Статья: Фрактальный анализ котировок ВТБ банка

Фрактальный анализ котировок ВТБ банка

Кузнецов С.Б., Гладковский О.П.

Сибирская Академия Государственной Службы, г. Новосибирск

Введение

В настоящее время рынки капитала оказывают огромное влияние на экономики различных стран и мировую экономику в целом. Невозможно представить крупный финансовый институт, не имеющий интересов на различных рынках капиталов.

На различных рынках капитала сложились два основных типа поведения - стиля торговли: портфельное инвестирование и спекулятивная торговля. Большинство участников рынка (как в количественном, так и в финансовом смысле) относятся к первой категории, поскольку такой стиль торговли является менее рискованным и более прогнозируемым, так как данный подход хорошо разработан и освещен в научных и практических работах.

При спекулятивном типе торговли многие модели и методы не отвечают требованием инвесторов, в частности: отсутствуют модели, помогающие инвестору разрабатывать и анализировать торговые системы; многие методы анализа активов основаны на устаревших гипотезах; инструменты технического анализа не учитывают специфику торговли инвестора.

Многие методы анализа и предпосылки ценового движения активов, основанные на гипотезе эффективных рынков (EMH), разработанной в 20-х годах прошлого века, показывают свою несостоятельность при ответе на многочисленные вопросы инвесторов и трейдеров, разрабатывающих торговые системы. В настоящей работе предлагаются новые методы анализа, основанные на новой гипотезе фрактального рынка (FHM).

Задачи снижения риска вложений в ценные бумаги независимо от стиля торговли, необходимость введения новых моделей и методов анализа активов при спекулятивном стиле, а также разработка новых инструментов технического анализа для исследования рынка ценных бумаг обуславливают актуальность работы.

1. Фрактальный (R/S) анализ

С помощью - анализа докажем фрактальную природу рынка акций ВТБ, что в свою очередь будет противоречить гипотезе эффективного рынка и всем количественным моделям, которые из нее выводятся.

Размерности, определяемые с учетом вероятности посещения траекторией различных областей аттрактора в фазовом пространстве, называются вероятностными. Рассмотрим алгоритм нахождения такой размерности пространства вложений с использованием - анализа.

Показатель Хёрста имеет широкое применение благодаря своей устойчивости. Он содержит минимальные предположения об изучаемой системе и может классифицировать временные ряды. Показатель позволяет различать случайный ряд от не случайного, даже если случайный ряд не нормально распределен. Показатель Хёрста характеризует отношение силы тренда (детерминированный фактор) к уровню шума (случайный фактор). Х. Хёрст показал, что большинство естественных явлений следует смещенному случайному блужданию - тренду с шумом. Сила тренда и уровень шума оцениваются, насколько величина Н превосходит 0.5 См. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. - М.: Мир, 2000..

Одним из показателей фрактальной размерности временного ряда является величина б, равная:

б = 1/Н.

Это выражение впервые получил Б. Мандельброт в 1972 году См. Mandelbrot B.B. Les objets fractals: forme, hazard, et dimension. Paris:Flammarion, 1975., б - есть фрактальная размерность пространства вероятностей. Другими словами, б измеряет толщину хвостов в функции плотности вероятности ("лептоэксцесс").

Попытаемся распространить метод Х. Хёрста изучения временных рядов природных явлений на временные ряды в экономике.

Пусть е_i -приток в некоторый экономический ряд в i - году, т.е. скорость изменения параметров ряда v. Тогда Х_t,_N - накопленное отклонение за N периодов вычисляется по формуле:

,

где М_N - среднее е_i за N периодов. Тогда размах становится разностью между максимальными и минимальными значениями изменений параметров ряда.

.

Для сравнения различных типов временных рядов Х. Хёрст разделил этот размах на стандартное отклонение исходных наблюдений. Этот "нормированный размах" должен увеличиваться со временем. Х. Хёрст ввел следующее соотношение:

, (1.1)

где - нормированный размах, N - число наблюдений, a₀ - константа, H - показатель Хёрста.

Справедливость приведенного степенного закона ограничена значениями , достаточно малыми по сравнению с числом наблюдений. При увеличении показатель Хёрста начинает описывать случайные блуждания. С другой стороны, при малом числе наблюдений в цикле нельзя сделать вывод о развитии системы в целом, понять закономерности. Следовательно, на практике степенной закон выполняется только в ограниченном диапазоне значений , который называется скейлиноговым и может быть использован для определения показателя Хёрста.

Имеются три различных интервала для показателя Хёрста. Н равное 0.5 указывает на случайный ряд. События случайны и не коррелированны. Настоящее не влияет на будущее. Функция плотности вероятности может быть нормальной кривой, но это не обязательное условие.

