Материал: формулы

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

I. Кинематика

Движущаяся точка А

Траектория точки А — линия, по которой движется точка.

1. Основные понятия

Радиус-вектор — вектор, описывающий расположение точки в

Система отсчета —

ry = y

пространстве. Это направленный отрезок, проведенный из начала

координат в точку, положение которой он задает.

совокупность тела отсчета,

системы координат, связанной

Координата точки равна проекции радиус-вектора на координатную ось

с телом отсчета, и часов,

Тело отсчета — тело, относительно которого рассматривается

неподвижных относительно

rx = x

движение других тел.

Скорость точки

тела отсчета.

∆rr- Перемещение точки — изменение радиус-вектора

∆r

= dr = rr′(t)

(направленный отрезок, проведенный из начального

∆t

v = lim

положения точки в ее конечное положение).

∆t→0

∆t

∆rr = rr2 −rr1

s – путь, пройденный точкой —

если

v =const

Перемещение точки за время ∆t

r1 r

длина участка траектории между начальным

Ускорение точки

положением (1) и конечным положением (2),

если точка не проходит по одному участку

ar =

∆v

ar = lim

∆v

= dv = vr′(t) = rr′′(t)

траектории более одного раза (иначе путь

∆t

проекция

∆rx = ∆x = x2 – x1

находят как сумму путей на отдельных

∆t→0

участках).

если a = const

вектора ∆r

Проекция перемещения на координатную ось

Изменение скорости за время ∆t

на ось ОХ

равна изменению координаты

		Среднее ускорение		Средний вектор скорости				Средний модуль скорости
			= ∆vr	(средняя скорость перемещения)				(средняя путевая скорость)
численно	= ∆x	ar	= ∆vr	Изменение	r	∆r	Вектор перемещения		s
±Sпод	= ∆x	ср	∆t	скорости	vср	= ∆t	точки за время ∆t		v = t
граф vx (t )				за время ∆t				Путь, пройденный за время t
vx + - площадь выше оси t								Путь, пройденный за время t
vx + - площадь выше оси t
– - площадь ниже оси t				v		численно		ax
	t	численно				±Sпод		= ∆vx
	t	Sпод	= s			±Sпод		= ∆vx
		Sпод	= s	t		граф ax (t )			t
		граф v (t )				+ - площадь выше оси t			t
		граф v (t )

						– - площадь ниже оси t

2. Законы сложения скоростей и ускорений

r	r	r
r	r	r	Скорость «подвижной» системы отсчета (ПСО) относи-	v 1/2 = v 1 − v 2
vт/нсо =vт/псо +vпсо/нсо			тельно «неподвижной» (НСО) (переносная скорость)	v 1/2 = v 1 − v 2

Скорость точки (т) относительно «неподвижной» системы отсчета (НСО)

(абсолютная скорость)

Ускорение точки в «неподвижной» системе отсчета (НСО)

(абсолютное ускорение)

Скорость точки (т)	Скорость первой точки	Скорость первой точки	Скорость второй
относительно «подвижной»	относительно второй	Скорость первой точки	точки
системы отсчета (ПСО)		(в «неподвижной»	(в «неподвижной»
(относительная скорость)		системе отсчета)	системе отсчета)

		Ускорение «подвижной» системы отсчета (ПСО)
	aт/нсо =aт/псо +aпсо/нсо		относительно «неподвижной» (НСО)
			(переносное ускорение)
Если ПСО			Ускорение точки в «подвижной» системе отсчета
не вращается, движется поступательно			Ускорение точки в «подвижной» системе отсчета
относительно НСО			(ПСО)
относительно НСО

3. Нормальное и тангенциальное ускорения					Вектор скорости точки
	arn — нормальное ускорение —		an	v	Вектор ускорения («полное ускорение») представляют
составляющая полного			an	v	как сумму двух векторов (составляющих), один из
ускорения, перпендикулярная				a	которых (aτ ) параллелен скорости, а другой (an )
вектору скорости. Это ускорение
характеризует быстроту			aτ		перпендикулярен скорости:			ar =arτ +an
изменения направления вектора
изменения направления вектора				aτ — тангенциальное ускорение — составляющая полного ускорения,
скорости.		Радиус кривизны
	v 2	Радиус кривизны		параллельная вектору скорости. Это ускорение характеризует быстроту
	an = r	траектории в той точке,
	an = r	где имеет место данное		изменения модуля вектора скорости:		aτ =	dv
		нормальное ускорение.		изменения модуля вектора скорости:		aτ =	dt

4. Типы движений

4.1. Равномерное движение— движение, при котором точка за любые равные промежутки времени проходит

(v = const)

= v t

одинаковые пути (Вектор скорости не изменяется по модулю, но может меняться по

направлению)

Модуль скорости

Путь, пройденный точкой за время t

4.1.1 Равномерное прямолинейное движение — движение, при котором точка за любые равные промежутки

(vr =const )

s = v

x = x0 + vx t

времени совершает одинаковые перемещения. (Вектор скорости

( a =

0 )

не меняется ни по модулю, ни по направлению)

Проекция вектора скорости на координатную ось

Координата точки в начальный момент t = 0

Координата точки в момент t

4.1.2 Равномерное движение по окружности

(равномерное вращение — движение твердого тела, при котором любая его точка движется по окружности,

причем, центры всех этих окружностей лежат на одной прямой перпендикулярной плоскости вращения, и за

любые равные промежутки времени тело поворачивается на одинаковые углы.)

