УДК 531.381:531.392
Интегралы динамики гиростата в световом потоке
Н.Н. Макеев
Институт проблем точной механики и управления РАН
Россия, 410028, Саратов, ул. Рабочая, 24
nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33
Приводятся условия существования частных полиномиальных первых интегралов динамической системы гиростата, движущегося в поле сил светового давления.
Ключевые слова: интеграл динамической системы; гиростат; световое давление.
The integrals of dynamics a gyrostat in the light stream
N. N. Makeyev
Problems of Precision Mechanics and Control Institute Russian Academy of Sciences
Russia, 410028, Saratov, Rabochaya st., 24
nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33
The conditions of existence a particular polynomial first integrals of a dynamic system of gyrostat, moving in a field of forces light pressure are considered in this article.
Key words: integral of dynamic a system; gyrostat; light pressure.
Космическое пространство является динамически активной вакуумной средой, в которой источники света вызывают эффект светового давления (СД) на твёрдые тела. Это явление порождается световым потоком - составным элементом солнечного (или звёздного) излучения. Световой поток, динамически взаимодействуя с поверхностями твёрдых тел, порождает моментно-силовое воздействие на эти тела. Это воздействие обусловлено влиянием поля сил светового давления (СД-поля). Динамические свойства этого поля являются предметом исследования нового научного направления механики - динамики твёрдого тела в радиационно-лучевом силовом поле (радиационной механики [1]) и связанных с ним проблем.
Возникновение этой проблемы, имеющей теоретическое и прикладное значение, представляет естественную эволюцию классической динамики твёрдого тела.
В настоящей статье в основу динамической модели взаимодействия светового потока с твёрдой поверхностью положена термомеханическая схема, принятая в работе [2]. Эта схема учитывает реально существующий эффект переизлучения (в тепловом диапазоне) мощности, поглощаемой твёрдой поверхностью. Как утверждается [2], в ряде случаев эффект переизлучения не является пренебрежимо малым: сила отдачи тепловых фотонов не консервативна и порождает дополнительное динамическое воздействие. гиростат световой термомеханический переизлучение
Основные положения
Рассматривается движение в СД-поле свободного от связей гиростата с заданным постоянным результирующим гиростатическим моментом. Гиростат движется так, что его неизменяемая основа (тело-носитель) движется вокруг неподвижного полюса О, неизменно связанного с инерциальным пространством. С телом-носителем гиростата неизменно связан светоотражающий экран в виде тонкой недеформируемой оболочки неизменной конфигурации с заданными постоянными термомеханическими параметрами. На экран падает однородный световой поток в виде пучка параллельных световых лучей.
Введём правые координатные ортобазисы с общим началом в полюсе О: базис Z(Oz1z2z3), неизменно связанный с инерциальным конфигурационным пространством, и базис X(Ox1x2x3), оси которого направлены по главным в полюсе О направлениям тензора инерции гиростата.
Пусть s (s1, s2, s3) - гелиоцентрический орт, устанавливающий ориентацию светового потока относительно базиса Z, неизменный в этом базисе. Этот вектор является направляющим ортом светового потока, ориентированным против направления его световых лучей.
При определённых ограничениях, принятых для данной термомеханической модели, СД-поле является консервативным с потенциалом [2, 3]
(1)
Здесь n1, n2 - заданные постоянные термомеханические параметры, характеризующие теплофизические и оптические свойства светоотражающего экрана.
В дальнейшем функция плотности потенциала силового СД-поля G (s3) (1) рассматривается в области D (щ, s) при условиях
(А)
где всюду в области D.
В силу зависимости (1) результирующий момент сил СД-поля относительно полюса О равен [4]
(2)
где штрих обозначает дифференцирование по s3. В дальнейшем всеми моментно-силовыми воздействиями, помимо фактора (2), пренебрегаем.
Обозначим: - матрица тензора инерции гиростата в полюсе О; - абсолютная угловая скорость носителя гиростата; - постоянный в базисе X гиростатический момент.
Согласно принятым предпосылкам в си-лу соотношений (1), (2) движение гиростата в однородном параллельном СД-поле определяется динамической системой
(3)
где обозначено
и принято s0 ? 0.
Система уравнений (3) обладает первыми независимыми алгебраическими интегралами [4]
(4)
(5)
(6)
где h1, h2 - постоянные интегрирования.
Постановка задачи
Система уравнений (3) с гамильтонианом I1 (4) согласно известному результату А.Пуанкаре в общем случае не является интегрируемой в смысле существования однозначного (относительно некоторого параметра) интеграла. Однако для отдельных значений параметров, содержащихся в уравнениях данной системы, или для определённых начальных значений такие интегралы могут существовать [5, c. 84].
Вопрос об интегрируемости в квадратурах данной системы уравнений сводится к проблеме существования дополнительного по Е.Уиттекеру независимого интеграла. Если этот интеграл существует и объединённая система, составленная из первых интегралов (4)?(6) и присоединённого к ним дополнительного интеграла, на некотором симплектическом многообразии находится в инволюции, то данная система уравнений интегрируема по Буру - Лиувиллю [6].
В силу этого данный вопрос приводит к задаче о нахождении независимого первого интеграла системы уравнений (3), дополнительного к системе интегралов (4)-(6), если он существует.
Ставится следующая задача: на многообразии возможных значений при ограничениях (А) найти условия существования независимого алгебраического первого интеграла системы уравнений (3), определённого в области D (щ, s) фазового пространства и находящегося в инволюции с интегралами системы (4)-(6).
Такая постановка задачи предполагает существование при различных условиях k независимых дополнительных первых интегралов, каждый из которых может быть определён в соответствующей подобласти Dk
Поскольку каждый из дополнительных интегралов системы уравнений (3) как частный интеграл может существовать лишь при определённых структурно-динамических и начальных условиях, данную задачу следует рассматривать как задачу нахождения элементов интегрального многообразия динамической системы в предположении, что это многообразие не является пустым.
Дополнительные интегралы динамической системы
Рассмотрим задачу о существовании дополнительных первых интегралов системы уравнений (3) в классе однозначных алгебраических функций C2 (щj, sj) (j = 1, 2, 3). Представим искомые интегралы в общем виде
(7)
где F - полиномиальная функция заданных переменных, h ? постоянная интегрирования.
Как известно [5, 6], критериальным условием существования первого интеграла (7) системы уравнений (3) является равенство нулю скобки Пуассона (коммутатора) от функции F и гамильтониана данной системы, заданных на симплектическом многообразии. Согласно этому имеем
(8)
Равенство (8) в силу уравнений системы (3) является тождеством, выполняющимся при определённых ограничениях, наложенных на структурно-динамические параметры данной системы. Эти ограничения и определяют искомые случаи существования дополнительных первых интегралов вида (7) для исходной системы уравнений.
Следует ожидать, что искомые интегралы, если они существуют, явно зависят лишь от части переменных, содержащихся в равенстве (7). Такая закономерность, в частности, имеет место в классических случаях интегрируемости для твёрдого тела, движущегося в однородном поле силы тяжести [7].
Равенство (8) в силу уравнений системы (3) является тождеством по всем переменным щj и по любым двум переменным sj (j = 1, 2, 3). В соответствии с этим разделим совокупность искомых интегралов вида (7) на следующие группы.
* Группа 1 ? интегралы вида
* Группа 2 ? интегралы вида
* Группа 3 ? интегралы вида
Замечание. Все последующие утверждения, относящиеся к поставленной задаче, справедливы в области D, где и при ограничениях (А).
Алгебраические интегралы группы 1
Рассмотрим условия существования линейного по компонентам первого интеграла динамической системы (3).
Линейный интеграл
Составим условия осевой кинетической симметрии гиростата
(9)
необходимые в дальнейшем и соответствующие группе симметрий динамической системы.
Введём линейную форму
(В)
и получим условия существования независимого первого интеграла системы (3)
(10)
Здесь - вектор, постоянный в базисе X, с неизвестными компонентами, удовлетворяющими условию
(11)
Полагая согласно условию (11) a3 ? 0 и применяя равенство (10), исключаем компоненту щ3. Из тождества (8) в силу равенства (10) и уравнений (3) получаем систему необходимых условий
(12)
(13)
В равенствах (12) обозначено
Равенство (13) является уравнением голономной связи, налагаемой на данные компоненты орта s, выражающим ортогональность вектора координатной оси Ox3.
Для определяющей системы (12), (13) имеют место следующие случаи тождественного выполнения данных условий.