Если , то получаем антиперсистентные или эргодические ряды. Такой тип системы называют "возврат к среднему". Эти системы демонстрируют после роста спад. И наоборот, если система демонстрировала спад в предыдущий период, то, скорее всего в следующем периоде начнется подъем. фрактальная рынок хёрст котировка

При мы имеем персистентный ряд, или трендоустойчивый. Если ряд возрастал (убывал) в предыдущий период, то, вероятно, что он сохранит свою тенденцию какое-то время в будущем. В терминах хаотической динамики существует чувствительная зависимость от начальных условий. Такая долговременная память имеет место независимо от масштаба времени. Все ежемесячные изменения соотнесены со всеми будущими месячными изменениями; все ежегодные изменения соотнесены с будущими годовыми изменениями. Не существует характерного масштаба времени, ключевой характеристики фрактального временного ряда. Персистентный ряд - это обобщенное броуновское движение, или смещенное случайное блуждание. Сила смещения зависит от того, насколько Н больше 0.5. Персистентный временной ряд является фракталом.

Для очень большого количества наблюдений можно ожидать сходимость ряда к величине Н = 0.5, так как эффект памяти уменьшается до того уровня, когда становится незаметным. Другими словами, в случае длинного ряда наблюдений его свойства становятся неотличимыми от свойств обычного броуновского движения, и или простого случайного блуждания, поскольку эффект памяти рассеивается.

Х. Хёрст предложил также формулу для оценки величины Н.

т.е. .

R/S анализ Х. Хёрста дает нам среднюю длину цикла, необходимую для оценки инерции развития. Под средней величиной цикла системы понимается длительность, по истечении которой теряется память о начальных условиях.

2. R/S анализ акций ВТБ

Подробнее на примере акций ВТБ проанализируем рынок ценных бумаг, с целью получения оценки квазициклов изменения котировок.

Рассмотрим ежедневное изменение цен P в коп. рублей для бумаг ВТБ с 2007 по 2009 годСм. Финансовый портал URL: http//mfd.ru/MarketData/Ticker/?ID=258#&type=c&step=d&from=16.09.2009 &to=15.12.2009&refresh=1.. В изучаемых временных рядах имеется долговременная память. Каждое наблюдение коррелирует до некоторой степени с последующими наблюдениями. Из теории хаоса, следует, что в любой нелинейной системе, в ее движении, всегда существует точка, где теряется память о начальных условиях См. Ахромеева Т.С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М. - Наука. Гл. ред. физ-мат. лит. 1992. - 544 с. . Эта точка "потери" аналогична концу естественного периода системы. Попытаемся найти циклы для изменения котировок, с этой целью проведем R/S - анализ наших данных. Пусть е_i - цена P на рынке в i - день, т.е. скорость изменения цены v_L. Пусть Х_t,_N - накопленное отклонение за N периодов. Далее применяя алгоритм, изложенный в предыдущем параграфе, получим следующие результаты. На рисунке 1 представлены данные изменения средней цены акций ВТБ за весь период существования бумаги.

Рис. 1. Изменение котировок акций ВТБ

Мы наблюдаем некоторые непериодические циклы. Временной ряд носит скачкообразный характер, и изменения могут отличаться друг от друга на несколько порядков.

Скорость изменении котировок имеет хаотический характер и зрительный анализ не позволяет выявить циклы (см. рис. 2). Проанализируем их поведение с помощью R/S анализа.

Рис. 2. Скорость изменения котировок акций ВТБ

На следующем рисунке 3 представлены показатели Хёрста для ВТБ, рассчитанные для каждого периода N равного от 2 до 309 дней. Был проведен R/S - анализ с вычислением показателя Хёрста для групп по два дня, начиная с 28 мая 2007 года, а затем полученные данные усреднялись.

Аналогичные действия были проведены с циклами по 3, 4, 5 и т.д. до 309 дней. Из рисунка 3 видно, что с увеличением количества лет в цикле показатель Хёрста начинает приближаться к 0.5, т.е. к случайным блужданиям.

Рис. 3. Отклонение показателя Хёрста к случайным блужданиям

Аналогичные действия были проведены с циклами по 3, 4, 5 и т.д. до 309 дней. Из рисунка видно, что с увеличением количества дней в цикле показатель Хёрста начинает приближаться к 0.5, т.е. к случайным блужданиям.

Прологарифмируем соотношение (1.1):

.

Если в двойных логарифмических координатах найти наклон R/S как функцию от N, то тем самым мы получим оценку для показателя Н. Для этого нужно выбрать скейлиноговый диапазон в котором изменение кривой ln(R/S) имеет почти линейную зависимость от ln(N). Для ВТБ это интервал циклов от 2 до 7 дней. В таблице 1 представлены результаты линейной регрессии в скейлинговом диапазоне с использованием N, с 2 до 7 дней.