(ω = const)

∆ϕ

Угол, на который тело поворачивается за

s = v t

ω=

∆t

время ∆t (угол измеряется в радианах)

aц1

∆ϕ

2π

ω— Угловая скорость (измеряется в рад/с)

aц

ω=

v = ω R

R — Радиус окружности,

При равномерном движении по R

окружности точка обладает

по которой движется точка

ускорением, которое в любой

T - Период вращения — время,

момент направлено к центру

T =

за которое происходит один

этой окружности. Такое

ν =

полный оборот.

ускорение называется

t — время, за которое

ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНЫМ.

происходит N оборотов

v - скорость движения точки

ν - частота вращения — число,

aц

R – радиус окружности, по

оборотов, происходящих за единицу времени (за 1 секунду).

которой движется точка

Измеряется в герцах. 1 Гц = 1 оборот/с

vx , vy - проекции скорости в момент t

4.2 Движение с постоянным ускорением

(ar = const )

∆v

vx = v0x

+ ax t

v =v0 +at

vy = v0y

+ ay t

ax , ay - проекции ускорения

При a =const :

∆t

численно

v0x , v0y - проекции начальной скорости

±Sпод

= ∆x

∆x =vx +v0x t

(т. е. скорости в момент t = 0)

граф vx (t )

∆x ,

∆y – изменение координат:

+ - площадь выше оси t

+v0y

∆x = x – x0 ; ∆y = y – y0

– - площадь ниже оси t

+v0

∆y =

∆r

x , y – конечные координаты

2ar∆rr =v 2 −v02

(координаты в момент t)

2ax ∆x = vx2 - v x2

t 2

x = x0 + v0x t +

rr =rr +vr

2ay ∆y = vy2 - v0y2

t + at 2

Форма траектории

y = y0 + v0y t + ayt 2

при движении с постоянным ускорением:

Прямолинейная траектория (ar

иvr параллельны)

x0 , y0 – начальные координаты

(координаты в момент t = 0)

4.2.1 Равноускоренное движение ar ↑↑vr 4.2.2 Равнозамедленное движение a ↑↓v

Параболическая траектория

(ar иvr

не параллельны)

v = v0 − a t

2a s = v02 − v2

v = v0 + a t

2a s = v2 − v02

s =v0t +

at 2

s =

v +v0

s =v0t −

at 2

s =

v +v0

t ≤ tост

= v0/а

4.3 Гармоническое движение x = A cos(ωt + ϕ0) ,

vx = −A ω sin(ωt + ϕ0) , ax = −A ω2 cos(ωt + ϕ0)

(вдоль оси ОХ)

vm = A ω

am = A ω2

x — координата колеблющегося тела (смещение от равновесного

максимальная

максимальное

положения); ω — циклическая частота колебаний,

ω = 2π

ax = −ω2 x

скорость

ускорение

A — амплитуда колебаний (максимальное смещение)

период

колебаний (время одного полного колебания)

ϕ = ωt + ϕ0 — фаза колебаний, ϕ0 — начальная фаза.

В инерциальных системах отсчета (ИСО)

II. Динамика

1. Второйr законr Ньютонаr

mar = F1 + F2 + F3 +...

m — масса материальной точки,

ar— ускорение этой материальной точки,

F1 + F2 + F3 +... = Fравн — сумма всех сил, действующих на эту

материальную точку (равнодействующая сила). ИСО — системы отсчета, относительно которых любая материальная точка, свободная от действия сил, не имеет ускорения.

Инерциальной может приближенно считаться:

•Система отсчета, связанная с поверхностью Земли (если не требуется учитывать вращение Земли и силы притяжения к Солнцу и планетам)

•Система отсчета, с центром в центре Земли, оси которой направлены на звезды (если надо учесть вращение Земли вокруг своей оси, но вращение вокруг Солнца и притяжение к Солнцу и планетам можно не учитывать).

•Система отсчета, с центром в центре Солнца, оси которой направлены на звезды (если можно не учитывать вращение солнечной системы вокруг ядра галактики и притяжение к другим звездам).

Теорема о движении центра масс

Мсист — масса системы материальных точек (масса

тела или системы тел),

M систaц.м.

= F1внеш + F2внеш

+ F3внеш +...

arц.м. — ускорение центра масс этой системы,

В ИСО

F1внеш + F2внеш +... — сумма внешних сил,

Внешние силы —

силы, действующие на тела, входящие в систему, со

действующих на эту систему.

стороны тел, не входящих в эту систему.

