МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Московский политехнический университет» (МОСКОВСКИЙ ПОЛИТЕХ)
Кафедра «Стандартизация, метрология и сертификация»
Направление подготовки 27.03.02 «Управление качеством»
Реферат по дисциплине: «Дисперсионный анализ»
На тему: «Гнездовые или иерархические планы»
Выполнили: студенты учебной группы 161-741: Нефедова А.А., Попова А. Ю., Магжан У.
Проверил: Петухов Л.С.
Москва 2019
Содержание
1. Гнездовые или иерархические планы
2. Пример
3. Линейная статистическая модель
4. Суммы квадратов
5. Виды статистики
6. Задача
Заключение
Список литературы
1. Гнездовые или иерархические планы
План гнездовой выборки предполагает, что из общей группы отобранных нами случаев мы выделяем несколько ключевых (своеобразные «гнезда» случаев), которые и станут основой для нашего дальнейшего анализа.
Если взять пример более понятный нам в силу отсутствия профессионального опыта, проводя опрос, мы можем после проведения пробных интервью с десятком респондентов остановиться на четырех--пяти случаях, которые дают нам максимум интересующей нас информации. Однако, отбор ключевых случаев для исследования может нести с собой риск приписать типичность опыта нетипичным случаям.
Гнездовая выборка может формироваться как на стадии планирования исследования, так и в процессе его проведения, скажем, для того чтобы собрать конкретную информацию, получить больше интерпретативных вариантов, «насытить» категории, оценить адекватность и осмысленность тем, верифицировать фрагменты индуктивно выстраиваемой теории или определить ее концептуальные границы.
В некоторых многофакторных экспериментах уровни одного фактора (например В) при различных уровнях другого фактора (например А) подобны, но полностью не совпадают. Такая организация эксперимента называется гнездовым или иерархическим планом, причем уровни фактора В группированы (гнездятся) внутри уровней фактора А.
2. Пример
Рисунок 1. Двухступенчатый угловой план
Рисунок 2. Двухступенчатый гнездовой план
Компания приобретает сырье у трех различных поставщиков: требуется определить, одинакова ли чистота сырья, поступающего от каждого из них.
Каждый поставщик может предоставить по 4 партии сырья, по каждой партии можно провести три измерения чистоты. Это двухступенчатых гнездовой план, причем партии сгруппированы внутри поставщиков. На первых взгляд непонятно почему два фактора партии и поставщики не являются пересекающимися. Будь это так, то партия 1 всегда означала бы одну и ту же партию.
В данном случае факторы не являются пересекающимися, поскольку партии каждого поставщика относятся именно к данному поставщику. Так партия1 -первого поставщика не имеет отношения к партии 1 - второго поставщика и т.д. Для того, чтобы подчеркнуть это мы можем пронумеровать их так: партия 1,2,3,4 поставщика 1; 5,6,7,8 поставщика 2 и 9,10,11,12 поставщика 3.
3. Линейная статистическая модель
Линейная статистическая модель для двухступенчатого гнездового плана имеет вид
Так, фактор А имеет ? уровней, b уровней фактора В сгруппированы внутри каждого уровня A, число реплик равно n. Индекс j(i) показывает, что j-й уровень фактора В сгруппирован внутри i-того уровня фактора А. Реплики удобно считать сгруппированными внутри комбинаций уровней А и В, поэтому в слагаемом ошибки использован индекс (ij)k. Это сбалансированный гнездовой план, так как внутри каждого уровня А сгруппировано равное число уровней В и равное число реплик. Поскольку каждый уровень фактора B встречается не с каждым уровнем фактора А, то А и B взаимодействовать не могут.
Общую скорректированную сумму квадратов можно записать в виде
Выполняя действия в правой части этого выражения, получаем
поскольку три смешанных произведения обращаются в нуль. Это соотношение показывает, что общую сумму квадратов можно разбить на сумму квадратов, обусловленную фактором А, сумму квадратов, обусловленную фактором В, уровни которого сгруппированы внутри уровней А, и сумму квадратов, обусловленную ошибкой. В символическом виде соотношение можно записать как
4. Суммы квадратов
Суммы квадратов , и обладают abn--1, а--1 и а(b--1) степенями свободы соответственно; на ошибку приходится ab(n--1) степеней свободы. Отметим, что abn--1=а--1+a(b--1) +ab(n--1). Если ошибки описывается законом нормального распределения е?NID (0, ), то при делении каждой суммы квадратов в правой части соотношения на соответствующее число степеней свободы получаются независимые средние квадраты, и отношение любых двух из них подчиняется F- распределению.
5. Вид статистики
Вид статистики, используемой для проверки эффектов факторов А и В, зависит от того, фиксированы они или случайны.
Таблица 1. Математическое ожидание средних квадратов в двухступенчатом гнездовом плане, в зависимости от того, фиксированы ли факторы A и B или случайны
Таблица 2. Дисперсионный анализ для двухступенчатого гнездового плана
6. Задача
Компания покупает сырьё у трёх разных поставщиков. Требуется определить, одинаковая ли чистота сырья всех поставщиков. От каждого из них случайным образом выбирается по четыре партии сырья, в каждой партии проводится три измерения чистоты. Это, очевидно, двухступенчатый гнездовой план. (данные после кодирования вычитанием 93)
Таблица 3. Кодированные данные по чистоте сырья (кодировка вычитанием 93)
Суммы квадратов находятся следующим образом
Результаты дисперсионного анализа приведены в таблице №4. Поставщики являются фиксированными, а партии - случайным фактором, поэтому выражения для математических ожиданий средних квадратов берутся из среднего столбца (таблица 4).
Таблица 4. Дисперсионный анализ полученных данных
Заключение
Дисперсионный анализ показывает, что при уровне значимости 5 процентов* поставщики не оказывают влияния на чистоту сырья, но различия в частоте сырья одного и того же поставщика являются значимыми.
гнездовой математический статистический
Список литературы
1. Монтгомери Д.К. М 77: Планирование эксперимента и анализ данных: Пер. с англ. - Л. Судостроение, 1980. - 384 с., ил.