Таблица 1. Результат регрессии

Кроме того следует учитывать замечание Федера, о том, что эмпирическое правило (1.1) завышает показатель Хёрста при Н > 0.7. Но, тем не менее, в обоих случаях идет подтверждение, что мы имеем дело с персистентным рядом, или трендоустойчивым.

На следующем рисунке показана кривая в логарифмической шкале по времени полученная R/S - анализом для ВТБ. Процесс с долговременной памятью наблюдается приблизительно в продолжение около 25 дней. Далее с увеличением числа дней, явно это наблюдается после 35 дней, показатель Хёрста уменьшается и график начинает отклоняться к случайным блужданиям Н = 0.5 (см. рис. 4).

Рис. 4. R/S - анализ акций ВТБ

Ось абцисс измеряется в натуральных логарифмах циклов наблюдений ln(N), ось ординат представляет собой ln(R/S). Пунктирная линия представляет тренд с углом наклона Н = 0,7388.

Существует более легкий способ оценки продолжительности цикла. Так называемая, V_N - статистика, предложенная Х. Хёрстом для проверки на стабильность, дает более точное измерение длины цикла и особенно хорошо работает в присутствии "шума" в статистических данных. Статистика определяется следующим образом:

.

Это соотношение приведет к горизонтальной линии, если R/S статистика изменяет масштаб пропорционально квадратному корню из времени. Другими словами, график V_N против ln(N) будет плоским, если процесс является независимым, вероятностным процессом (Н = 0.5, что соответствует "белому шуму"). С другой стороны, если процесс персистентен и R/S изменяет масштаб быстрее, чем корень из времени (Н > 0.5, что соответствует "черному шуму"), то график будет иметь наклон вверх. Наоборот, если процесс антиперсистентен (Н < 0.5, что соответствует "розовому шуму"), график будет иметь наклон вниз. При вычерчивании V_N по оси ординат и ln(N) по оси абцисс появляются плоские участки, когда график V_N выравнивается. В таких точках процесс с долговременной памятью рассеивается.

Момент перелома () тенденции графика V_N - статистики соответствует длине как периодического, так и непериодического цикла См. Петерс Э. Там же. стр 97..

На рис. 5 показана V_N - статистика для ВТБ. По оси ординат откладываются значения V_N - статистики, а по оси абцисс ln(N). Обратите внимание на сглаживание наклона в конце каждого непериодического цикла. Исследуя максимальное значение V_N в каждом интервале, можно оценить длину цикла для каждой частоты. Так на графике наблюдаются явные циклы в 60 дней, 90 дней, 125 дней,165дней и 250дней.

Рис. 5. Статистика для ВТБ

Полученные циклы можно объяснить следующим образом 250 дней это годовой цикл взятые только рабочие дни, 125 дней это полугодовой календарный цикл,60 дней - это квартал. Два цикла 90 и 165 дней вероятнее всего учитывают внешние и внутренние экономические и политические изменения. Из полученного графика можно видеть, что R/S - анализ способен определять непериодические циклы, даже когда они накладываются друг на друга.

Поскольку рынок акций ВТБ имеет величину Н, большую 0.5, то делаем заключение, что рынок фрактальный и применение стандартного статистического анализа становится проблематично и необоснованно. Большая величина Н показывает меньше "шума", и указывает на большую персистентность и более ясные тренды. Спрос на акции связан с настоящим и прошлым, поэтому применять к анализу рынка акций Центральную предельную теорему и использовать вероятностное исчисление и линейные модели при анализе цен не корректно.

Это означает, что полученная информация продолжает учитываться рынком некоторое время. Это влияние ослабевает со временем, однако, медленнее, чем кратковременные зависимости. Длина цикла, в данном случае, является мерой того, как долго длится этот период влияния - пока не уменьшится до неразличимой величины.

Фрактальные распределения известны давно, в экономической литературе они носят название "Парето" или "Парето-Леви". Это распределение очень похоже на нормальное распределение, но имеет "толстые концы" и островершинность. Леви обобщил характеристическую функцию вероятностных распределений следующей формулой:

.

Здесь - локальный параметр среднего (параметр положения), - масштабирующий параметр, при нормализации распределения (µ=0) параметр походит на выборочное отклонение и является мерой дисперсии. Единственная цель этих двух параметров - задать масштаб распределения относительно среднего и дисперсии. Когда µ = 0 и = 1, говорят, распределение принимает приведенный вид. Следующий параметр - параметр асимметрии и , при 0 или толстый хвост расположен слева, или скошено влево, в противном случае эти явления наблюдаются справа. Коэффициент: