Материал: Интеграл Фурье
Согласно теореме 16, если функция f (x) абсолютно интегрируема
на всей числовой оси и удовлетворяет условиям Дирихле (или условиям теоремы 15) на любом конечном промежутке, то она представима своим
интегралом Фурье, т.е. в точках непрерывности функции |
f (x) имеет ме- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
сто равенство |
|
|
|
f ( x) = ∫C(ω)eiω x dω , |
(45) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
1 |
+∞ |
−iωt |
|
|
|
||
|
|
∫f (t)e |
|
|
|
|||
где |
C(ω) = |
|
|
|
dt |
. Подставляя выражение для C(ω) в инте- |
||
2π |
|
|||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
грал Фурье, получим
|
|
+∞ |
1 |
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
f (x) = ∫ |
|
∫ |
f (t)e |
|
||
|
2π |
|
|||||
|
|
−∞ |
|
−∞ |
|
|
|
|
|
1 |
+∞ |
1 |
+∞ |
|
|
или |
f (x) = |
∫ |
|
∫ f (t |
|||
2π |
|
2π |
|||||
|
|
|
−∞ |
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+∞ |
|
Обозначим |
|
F (ω) = |
∫ f (t |
||||
|
|
|
|
|
2π |
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iωt dt eiω x dω |
|
|
|
|
|
|
|
)e−iωt dt eiω x dω . |
|
|
|
|
|
)e−iωt dt . |
(46) |
|
|
+∞ |
|
Тогда |
|
f ( x) = 21π ∫F (ω)eiω x dω . |
(47) |
|
|
−∞ |
|
Функция |
F (ω) |
называется преобразованием Фурье |
или образом Фурье |
функции |
f (x) , |
а формула (47) – обратным преобразованием Фурье |
|
(формула (46) позволяет найти образ Фурье известной функции f (x) , а по формуле (47) можно восстановить функцию f (x) по ее образу Фурье
F (ω) ).
Замечание. Функцию F (ω) называют также спектральной функцией
или спектральной плотностью функции f (x) .
Если функция f (x) задана на промежутке [0,+∞) и удовлетворяет
на нем условиям теоремы 16, то ее тоже можно представить интегралом Фурье, предварительно доопределив функцию на всю числовую ось четным или нечетным образом. В этом случае во всех точках непрерывности функции f (x) будут иметь место равенства
+∞ |
+∞ |
f ( x) = ∫A(ω)cosω xdω и |
f ( x) = ∫B(ω)sinω xdω |
0 |
0 |
|
|
|
|
2 |
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+∞ |
|
|
|
|
где |
A(ω) = |
∫f (t)cosωtdt , |
B(ω) = |
∫f (t)sinωtdt . |
|
||||||||||||||
π |
π |
|
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
Подставляя выражения для |
|
A(ω) |
и B(ω) |
в интеграл Фурье, получим |
|||||||||||||||
|
+∞ |
2 |
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
2 |
+∞ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f ( x) = ∫ |
|
∫f (t)cosωtdt cosωxdω |
и |
|
f ( x) = ∫ |
|
∫f (t)sinωtdt |
sinωxdω |
|||||||||||
π |
|
π |
|||||||||||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+∞ |
|
2 |
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
f ( x) = |
∫ |
|
∫f (t) cosωtdt |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
π |
|
π |
cosω xdω, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+∞ |
2 |
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x) = |
∫ |
|
∫f (t)sinωtdt |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
π |
|
π |
sinω xdω . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
∫ |
|
|
|
|
||
Обозначим |
|
|
F (ω) = |
π |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
+∞f (t) cosωtdt , |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (ω) = |
2 |
+∞f (t)sinωtdt . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
π |
∫ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
f ( x) = |
∫Fc (ω)cosω xdω , |
(48) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 |
+∞ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x) = |
∫Fs (ω)sinω xdω . |
(49) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
косинус– |
Функции Fc (ω) и Fs (ω) называются |
соответственно |
||||||||||||||||||
преобразованием |
Фурье |
и |
синус–преобразованием Фурье |
функции |
|||||||||||||||
f (x) , |
а формулы |
(48) |
|
и |
(49) – обратным косинус–преобразованием |
||||||||||||||
Фурье и обратным синус–преобразованием Фурье соответственно.