3. Третий закон Ньютона

•

F21 = F12

Если одно тело (1) действует на другое тело (2) силой ( F12 ), то

•

F21 ↑↓ F12

второе тело (2) обязательно действует на первое (1) такой силой F21 , что →

•

F21 и F12

— лежат на одной прямой

•

F21 и F12

— имеют одну природу:

F21 = −F12

"1"

F12

например, если F12

- сила трения, то

"2"

F21 тоже сила трения.

Силы, действующие на тело со стороны тел, соприкасающихся с ним

4. Силы, которые могут действовать

(действие через контакт).

на тело, можно разделить на две группы:

Силы, действующие на тело со стороны тел, не соприкасающихся с ним

(действие через силовые поля: гравитационное, электрическое или

магнитное) — гравитационная, электрическая или магнитная сила.

5. Гравитационная сила

F21 = F12

= Fграв — сила гравитационного притяжения между

m m

F12 m2

= γ

двумя материальными точками или однородными шарами

(сферами), массы которых m1 и m2 .

грав

т. е. телами, размеры

r — расстояние между этими материальными

которых пренебрежимо

малы по сравнению с

γ — гравитационная постоянная

точками, или центрами шаров (сфер).

расстоянием между ними.

— измеряется в специальных экспериментах, очень важная

γ ≈ 6,67 10-11 Н м2/кг2

величина (фундаментальная константа)

≈F

=γ

Mпл

m =gm

Первая космическая скорость —

скорость спутника, который

тяж

грав.наповерхн.

Fтяж = mg ≈ Fграв. на поверхн. вращается вокруг планеты по

пл

круговой орбите минимального

g - ускорение

g =γ

Mпл

Rпл

возможного радиуса r ≈ Rпл

свободного

Для такого спутника по II закону Ньютона: ma = Fтяж

падения на

поверхности

Rпл

Ускорение спутника — центростремительное

планеты

ускорение (т. к. он равномерно движется по

Вес тела — сила, с которой это тело, благодаря наличию у него массы,

окружности) a = aц = v2/r , сила тяжести Fтяж = mg.

Учитывая, что r ≈ Rпл, получим:

давит на подставку, на которой лежит, или действует на подвес,

v 2

на котором висит.

= mg

vI =

gRпл

Перегрузка — превышение весом величины mg. Возникает в ракетах,

Rпл

лифтах и пр. при движении с ускорением, направленным вверх.

Невесомость — состояние, в котором вес равен нулю (т. е. тело не давит на подставку). Невесомость может возникать не только при отсутствии гравитационной силы, но и в лифтах, самолетах, космических кораблях и пр., движущихся с a = g .

6. Силы, действующие через контакт (со стороны прикасающихся тел)

6.1. Если к телу прикасается твердая поверхность , то со стороны этой поверхности на тело могут действовать

две силы:

Nr - сила

Сила трения - Fтр

нормальной

Fтр - направлена всегда параллельно поверхности,

реакции

со стороны которой действует (по касательной к

N - направлена

поверхности, если поверхность не плоская).

всегда

Эта сила мешает телу скользить по поверхности (иногда делает скольжение

перпендикулярно

совсем невозможным).

к поверхности,

По своей природе она является результатом взаимного притяжения молекул

со стороны которой

тела и поверхности, а также зацепления микронеровностей тела и поверхности.

она действует.

Эта сила мешает телу "пройти сквозь

Сила трения может отсутствовать: Fтр = 0, если

поверхность" (т. е. ограничивает область

1. В задаче указано, что "поверхность гладкая".

возможного движения тела).

2. Тело "не стремится скользить", т. е. оно не скользило бы по поверхности

По своей природе она является силой

даже, если бы поверхность вдруг стала абсолютно гладкой и скользкой.

упругости.

Сила нормальной реакции действует всегда,

Fтр

= µN

Если

µ- коэффициент трения

когда между телом и поверхностью есть

происходит

между телом и поверхностью.

контакт.

скольжение

Он зависит от материала,

≤ µN

степени шероховатости

Если нет

тела и поверхности,

тр

скольжения

а также от скорости тела

относительно поверхности v. (см. график)

6.2. Если к телу прикреплена нерастяжимая натянутая нить (трос, веревка и т. п.), то со стороны этой нити на

тело действует сила реакции нити (сила натяжения нити)

T - сила реакции нити- направлена всегда по нити (или по

T - сила, действующая на

касательной к нити, если нить не прямолинейна).

потолок со стороны веревки,

прикрепленной к нему.

Если мысленно разделить нить на две части, то сила реакции будет

Деформация считается упругой,

действовать со стороны одной части нити на другую часть этой нити. (В этом

если после прекращения действия

случае чаще употребляют название "сила натяжения нити".)

деформирующих сил тело

возвращается к начальной форме

6.3. Если к телу прикасается

упруго

деформированное тело (пружина, упругий

стержень, резиновый шнур и т. п.),

то со стороны упруго деформированного тела действует сила упругости ( Fупр ) на тела, мешающие ему вернуться в

недеформированное состояние. (Если мысленно рассечь деформированное тело на части, то со стороны одной части на другую тоже может действовать сила упругости.)

l0 - длина недеформированной (свободной) пружины

l0 - длина недеформированного стержня

∆l = l − l0 - удлинение пружины

∆l

l −l0

- относительное

k - коэффициент жесткости

ε =

пружины

удлинение

стержня

l - длина

деформированной пружины

l - длина деформированного стержня

Fупр

= k ∆l

При

F12 - сила упругости, действующая со

Fупр

малых упругих деформациях

F21

стороны части "1" на часть "2".