Случай 1. Пусть a1 = a2 = 0. Тогда из соотношений (12) следуют условия структурно-динамической симметрии относительно оси Ox3 (9), а условие (13) тождественно удовлетворяется. При этом равенство (10) принимает вид
(14)
и не зависит от значений термомеханических параметров экрана n1, n2.
Случай 2. Примем aj ? 0 (j = 1, 2). В этом случае имеет место движение на связи (13), причём из условий (12) следует
(15)
что соответствует случаю полной (центральной) кинетической симметрии гиростата. В результате данные условия сводятся к следующим:
(16)
Система условий (16) выполняется в следующих подслучаях.
Подслучай 2А. Пусть в равенстве (10) h ? 0 (векторы a, щ не ортогональны). Так как a3 ? 0, то Полагая
где и, ц - углы Эйлера (0 ? и ? р), приведём уравнение связи (13) к виду
(17)
а соотношение (10) ? к форме
(18)
Согласно условию (17) вектор (ks) ортогонален оси Ox3, а в силу равенства (18) векторы неортогональны.
Подслучай 2В. Пусть h = 0. Тогда, согласно равенству (10), векторы a, щ ортогональны. Обозначим
(19)
и положим В этом подслучае ограничения (12) сводятся к системе
из которой для параметров m1, m2 получаем определяющие соотношения
(20)
Система (20) имеет по крайней мере одну пару ненулевых действительных значений параметров m1, m2, если k1k2k3 ? 0, и все значения kj различны. Здесь уравнение связи (13) и соотношение (10) согласно равенствам (19) принимают вид
(21)
(22)
Случай 3. При a1 ? 0, a2 = 0 уравнение связи (13) будет
(23)
а из условий (12) при дополнительных ограничениях
(24)
следует (25)
(26)
(27)
Из условия (25) имеем
(28)
а в силу ограничений (26), (27) согласно (19) получаем
(29)
(30)
В соответствии с условием (29) имеют место ограничения
(31)
Случай 4. Полагая a1 = 0, a2 ? 0, при ана-логичных условиях получаем случай, структурно симметричный случаю 3.
Действительно, в этом случае уравнение связи есть
(С)
а вместо соотношений (28)?(31) получаем соответственно
Таким образом, установлен ряд случаев, для которых при определённых ограничениях линейная форма (В) является частным интегралом (10) системы уравнений (3). Эти случаи определяются следующими утверждениями, доказанными выше.
Утверждение 1. Для того чтобы равенство (10) являлось независимым первым интегралом системы уравнений (3) в форме (14), необходимо, чтобы выполнялись условия a1 = = a2 = 0, a3 ? 0 и (9).
Следствия
1. Если равенство (14) необходимо является независимым первым интегралом системы уравнений (3), то гиростат кинетически симметричен относительно его главной в полюсе О оси инерции Ox3, а векторы a, k коллинеарны этой оси.
2. Если равенство (14) является указанным первым интегралом, то этот интеграл инвариантен относительно начальных значений компоненты щ3, принадлежащих непустому множеству его возможных значений.
3. Если первый интеграл (14) необходимо существует и то для любых значений t векторы a, щ неортогональны.
Структурно-динамические условия (9) определяют осевую кинетическую симметрию гиростата, которая по характеру аналогична симметризации в классической задаче Лагранжа о движении кинетически симметричного твёрдого тела вокруг неподвижного полюса в однородном поле силы тяжести [7]. В силу этого условиям (9) соответствует гиростатический аналог случая Лагранжа для СД-поля [4, 8].
Утверждение 2. Для того чтобы равенство (10) являлось независимым первым интегралом системы уравнений (13), необходимо, чтобы выполнялись условия aj ? 0 ( j = 1, 2, 3), (13), (15) и (16).
Следствия
1. При условиях утверждения 2 гиростат обладает полной (центральной) кинетической симметрией, определяемой равенства-ми (15).
2. Движение гиростата на связи (13) реализуется либо в режиме "спящего волчка" (при и = 0 или и = р), либо при некотором фиксированном значении угла ц ? в режиме маятниковой прецессии. При этом:
* если h ? 0, то уравнение связи (13) и интеграл (10) приводятся к виду (17), (18);
* если h = 0, то эти соотношения принимают вид (21), (22), где параметры m1, m2 определяются системой уравнений (20).