3. При условиях утверждения 2 в случае, когда h ? 0, векторы a, k коллинеарны.
Утверждение 3. Для того чтобы равенство (10) являлось независимым первым интегралом системы уравнений (3), необходимо, чтобы выполнялись условия a2 = 0, a1a3 ? 0, (23), (24), (26)?(28).
Следствия
1. В силу условия (26) справедливы ограничения (31). При этом вектор a (a1, 0, a3) ортогонален плоскости кругового сечения гирационного эллипсоида гиростата, отнесённого к полюсу О.
2. Если вектор ортогонален главной оси инерции Ox2, то для интеграла (10) имеем h = 0. Справедливо и обратное предложение.
3. Если в интеграле (10) h = 0, то для начальных значений компонент щ1, щ3 имеем
Справедливо и обратное предложение.
Утверждение 4. Для того чтобы равенство (14) являлось независимым первым интегралом системы уравнений (3), достаточно, чтобы выполнялись условия (9).
Доказательство данного утверждения очевидно в силу системы уравнений (3).
Утверждение 5. Для того чтобы равенство (18) являлось независимым первым интегралом системы уравнений (3), достаточно, чтобы выполнялись условия (15), (17).
Доказательство. Составляя линейную форму и применяя указанные условия, получаем интеграл (18).
Замечание. Достаточное условие существования интеграла вида (22) может быть легко получено аналогичным образом.
Введём равенство [3]
(32)
и конфигурационное условие [3]
(33)
Утверждение 6. Для того чтобы равенство (32) являлось независимым первым интегралом системы уравнений (3), достаточно, чтобы выполнялись условия (23), (24), (28), (33) и h = 0.
Доказательство. Введём линейную по щ форму и вычислим величину в силу уравнений системы (3):
Полагая
и применяя указанные условия, в результате получаем
откуда следует (34)
Выбирая в равенстве (34) начальное значение заключаем, что равенство (32) является частным первым интегралом системы уравнений (3).
Следствия
1. При условиях утверждения 6 вектор гиростатического момента k (k1, 0, k3) ортогонален плоскости кругового сечения гирационного эллипсоида гиростата, построенного в полюсе О [3].
2. Условие (33) имеет место при ограничениях (31).
3. Выбор значения h = 0 в выражении интеграла (32) равносилен выбору ненулевых начальных значений компонент щ1, щ3 в виде
4. Движение гиростата на связи (23) реализуется либо в режиме “спящего волчка” (при и = 0 или и = р), либо при некотором фиксированном значении угла ц - в режиме маятниковой прецессии. В последнем движении плоскость маятниковых колебаний прецессирует относительно гелиоцентрической оси с ортом s со скоростью
Замечание. Приведённые выше линейные интегралы (за исключением интеграла (14)) принадлежат классу условных первых интегралов, существующих при условиях, выраженных уравнениями голономных связей. Такая особенность является характерным свойством движения механических объектов в силовом СД-поле, обладающем силовым фактор-моментом (2).
Интеграл (32) при h = 0 и структурно-динамические условия (28), (33) в определённом смысле аналогичны интегралу и соответствующим ограничениям классической задачи Гесса о движении твёрдого тела вокруг неподвижного полюса в однородном поле силы тяжести [7]. В силу этого условия (28), (33) определяют гиростатический аналог случая Гесса для СД-поля, а интеграл (32) - гиростатический аналог линейного интеграла Гесса для этого силового поля [3, 9].
Утверждение 7. Независимые функции (4)?(6) и попарно заданные на симплектическом многообразии, находятся в инволюции.
Доказательство проводится элементарно и основано на построении полного множества неупорядоченных пар указанных функций с последующим вычислением их скобок Пуассона.
Следствие. Согласно данному утверждению в силу теоремы Бура - Лиувилля [6] система уравнений (3) интегрируема в квадратурах.
Замечание. В утверждении 7 под функцией понимается первый линейный интеграл системы уравнений (3).
Дальнейшее исследование существования дополнительных алгебраических первых интегралов системы уравнений (3) производится на основе приёма, аналогичного применённому в работе [10].
Интегралы с одной переменной
Рассмотрим вопрос о существовании независимых частных первых интегралов группы 1 для системы уравнений (3) в случаях, при которых равенство (7) содержит только одну независимую переменную.