сила упругости,

↑

S - площадь

Fупр

действующая со стороны

σ =

части "2" на часть "1".

поперечного сечения

- механическое

Из закона Гука:

стержня (S Fупр )

напряжение, возникающее в

Fупр

= E

∆l

Fупр =

∆l

стержне

Е- модуль упругости

Закон Гука:

σ = Eε

При малых

(модуль Юнга)

Значит, для упругого стержня Fупр = k ∆l ,

упругих деформациях

материала стержня.

где k = ES/l0 - коэффициент жесткости упругого стержня.

III. Законы сохранения. Работа и мощность.

m - масса материальной точки

pr ↑↑ vr

Импульс материальной точки

p =m v

v - скорость этой материальной точки

↑

Импульс системы материальных точек равен векторной сумме импульсов всех

всегда!

точек, входящих в эту систему.

= pr

+ pr

+K+ pr

Пример: импульс однородного диска, вращающегося

вокруг неподвижной оси, проходящей через центр

сист

prдиск = pr1

+ pr

2 + pr

3 + pr

4 +K+ prn =0

3. Теорема об изменении импульса материальной точки

∆t

∆pr = pr

2 − pr1 - изменение импульса материальной точки.

∆p

=∑F

∑Fr

- сумма всех сил, действующих на материальную точку.

∑Fr =const

Выводится из II закона Ньютона: mar =∑Fr . Если ∑Fr =const , то ar =const и

ar = ∆vr

=vr2 −vr1

Подставив в уравнение↑и, домножив обе части на ∆t , получим …

∆t - время действия сил.

∆t

F ∆t - импульс силы.

4. Теорема об изменении импульса системы материальных точек

Из п. 2: ∆prсист =∆pr1 +∆pr2 +K+∆prn =∑Fr∆t ;

∑Fr =∑Frвнеш +∑Frвнутр =∑Frвнеш +0

↑

∑Fr — сумма всех сил, действующих на все мат. точки системы

Из п.3: ∆pr1 = ∑Fr1∆t , ∆pr

= ∑Fr2 ∆t , …

∑Frвнеш — сумма внешних сил, действующих на все мат. точки системы

∑Fr

внутр— сумма внутренних сил, действующих на все мат. точки системы

∑Frвнутр =

Fr21

+ Fr31 +K+

Fr12

+ Fr32 +K+ Fr13 + Fr23 +K=0 — по III закону Ньютона Fr12 + Fr21 =0,

Fr13 + Fr31 =0, K

∆prсист =∑Frвнешн ∆t

∑F внеш =const

5. Закон сохранения импульса:

prсист′ = prсист′′

Если, 1) ∑Frвнеш =0

2) ∆t ≈ 0 - при быстрых взаимодействиях (взрывах, выстрелах, соударениях), если внешние силы не возрастают до больших значений и остаются малы по сравнению с внутренними силами.

∑Frвнеш — сумма внешних сил, действующих на все мат. точки системы

∆t — время, в течение которого действовали силы.

∆prсист — изменение импульса системы материальных точек за время ∆t

Импульс системы материальных точек сохраняется, если

1)Сумма внешних сил, действующих на эту систему равна нулю.

2)Время действия внешних сил мало так, что импульс системы не успевает

существенно измениться - выстрелы, взрывы, соударения, при которых внешние силы малы по сравнению с внутренними силами.

Кроме того, 3) сохраняется проекция импульса на ту координатную ось, к которой

перпендикулярна сумма внешних сил.

pсист′ x = pсист′′ x , если ∑Frвнеш OX

6. Работа силы

A r

cos α

— работа силы Fr

Единица измерения

∆r

= F ∆r

работы в СИ

r F

(и движение по прямой, в

∆r — перемещение материальной точки, на

1Дж = 1Н м

F =const

неизменном направлении.)

α ∆rr

которую действует сила F .

А > 0, если α — острый угол. r

α— угол между силой Fr и перемещением ∆rr.

А < 0, если α — тупой угол. F

∆r

Чтобы найти работу не постоянной силы над точкой, которая движется по произвольной

А = 0, если

α = 90о.

∆r

траектории, надо мысленно разбить движение на такие малые перемещения dr1

, dr2 ,K,

∆r

чтобы на каждом из них с достаточной точностью можно было бы считать движение

прямолинейным, а силу постоянной. Тогда

drr2

A = F dr

+F dr +K

dr1

7. Мощность

N =

Работа, совершенная за время t.

