Пример 2. Рассмотрим уравнение Функции образуют фундаментальную систему решений на любом интервале, не содержащем точку x=0. Поэтому на основании теоремы 2 общее решение этого уравнения имеет вид Найдем частное решение данного уравнения при следующих начальных условиях: Так как то, подставляя начальные условия, получим систему уравнений для определения постоянных С1 и С2 :
,
Решая эту систему, находим С1= -1, С2=1. Таким образом, искомое частное решение имеет вид [1]
2. Использование степенных рядов при интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка
2.1 Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка в виде степенного ряда
Часто оказывается трудно или даже невозможно проинтегрировать дифференциальное уравнение в элементарных функциях. В этом случае можно попытаться отыскать решение дифференциального уравнения в другом виде, а именно - в виде степенного ряда. Этот способ особенно удобен в применении у линейным дифференциальным уравнениям. Мы проиллюстрируем его на примере линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.
Итак, рассмотрим уравнение второго порядка с переменными коэффициентами
,
с начальными условиями
,
Имеет место следующая теорема.[8]
Теорема. Если функция p(x) и q(x) представимы в виде степенных рядов
.
сходящихся при , то уравнение (1) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям (2), представимое в виде степенного ряда
,
сходящегося, по крайней мере, в том же интервале .[10]
Коэффициенты ck ряда (3) определяются единственным образом, если заданы начальные условия (2). Их можно определить, например, подстановкой ряда (3) в дифференциальное уравнение (1) и приравниванием коэффициенты при одинаковых степенях x. А именно, предположим, что его коэффициенты p(x) и q(x) представимы в виде степенных рядов по целым неотрицательным степеням х, так что дифференциальное уравнение (1) можно переписать в виде :
,
Согласно (3),
,
,
Подставив соотношение (3) и полученные выражения (5) и (6) в дифференциальное уравнение (4), получим
,
Перемножая степенные ряды и приравнивая к нулю коэффициенты при одинаковых степенях х в левой части соотношения (7), получим следующую совокупность алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов
,
Заметим, что то есть первые два коэффициента ряда (3) представляют собой начальные условия задачи Коши для дифференциального уравнения (1).
Если начальные условия заданы, то первое из совокупности уравнений (8) позволяет определить коэффициент , второе уравнение - коэффициент , третье - и т.д.[6]
Для нахождения общего решения дифференциального уравнения (1) поступим следующим образом. Определим по описанной выше схеме два решения удовлетворяющим начальным условиям
,
.
Практически это означает, что для решения нужно положить а для решения положить
Тогда, как нетрудно видеть, общее решение дифференциального уравнения (1) представляет собой линейную комбинацию решений
,
а частное решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям задается соотношением
[4]
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
,
в виде степенного ряда.
Решение. Будем искать решение в виде степенного ряда
,
Тогда
,
,
Подставляя соотношения (10), (11) и (12) в уравнение (9), получим
,
Приводя подобные члены и приравнивая к нулю коэффициенты при различных степенях х, получим соотношения, из которых найдем коэффициенты
Положим
Тогда
Приравнивая коэффициенты в (22), имеем:
при откуда
при откуда
при откуда
при откуда
при откуда
и следовательно,
,
Аналогично, полагая имеем и приравнивая коэффициенты в (13), имеем
при
при откуда
при откуда
при откуда
при откуда
при откуда
откуда
Итак,
,
Общее решение дифференциального уравнения (9) имеет вид
где задаются формулами (14) и (15) соответственно, а - произвольные постоянные.[6]
2.2 Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка в виде обобщенного степенного ряда
Определение. Ряд вида:
,
где r - заданное число, а степенной ряд сходится при , называется обобщенным степенным рядом. Если r - целое неотрицательное число, то обобщенный степенной ряд (16) обращается в обычный степенной ряд.
Пусть точка х=0 есть особая точка дифференциального уравнения (1), то есть хотя бы один из его коэффициентов p(x) и q(x) не представим в виде степенного ряда. Тогда во многих случаях удается найти решение уравнения (1) в виде обобщенного степенного ряда.[1]
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Если точка х=0 есть особая точка дифференциального уравнения (1), причем его коэффициентов p(x) и q(x) не представимы в виде
,
и ,
где ряды в числителях сходятся при , а коэффициенты одновременно не обращаются в ноль, то уравнение (1) имеет хотя бы одно решение в виде обобщенного степенного ряда
,
причем входящий в это решение степенной ряд сходится, по крайней мере, в том же интервале
Для определения показателя r и коэффициентов нужно подставить ряд (17) в уравнение (1), сократить на и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях . При этом число r находится из т.н. определяющего уравнения
,
,
,
Пусть корни определяющего уравнения (18). Возможны два случая. дифференциальный уравнение интегрирование
1. Если разность не равна целому положительному числу, то можно построить два решения вида (17):
,
,
2. Если разность есть целое положительное число или ноль, то, вообще говоря, можно построить лишь один ряд:
,
но на ряду с ним, другим решением будет служить функция вида
,
Разложение изложенных специальных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами основываются на принципе интегрирования уравнений с помощью рядов.[2]
Заключение
В результате проведенной работы была раскрыта тема «интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка при помощи степенных рядов», поставленная цель достигнута.
В данной курсовой работе изучен и систематизирован материал для применения его студентами во время самостоятельного изучения метода интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Рассмотрены понятия ряда и дифференциальных уравнений. Проведены приближенные вычисления с помощью рядов.
Результаты работы могут служить основой для дальнейших исследований.
Использованная литература
1. Бибиков Ю.Н. «Курс обыкновенных дифференциальных уравнений», Москва «Высшая школа», 1991, стр. 208?210.
2. Власова Б. А., Зарубин B. C., Кувыркин Г. Н. Приближенные методы математической физики: Учебник для вузов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. - 700 с.
3. Демидович Б. П." Краткий курс высшей математики" учебное пособие 2011г.
4. Матвеев Н.М. «Дифференциальные уравнения», Москва «Просвещение» 1988, Глава 8, стр. 194?215.
5. Матвеев Н.М. «Дифференциальные уравнения» (издание четвёртое, дополненное), Минск, 1976, стр. 5.
6. Матросов В.Л., Асланов P.M., Топунов М.В. Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными. Учебник. -- М. : Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2011. -- 376 с. -- (Учебник для вузов).
7. Степанов В.В. «Курс Дифференциальных Уравнений» (издание шестое), Государственное издательство технико-теоретической литературы, Москва 1953, стр. 245?250.
8. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. Перевод с английского. - М.: Букинист, 2003. - 352 с.
9. Школьник А. Г." Дифференциальные уравнения." учебное пособие - 1963г.
10. Шнейдер В. Е. и др. Краткий курс высшей математики. Учеб. пособие для втузов. М., «Высш. школа», 1972. 640 с.