Введём соотношение
(35)
В силу основного тождества (8) и уравнений (3) согласно соотношению (35) получаем структурно-динамические условия (9), соответствующие гиростатическому аналогу случая Лагранжа в СД-поле с интегралом (14).
Задав соотношение вида
аналогично предыдущему в силу полученного тождества находим симметричные к равенствам (9) условия
(36)
и уравнение связи (23). Здесь имеет место условный частный интеграл
Для соотношения вида
подобным же образом получаем
(37)
и уравнение связи (С). Здесь имеет место условный частный интеграл
Ограничения (36), (37) по форме симметричны условиям (9), а соответствующие им первые интегралы симметричны интегралу Лагранжа (14).
Итак, первые интегралы группы 1 с одной переменной являются интегралами типа интеграла Лагранжа, существующими для каждого набора условий (9), (36), (37). Других частных интегралов вида система уравнений (3) не имеет.
Интегралы с двумя переменными
Зададим соотношение типа (7) в виде
(38)
и обозначим
Из основного тождества (8) в силу соотношения (38) и уравнений системы (3) получаем равенство
(39)
являющееся тождеством по переменной щ3 и произвольному варьируемому параметру k3.
Полагая k3 ? 0, из (39) получаем систему
(40)
(41)
где
Равенства (40) рассматриваются как система уравнений относительно величин p1, p2, определитель которой должен быть равен нулю. В результате получаем тождество по компонентам щ1, щ2
из которого следуют условия осевой кинетической симметрии (9). Но для этих условий интеграл вида (38) не существует, а ограничение (41) становится артефактом, поскольку при условиях (9) связь по компонентам орта s не имеет места.
Полагая теперь k3 = 0, из тождества (39) получаем систему уравнений относительно p1, p2, составленную из первого уравнения (40) и уравнения (41). Условие существования нетривиального решения этой системы имеет вид
(42)
Налагая на данное движение связь
(43)
из соотношения (42) получаем
(44)
Исключая из равенства (44) величины s1, s2 в силу уравнения (43), при k1k2 ? 0 имеем
(45)
Из первого уравнения системы (40) в силу равенства (45) следует
Это условие при произвольных значениях P2 ? 0 тождественно удовлетворяется, если положить [3]
(46)
с точностью до произвольного ненулевого множителя.
Согласно соотношениям (46) для представления (38) получаем
(47)
Исключая из равенства (45) величины щ1, щ2 в силу соотношения (47), при условиях имеем
(48)
(49)
Условие (48) симметрично ограничению (33) и имеет аналогичное ему геометрическое истолкование. Согласно значению (49) линейная форма (47) является первым интегралом системы уравнений (3).
Таким образом, соотношение вида (38) является линейным интегралом, существующим на связи (43) при условиях k3 = 0, (48), (49). Других интегралов вида (38) кроме интеграла (47) при h = 0, система уравнений (3) не имеет.
Пусть соотношение типа (7) имеет вид
(50)
Обозначим [3]
Согласно основному тождеству (8) в силу соотношения (50) и уравнений системы (3) имеем
(51)
Равенство (51) является тождеством по переменной щ2 и произвольному варьируемому параметру k2.
Полагая k2 ? 0, из равенства (51) находим
(52)
где Из системы (52) аналогично предыдущему получаем уравнение связи (23) и тождество
из которого следуют первые три условия (37). Однако для указанных условий интеграл вида (50) не существует.
Принимая k2 = 0, из тождества (51) при произвольных значениях щ2 получаем систему, содержащую первое и третье условия (52). Первое условие тождественно удовлетворяется при p1 = p3 = 0. Однако если хотя бы одна из величин p1, p3 равна нулю, то соотношение (50) вырождается в равенство с одной переменной. Но так как то в общем случае при когда щ2 ? 0, величины щ1, щ3 принимают постоянные значения. Это означает, что данное движение сводится к перманентному по щ1, щ3 вращению, существующему на связи (23).
Таким образом, алгебраические первые интегралы вида (50) для системы уравнений (3) не существуют.
Введём соотношение
(53)
и обозначим [4]
Согласно основному тождеству (8) в силу соотношения (53) и уравнений системы (3) получаем
(54)
где
Равенство (54) является тождеством по переменной щ1 и произвольному варьируемому параметру k1. В силу этого аналогично предыдущему получаем следующее.