Единица измерения

мощности в СИ

Если мощность не постоянна, то вычисляется

1 Вт = 1Дж/с

средняя мощность:

мгновенная мощность:

N = const

Nср =

r r

= F v cosα

= Fdr = Fr vr

8. Механическая энергия

Потенциальная энергия — этой энергией обладают тела, на которые

Емех = Ек + Ер

действуют консервативные силы: Fграв (Fтяж), Fупр, Fэлектр

Консервативны, если они неизменны во времени для каждого

Кинетическая энергия

положения, или являются внутренними для системы.

Силы, работа которых над системой при ее перемещении зависит только от

Этой энергией обладают движущиеся тела.

начального и конечного положений этой системы. Работа консервативных

mv 2

Ekсист

= Ek1 +Ek 2 +K

сил не зависит от того, каким способом (по какой траектории) система была

переведена из начального положения в конечное.

Кинетическая энергия системы

Основное свойство консервативных сил: работа консервативных сил

материальных точек.

над системой, совершившей движение по замкнутой траектории

Кинетическая энергия

(когда конечное положение совпадает с начальным), равна нулю.

материальной точки массой m, движущейся со скоростью v.

Потенциальная энергия — это такая функция от расположения

Теорема о кинетической

системы, убыль которой при перемещении системы равна работе

Работа всех сил,

консервативных сил на этом перемещении.

Еp1 – Ep2 = Aконс1-2

энергии: ∆E

действующих в

Чтобы вычислить конкретное значение Ер , договариваются в каком

всехсил

системе.

положении системы "О" считать Ер(О) = 0. Тогда в произвольном

Изменение

положении "М" потенциальная энергия системы Ер(М) = Аконс М–О

кинетической энергии системы

Ер(тяж) = ±mghцентра масс над нулевым уровнем

9. Теорема о механической энергии

∆Eмех = ∆Ek + ∆E p = Aвсехсил

− Aконс = Aнеконс.сил

h (+)

∆Eмех = Анеконс

Epупр = k∆l

Ер = 0

h (–)

10. Закон сохранения механической энергии

E′

E′′

Механическая энергия системы материальных

Если Анеконс = 0

точек сохраняется, если в системе совершают

мех

работу только консервативные силы (Анек = 0)

11. Диссипативные силы — неконсервативные силы, работа которых сопровождается выделением

Fтрения скольжения ; Fсопр. жидк. и г.; Fнеупруг. взаимод.

тепла.

Авнутр. дис = – Q — не зависит от системы отсчета

E′мех – E″мех = Q

Если Анеконс = Авнутр. дис.

12. Методы вычисления работы

13. Средняя по времени сила

AFr

cos

∆pr

∆r

= F ∆r

F =const

сист

Aконс1-2 = Еp1 – Ep2

ср

∆t

Атяж = mg(h1 – h2)

Средняя по времени сумма

Изменение

внешних сил,

Анеконс = ∆Eмех

Aупр = k

действующих на систему

импульса

системы за

(∆l12 −∆l22 )

материальных точек

время ∆t

Aвсех сил

= ∆Ek

ОХ, или

Если

Ar = ±Sподграфиком F ( x)

ОХ

Численно

"+" − если график выше оси x

"−" − если график ниже оси x

IV. Статика и гидростатика					Твердым телом называется тело,
IV. Статика и гидростатика					расстояние между любыми двумя
1. Для равновесия твердого тела или системы тел необходимо одновременное выполнение					точками которого не изменяется с
					течением времени (или меняется
двух условий:					пренебрежимо мало).
I условие равновесия: Сумма внешних сил, действующих на систему, должна быть равна нулю.						Внешними называются силы,
	r	r				действующие на тела, входящие
	r	r
	F внеш	+F внеш +K=0
	F внеш	+F внеш +K=0	в систему, со стороны тел, не входящих в эту систему.
	1	2
II условие равновесия: Сумма моментов внешних сил, действующих на систему,				M Frвнеш		+M Frвнеш +K=0
		должна быть равна нулю		M Frвнеш		+M Frвнеш +K=0
		относительно любой оси вращения.			1	2
		относительно любой оси вращения.

2. Вращающим моментом силы относительно оси вращения называется взятое со знаком «+» или «−» произведение
M F	модуля этой силы на ее плечо. Плечом силы называется длина перпендикуляра, проведенного
	=±F dF		из оси вращения на линию действия этой силы
r	r
	Знак «+» берется, если сила F		Замечание.
			Приведенное здесь определение вращающего
	стремится повернуть тело
		dFr	момента справедливо лишь для сил, лежащих в
	против часовой стрелки,
			плоскости перпендикулярной оси вращения.
	знак «−» — если по часовой.	F

Единица измерения М в СИ: 1 Н м

Момент этой силы — отрицательное число: M Fr <0

3. Не всегда одновременное выполнение I и II условий равновесия гарантирует неподвижность механической системы. Покой системы невозможен в положениях неустойчивого равновесия (т.е. в таких положениях, любое бесконечно малое смещение из которых, приводит к тому, что сумма внешних сил (или их моментов) стремится еще больше удалить систему от равновесного положения). Реализованы могут быть только положения устойчивого равновесия (т.е. такие положения, любое бесконечно малое смещение из которых, приводит к тому, что сумма внешних сил (или их моментов) стремится вернуть систему обратно в равновесное положение) и положения безразличного равновесия (т.е. положения, при бесконечно малых смещениях из которых сумма внешних сил и их моментов остается равна нулю).

