреляции Tmax и Tmin определяют глобальные характеристики статистической зависимости между ординатами трех сечений случайной функции X(t)
{X(t), X(t + ), X(t + )},
т.е. позволяют определить по известным величинам и степень статистической зависимости этих сечений. Делается это так: если точка с координатами (, ) находится на расстоянии от начала координат большем, чем Tmax, то данные сечения можно считать некоррелированными и даже, в отдельных случаях, независимыми. Условие для проверки некоррелированности имеет вид
Tmax.
Если приведенное выше неравенство не выполняется, то оснований для того, чтобы считать рассматриваемые сечения некоррелированными, нет.
Законы распределения ординат ССП
Знание корреляционной функции третьего порядка (наряду с имеющейся информацией о корреляционной функции второго порядка) расширяет наши сведения о самом случайном процессе X(t). Возникает вопрос: каким образом можно использовать эту дополнительную информацию для более полного описания самого случайного процесса, для практического использования этой информации в инженерных расчетах?
Заметим, что наиболее полно описывают случайный процесс законы распределения ординат процесса. Если рассматривается одно сечение СП X(t), то плотность вероятностей f (x, t) будет самой полной характеристикой СП; если рассматриваются два сечения X(t1) и X(t2), то такой определяющей характеристикой будет двумерная плотность вероятностей f (x1, x2, t1, t2,), и т. д.
Эту последовательность законов распределения можно продолжать неограниченно, и чем выше порядок закона, тем более полное описание СП X(t) мы получаем.
Корреляционное приближение предполагает замену реального СП на нормальный СП, у которого, естественно, и одномерная, и двумерная плотности вероятностей являются нормальными, и для их определения ничего другого, кроме среднего значения m(t) и корреляционной функции второго порядка K(), не требуется.
Именно так обстоит дело в теории электрических нагрузок, которые традиционно описываются в рамках корреляционного приближения, хотя опытные данные часто опровергают гипотезу о нормальности нагрузки электрических сетей.
Если известна корреляционная функция третьего порядка K(, ), то имеется возможность отойти от нормальной модели (если реальный процесс X(t) таковым не является), и тем самым выйти за рамки корреляционного приближения, основываясь на том, что для гауссовых процессов всегда K(, ) 0.
Известно, что вероятностное распределение сечений X(t1), X(t2), …, X(tn) СП можно описывать с помощью характеристической функции, определяемой равенством [3]:
E(u1, u2, …, un, t1, t2, …, tn) = M[exp[i(u1X(t1) + u2X(t2) + …,unX(tn))]] ==
Характеристическая функция системы сечений с вероятностной точки зрения полностью описывает эту систему, так же как и совместная плотность вероятностей. Легко видеть, что она является n-мерным преобразованием Фурье функции совместной плотности f (x1, x2, …, xn, t1, t2, …, tn), которую можно получить, применив обратное преобразование Фурье:
f (x1, x2, …, xn, t1, t2, …, tn) =
=
Характеристическая функция обладает многими полезными свойствами. Для нас важным является то, что она может быть представлена в виде
E(u1, u2, …, un, t1, t2, …, tn) =
=, (1)
где l1 + l2 + … + ln = k, а - так называемые кумулянтные функции [2], которые связаны с корреляционными функциями соответствующего порядка. Так, для начальных номеров кумулянтных функций получим
1(t) = m(t), 2(t1, t2) = K(t1, t2), 3(t1, t2, t3) = K(t1, t2, t3), (2)
где K(t1, t2) и K(t1, t2, t3) - корреляционные функции соответственно второго и третьего порядков.
Из приведенных соотношений видно, что кумулянтные функции имеют четкий статистический смысл, и все они могут быть найдены из соответствующих выборочных массивов.
Для стационарного нормального СП, имеющего среднее значение m и корреляционную функцию K(t2 - t1), только два первых кумулянта 1 = m и 2 = K(t2 - t1) отличны от нуля. Все остальные кумулянты равны нулю. Характеристическая функция для двух сечений, например, имеет вид
E(u1, u2, t1, t2) =.
Пусть нам известны все три кумулянтных функции (2) и пусть СП X(t) является стационарным процессом третьего порядка. Тогда кумулянтные функции запишутся так:
1(t) = m = const, 2(t1, t2) = K(), 3(t1, t2, t3) = K(, ),
где = t2 - t1, = t3 - t1.
Рассмотрим теперь три сечения случайной функции X(t) (систему трех случайных величин)
{X(t), X(t + ), X(t + )},
совместную плотность вероятностей f (x1, x2, x3, , ) которой мы не знаем, но можем записать приближение E3(u1, u2, u3, , ) для характеристической функции, которое получается, если в (1) оборвать бесконечный ряд, оставив в нем три слагаемых:
E(u1, u2, u3, , ) E3(u1, u2, u3, , ) =
=
(3)
Отсюда приближенное выражение для совместной плотности f (x1, x2, x3, , ) получим, подвергнув функцию E3(u1, u2, u3, , ) обратному преобразованию Фурье:
f (x1, x2, x3, , ) f3(x1, x2, x3, , ) =
=
Полученное приближение f3(x1, x2, x3, , ) для совместной плотности распределения f (x1, x2, x3, , ), казалось бы, может быть использовано для практических расчетов. Однако здесь следует отметить, по крайней мере, два затруднения, связанных с применением данного подхода.
Во-первых, функция E3(u1, u2, u3, , ) не будет являться характеристической функцией какого-либо распределения вероятностей, так как найденное приближение f3(x1, x2, x3, , ) не будет удовлетворять основному требованию f3(x1, x2, x3, , ) 0 для любых значений аргументов. Это обстоятельство, хотя и весьма существенное, тем не менее не является критичным, если определить область для переменных (x1, x2, x3), в которой сохраняется свойство неотрицательности плотности. Тогда в этой области приближение может быть достаточно хорошим.
Второе затруднение - это вопрос о погрешности предложенного приближения совместной плотности. Очевидно, что погрешность во многом будет зависеть от вида корреляционных функций в (3), от величин и , и, как правило, определяется при помощи численных экспериментов.
Полученное приближение требуется проверить на неотрицательность и выделить область, в которой это приближение можно будет использовать. Ясно, что область неотрицательности будет зависеть, при заданных корреляционных функциях, от величин и . Отметим, что вычисление и анализ приближения f3(x1, x2, x3, , ) лучше всего проводить численно, так как аналитическое выражение для данного приближения весьма громоздко и содержит различные специальные функции.
Заключение
Предложенная методика использования корреляционных функций третьего порядка позволяет более полно учитывать особенности исследуемого ССП и дает возможность получать более надежную информацию о протекании СП. Такая информация способствует учету асимметрии совместного вероятностного распределения сечений процесса.
Наличие корреляционной функции третьего порядка дает возможность рассматривать не менее трех сечений случайной функции. Это позволяет более полно учитывать взаимосвязи ординат процесса в различные моменты времени, а значит, возможен более точный прогноз, например, при прогнозировании и моделировании систем электроснабжения.