При k1 ? 0 из тождества (54) следуют первые три условия (36) и уравнение связи (С), при которых интеграл вида (53) не существует. Если k1 = 0, то из того же тождества для произвольных значений щ1 следует, что в общем случае, при и величины щ2, щ3 принимают постоянные значения. Вследствие этого данное движение сводится к перманентному по щ2, щ3 вращению, существующему на связи (С).
Итак, алгебраические первые интегралы вида (53) для системы уравнений (3) не существуют.
Таким образом, множество независимых алгебраических первых интегралов системы уравнений (3), содержащих две независимые переменные щj ( j = 1, 2, 3), включает в себя лишь линейный по щj интеграл вида (32), существующий при условиях (28), (33), h = 0 на связи (23). Другие виды этого интеграла являются симметричными к данному виду формами, существующими при условиях и связях симметричного вида.
Заключение
Рассмотренная задача является частным ограниченным случаем общей проблемы о радиационном моментном приводе [1].
Построение интегрального многообразия систем уравнений движения твёрдого тела в силовом СД-поле позволяет сформировать аналитическую базу, необходимую для точного интегрирования данных уравнений. Это важно в силу того, что точные решения уравнений движения в общем случае являются носителями основной информации о характерных особенностях динамики этого движения. Вместе с тем, до настоящего времени не существует общих методов построения частных интегралов систем уравнений движения механических объектов в СД-поле. В силу этого в настоящей статье для нахождения множества независимых частных интегралов системы уравнений (3) в классе полиномиальных применён традиционный подход, характерный для классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений [11].
Известно, что силовое СД-поле в общем случае не является консервативным [1]. Консервативность этого поля проявляется в случаях, при которых допустимо пренебрежение эффектами, возникающими в результате термической реакции продуктов тепловой эрозии экрана и дезинтеграции, происходящих под воздействием светового излучения. При этом представление потенциала консервативного СД-поля в виде (1) возможно, в частности, в случае, при котором величины коэффициентов степени черноты прямой и обратной поверхностей тонкой экранной оболочки одинаковы [2]. Примером экрана, для которого световой поток порождает потенциальный силовой момент, является коническая зеркальная поверхность.
Второе условие (А) имеет следующую трактовку. Выражение для G (s3) (1) в рамках принятой термомеханической модели является линейной частью заведомо абсолютно сходящегося степенного ряда по переменной s3 коэффициенты которого (n = 1, …). Следствием этого и является данное условие.
Представление силового момента СД-поля в форме (2) проистекает из общего свойства для осесимметричных световых экранов, выраженного относительно базиса X в общем виде [12]:
(55)
Здесь N - произвольная ортогональная матрица поворота вокруг оси Ox3 базиса X.
Свойство (55) выполняется для экрана с почти плоской или с конической поверхностью, имеющей постоянные термомеханические характеристики. Можно показать, что модель динамического взаимодействия светового потока с твёрдой недеформируемой поверхностью, построенная на основе N-L свойства (55), описывает достаточно общий случай движения твёрдого тела в однородном параллельном световом потоке [12].
Представляет интерес исследование вопроса о существовании независимых алгебраических интегралов системы уравнений (3), относящихся к группе 1 и содержащих три независимые переменные, а также интегралов группы 3.
Список литературы
1. Джуманалиев Н.Д., Киселёв М.И. Введение в прикладную радиационную небесную механику. Фрунзе: Илим, 1986. 201 с.
2. Коган А.Ю., Кирсанова Т.С. Термомеханические явления в движении относительно центра масс космического аппарата с солнечным стабилизатором // Космические исследования. 1992. Т.30, вып. 3. С. 312-320.
3. Макеев Н.Н. Редукция уравнений движения космического аппарата // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы / Пермский гос. ун-т. Пермь, 1997. С. 78?85.
4. Макеев Н.Н. Угловое движение симметричного космического аппарата с солнечным стабилизатором // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы / Пермский гос. ун-т. Пермь, 1996. С. 105?112.
5. Джакалья Г.Е. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 319 с.
6. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 431 с.
7. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М.; Л.: Гостехтеориздат, 1946. 656 с.
8. Макеев Н.Н. Прецессия космического аппарата в световом потоке // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы / Пермский гос. ун-т. Пермь, 1998. С. 115?121.
9. Макеев Н.Н. Управляемость и стабилизируемость вращательного движения космического аппарата // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы / Пермский гос. ун-т. Пермь, 1999. Вып. 31. С. 97?105.