4. Центром масс системы материальных точек m1, m2, … , mN называется геометрическая точка (С), координаты которой определяются формулами:

xC =	m1 x1 +m2 x2 +K+mN xN	;	yC =	m1 y1 +m2 y2 +K+mN yN	;	zC =	m1 z1 +m2 z2 +K+mN zN
							m1 +m2 +K+mN
	m1 +m2 +K+mN			m1 +m2 +K+mN

Центр тяжести (т. е. точка приложения равнодействующей силы тяжести) совпадает с центром масс системы, если эта система находится в однородном гравитационном поле (или напряженность поля тяготения меняется в пределах системы

незначительно)		(т.е. жидкость неподвижная относительно стенок сосуда)
5. Сила гидростатического давления — сила, с которой покоящаяся жидкость действует на погруженные в нее тела,
По своей природе эта сила	стенки и дно сосуда, в котором жидкость находится (без учета поверхностного
По своей природе эта сила	натяжения).
является		Сила гидростатического давления
силой объемной упругости		всегда направлена перпендикулярно к той
Она возникает, если жидкость		поверхности, на которую она действует
сжата (например, прижата силой		(поскольку сила объемной упругости не может
тяготения к внутренней		иметь составляющей параллельной поверхности,
поверхности неподвижного сосуда)		деформированного тела, а упругостью формы
и зависит от степени сжатия.		жидкость не обладает)

6. Давлением жидкости на плоскую поверхность называется отношение силы гидростатического давления, действующей на эту поверхность, к площади поверхности (при условии, что сила распределена по поверхности равномерно).

p =

Fгидр. давл.

Если сила давления неравномерно распределена по поверхности, то можно вычислить среднее давление

или давление в данной точке поверхности

Fгидр. давл.

Сила гидростатического давления, действующая

pср =

p =

гидр. давл.

на бесконечно малую площадку dS

• поверхность плоская

• давление одинаково во

площадь бесконечно малой площадки

поверхность плоская

всех точках поверхности

(эта площадь dS мала на столько, что площадку можно

с достаточной точностью считать плоской и

Единица измерения давления в СИ: 1Па = 1 Н/м2.

изменением давления в пределах dS можно пренебречь)

Fдавл.

= pср S =

7. Давление в какой-либо точке жидкости — это давление на воображаемую

на стенку

бесконечно малую площадку, на которой лежит эта точка. Причем, можно доказать, что

pA + pB

давление в данной точке жидкости не зависит от ориентации той воображаемой

бесконечно малой площадки, на которую производится это давление.

pА = p1 = p2 = p3

Fдавл.

на стенку

Давление в точке жидкости А

8. В однородной покоящейся жидкости				жидкость неподвижна относительно
давления в точках, лежащих				стенок сосуда (не течет), а сосуд не
				имеет ускорения в ИСО		1	2		3	4
в одной горизонтальной плоскости (на одном уровне), одинаковы.											g
плотность жидкости ρ					p1 = p2 = p3 = p4
	Открытая в атмосферу, свободная
одинакова во всех ее точках
поверхность жидкости горизонтальна,									горизонтальная плоскость —
т. к. во всех ее точках давление одинаково и равно атмосферному.						плоскость, перпендикулярная вектору g
Док-во: Мысленно выделим в жидкости прямоугольный параллелепипед А1В1С1D1А2В2С2D2.						F1	С1			С2
Площадь А1В1С1D1 так мала, что во всех ее точках давление одинаково. Сторона А1А2 горизон-											F2
							В1			В2
тальна. Выделенный объем жидкости находится в равновесии, поэтому сумма всех действующих								D1
r	r	r	r				А1		mg	D2
на него сил равна нулю: mg	+ F1	+ F2	+ Fбок =0 (Сила Fбок		— сумма сил					А2
гидростатического давления на боковые поверхности А1В1В2А2, В1С1С2В2, С1D1D2C2, D1A1A2D2.) О											Х
В проекциях на горизонтальную ось ОХ это уравнение имеет вид: F1 – F2 = 0 F1 = F2 Разделив обе части этот равенства на площадь
А1В1С1D1, получим что давления на площадки А1В1С1D1				и А2В2С2D2 равны: p1 = p2 .

9. В однородной покоящейся жидкости давления в точках, лежащих на разных

горизонтальных уровнях, отличаются на

ρ − плотность жидкости

pн − pв = ρgh

h − расстояние между верхним

давление в точке, лежащей

давление в точке

ускорение

и нижним уровнями

на более низком уровне

g −

лежащей на более высоком уровне

свободного падения

Док-во: Мысленно выделим в жидкости прямоугольный параллелепипед с горизонтальными основаниями.

Fв

Выделенный объем жидкости находится в равновесии, поэтому сумма всех действующих на него сил равна нулю:

mg + Fн

+ Fв + Fбок

=0 (Сила Fбок

— сумма сил гидростатического давления

на боковые вертикальные поверхности .)

В проекциях на вертикальную ось ОY это уравнение имеет вид: –mg + Fн – Fв = 0 Fн – Fв = mg = ρShg

(здесь масса выделенного объема жидкости m представлена как произведение ее плотности ρ на объем V = Sh

Разделив обе части этот равенства на площадь основания S , получим: pн − pв = ρgh.

10. Архимедова сила— выталкивающая (подъемная) сила, действующая на тело, погруженное

Fн

= Fr

+ Fr +

в жидкость или газ. Архимедова сила есть сумма всех сил гидростатического давления,

Рис. 10.1

Арх

действующих на тело, погруженное в жидкость или газ (кроме тех случаев, когда тело плотно

+K+ FrN

прижато к дну или стенке сосуда так, что жидкость (газ) не проникает между телом и дном

(стенкой) — в этих случаях суммарную силу гидростатического давления не называют

архимедовой силой)

FrN

= mвыт g

ускорение свободного

FАРХ = ρж Vпогр g

Vпогр

АРХ

падения

mвыт — масса «вытесненной

» жидкости — масса такой

если жидкость

ρ — плотность среды

же жидкости, как вокруг тела, которая уместилась бы в

однородна

(жидкости или газа),

объеме погруженной части тела Vпогр

в которую

погружено тело

Док-во: Сумма сил гидростатического давления Fr1

+ Fr2 +K+ FN = FАрх

, действующих на объем Vпогр не зависит от того, какое вещество

находится внутри этого объема ( F1 , F2 , … – силы упругости, они зависят от деформации жидкости, окружающей объем

Vпогр , а не от содержимого этого объема). Мысленно выделим в покоящейся жидкости объем, совпадающий с Vпогр по

Рис. 10.2

FАрх

форме и расположению (рисунок 10.2). На него будут действовать точно такие же силы гидростатического давления

Fr1 , Fr2 , … , как и на объем погруженной части тела Vпогр . Выделенный в жидкости объем находится в равновесии, значит,

выт

gr = 0

= mвыт g , что и требовалось доказать.

Арх

АРХ

(В этом доказательстве считается, что атмосферного давления нет. Чтобы учесть его наличие, можно

Vпогр

рассматривать тело на рисунке 10.1, как плавающее на границе раздела двух сред – жидкости (ρ2) и воздуха (ρ1))

Если тело плавает на границе нескольких сред, плотностями ρ1, ρ2, … (На рис. 10.3 пример, когда

сред две), то масса вытесненной жидкости mвыт находится как сумма mвыт = ρ1V1

+ ρ2V2

+ …

(V1 — объем той части тела, которая погружена в первую среду,

Рис. 10.3

V2 — объем той части тела, которая погружена во вторую среду, и. т. д.)

mвыт g

Архимедова сила в этом случае равна F

= (ρ1V1 + ρ2V2 + …)g

ρ1

АРХ

11. Если сосуд с жидкостью движется с ускорением arв ИСО, то в системе отсчета, связанной с сосудом, на каждую

ρ2

точку этой жидкости вместе с силой тяжести mgr действует сила инерции Fин =−mar. Если жидкость неподвижна

относительно сосуда, то в системе отсчета, связанной с движущимся сосудом, можно использовать формулы из

gr′

′

пунктов 9 и 10, заменяя в них gr на

g′= gr

−ar.

p2 = p3

FАрх =−ρVпогрg

p1 – p2 = ρg′h

−a

V. Тепловые явления

Для идеального газа

Абсолютная температура

pV =νRT

T = (t oC + 273)К

1. Уравнение Менделеева-Клапейрона

Давление газа (в Па)

Универсальная газовая постоянная

1 атм ≈ 105 Па ≈ 760 мм.рт.ст.

R ≈ 8,31 Дж/(моль К)

Объем газа (в м3)

Количество вещества — число моль газа.

1 л = 10

-3

1 моль — группа из ≈ 6,02 1023 молекул.

k = R/NА ≈ 1,38 10-

23 Дж/К

Число Авогадро

NRT

NА ≈ 6,02 1023 моль-1

постоянная Больцмана

pV =

ν =

Число молекул газа

N A

Число молекул в 1 моль

разделим обе части на V:

p =

pV =

ν = m

Масса газа

n = N/V

— концентрация газа -

разделим обе части на V:

Масса 1 моль газа — молярная масса

число молекул в 1 м .

mRT

p = nkT

p =

ρ = m/V

— плотность газа.

15,9994 О

М ≈ 16 10-3 кг/моль

2. Закон Дальтона

p =

Кислород

pсмеси = p1 + p2 + …

Давление смеси

Парциальное давление первого из газов, входящих в смесь, — т. е. давление, которое создавал бы этот

ν1 RTсмеси

газ, если бы он один занимал весь объем смеси.

нереагирующих

газов.

Vсмеси

Для идеального газа

Основное уравнение МКТ

m0 =

Масса 1 моль

Число молекул

N A

p =

nEkпост

0vкв2

m v 2

в 1 моль

Ekпост =

0 кв

Масса одной молекулы

Плотность газа ρ

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул

vкв =

m0v1

m0v2

+K+

m0v N

пост

v 2

+v 2 +K+v 2

m0v 2

m v 2

Средняя квадратичная скорость

Ek =

0 кв

4. Газовые законы

Из pV = νRT следует, что если ν = const, то

= const

p1V1

p2V2

ν = const,

p V = p V

p(V )

= νRT

T = const

Изотермический процесс,

T2 >T1

график - изотерма.

ν = const ,

газ идеальный

V (T )=

νR T

ν = const,

p = const

Изобарный

процесс,

p2 > p1

график - изобара

p(T )= νVR T

ν = const,

V = const

V1 < V2

Изохорный

процесс,

график - изохора.

Работа газа

5. Первый закон термодинамики

Q = ∆U + Aгаза

Агаза = − Анад газом

Количество

теплоты, полученное (Q > 0)

или отданное (Q < 0) системой.

V = const

(Энергия, полученная или отданная системой в процессе

Изменение внутренней

Агаза = 0

теплопередачи, т. е. при обмене энергиями между

энергии системы

молекулами — на микроскопическом уровне.)

U = Ek тепл + Ep взаим

C =

Q = C∆T

p = const

∆T

Внутренняя

Кинетическая

Потенциальная

Агаза = p∆V = νR∆T

Теплоемкость тела (системы)

энергия

c =

Q = cm∆T

хаотического

взаимодействия

ν = const

(теплового)

молекул друг с

численно

m∆T

движения

другом.

Удельная теплоемкость вещества

молекул.

Агаза =

± Sпод граф. р(V)

В идеальном газе Ek тепл >> Ep взаим , поэтому

"+" — если газ расширяется

CM = ν∆T

Q = CM ν∆T

U = Ek тепл =

"−" — если газ сжимается

Молярная теплоемкость вещества

νRT

∆U

i = 3 для одноатомных газов (Не, Ne, Ar, …)

При V = const: CV = ∆T

i = 5 для двухатомных газов (Н2, N2, О2, воздух, )

i = 6 для многоатомных газов (пары Н2О, …)

При p = const:

∆U

+ A >

∆U =

( p V − p V ) =

νR∆T

Cp =

Нагреватель

∆T

2 2

1 1

Tнаг

6. Адиабатический процесс

Для идеального газа

Q = 0 Aгаза = − ∆U

подв

∆U = CV ∆T = cV m∆T = CM V ν∆T

В теплоизолированной системе или при быстрых процессах

Для идеального газа

в любом процессе

При адиабатическом расширении (Агаза > 0) газ охлаждается (∆U < 0)

Рабочее

При адиабатическом сжатии (Агаза < 0) газ нагревается (∆U > 0)

вещество

Адиабата — гипербола, идущая более "круто" чем изотермы (с ростом V убывает T).

(газ)

7. КПД циклического процесса

Изотермы

(теплового двигателя)

Qотв

ηцикла =

Aгазавцикле

Qподв −

Qотв

=1−

Qотв

Холодильник

Qподв

Tхол

Qполн. за цикл = Qподв + Qотв = ∆Uв цикле + Aгаза в цикле

= Tнаг −Tхол

Qотв < 0 Qотв = − Qотв

∆Uв цикле = Uкон − Uнач = 0

идеал

Qподв − Qотв = Aгаза в цикле

Tнаг

Агаза в цикле = ± Sвнутри цикла р(V)

"+" − если цикл идет "по часовой стрелке"

КПД идеальной тепловой

"−" − если цикл идет "против часовой

машины, работающей по

численно

стрелки"

циклу Карно — максимальный

6. Насыщенный пар

теоретически возможный КПД

— газ, дальнейшее изотермическое сжатие или изохорное

охлаждение которого приводит к превращению части этого

при данных Тнагр и Тхол.

Идеальная

изотерма

газа в жидкость (при наличии центров конденсации).

газ, находящийся в динамическом равновесии со своей жидкостью, т. е. в состоянии, когда число

рнас

молекул, переходящих из газа в жидкость равно числу молекул, переходящих обратно за то же время.

Реальные изотермы: область I

- вода

Давление насыщенного пара (а также его плотность)

область II - вода в равновесии с насыщенным

однозначно определяется температурой и больше ни

область III - газ

паром

от чего не зависит (ни от объема, ни от массы пара).

Tкр - критическая температура, при Т > Tкр газ

Относительная влажность воздуха

никаким сжатием нельзя перевести в жидкость.

pпара ввоздухе

ρпара ввоздухе

ϕ =

(×100 %)

Условие кипения:

pнас = pна пузырек ≈ pатм ,

Для воды pнас (100 оС) ≈ 105 Па

pнас. пара при даннойТ

ρнас. пара приданнойТ

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
__RGR2
__RGR2
_индив анализ данных
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
...Тянет нас вверх: топос в заключительных строках Фауста Гёте
'iПрезентация'
'Духовные песнопения' Уильяма Берда
'Новая городская история' в культурном пространстве современных социально-гуманитарных исследований