Имманентной особенностью математической культуры является отслеживание причинно-следственных связей, поскольку процедура формального доказательства в математике рассматривается как условие истинности математических утверждений. Примером проявления математической культуры является реакция математика в случае обнаружения «контрпримера»: настоящий математик ищет ошибку в доказательстве. Математическая культура преподавателя математики проявляется и в его комментариях к своим действиям. Например, при решении задачи «Найти значения параметра a, при которых уравнение имеет три корня».
Рис. 2. Иллюстрация к задаче о нахождении значений параметра a, при которых уравнение имеет три корня.
Если после построения графика левой части этого уравнения, см. рис. 2, учитель говорит «Нам нужны такие значения параметра a, чтобы кривая пересекалась с горизонтальной прямой, отвечающей данному значению a, по трем точкам», то, весьма вероятно, некоторые учащиеся не смогут раскрыть связь между числом точек пересечения графиков и числом решений уравнения. Учитель с высоким уровнем математической и педагогической культуры постарается выяснить, осознают ли ученики эту связь. В данном варианте изложения это целесообразно сделать, выбирая конкретные значения параметра a. Проблема с объяснением связана с опасным отождествлением слова «переменная» со словосочетанием «значение переменной». В самом деле, фразу a=1 большинство математиков однозначно воспринимает как синоним фразы «значение параметра a равно 1», но на самом деле её можно воспринять как утверждение о совпадении двух символов: буквы a и цифры 1 (цифра это тоже буква). Более того, нередко слово «цифра» в обыденной речи воспринимается синонимично слову «число». Если в приведенном примере строить графики линий и y=a, то объяснение позволит в сознании учеников зафиксировать фундаментальную связь между линией и её уравнением.
В случае, когда данная связь фиксируется формально, на уровне рефлекса, могут возникнуть проблемы с восприятием рассуждений. Например, рассмотрим решение задачи «Найдите все такие значения параметра a, что неравенство имело хотя бы одно решение». Предложено графическое решение, основанное на представлении множеств точек в системах координат xOy и aOy с совмещенными осями Ox и Oy, заданных неравенствами для координат этих точек: (область под соответствующей параболой) и (область над соответствующей параболой), см. рис. 3. В этом случае исходное неравенство выполняется тогда и только тогда, когда для точки из второй области найдется хотя бы одна точка в первой области, находящаяся выше неё (расположение этих точек по горизонтали несущественно). Следовательно, требуемые значения a можно интерпретировать как абсциссы тех точек на параболе , которые находятся не ниже хотя бы одной точки на параболе .
Рис. 3. Иллюстрация к задаче о нахождении таких значений параметра a, что неравенство имело хотя бы одно решение.
Ошибка в восприятии этих рассуждений обычно связана с некритичным отношением к расположению точек: в данном случае переменные x и a независимы, поэтому взаимное расположение точек на параболах по горизонтали несущественно, важно лишь их расположение по вертикали. Попытка совмещения осей вызывает недоумение, сопровождающееся попытками использовать информацию о точках пересечения парабол. Но последние не имеют отношения к рассматриваемой задаче.
Для оценки уровня математической культуры важным является такой феномен как «понимание». Что значит «понять»? На самом деле понимание включает в себя 3 компонента: 1) формирование субъективной модели изучаемой информации, достаточно адекватной соответствующей объективной модели; 2) установление интерфейсов с другими моделями, сформированными в сознании субъекта; 3) включение модели или системы моделей, представленных в данной информации, в систему субъективных моделей, сформированных в сознании субъекта (например, в качестве элемента, компонента, причины или следствия и др. Систему субъективных моделей и механизм работы с ними мы будем называть инфраструктурой работы с информацией. Повышение образованности и математической культуры включает в себя, во-первых, формирование новой субъективной модели (или системы моделей), во-вторых, включение этих моделей в систему уже имеющихся субъективных моделей, в-третьих, развитие на этой основе механизма работы с новыми моделями: механизмов восприятия, обогащения (вообще говоря, субъективного), анализа, комплексной оценки (в том числе эстетической, утилитарной и др.), применения.
В качестве примера формирования новой субъективной модели можно привести развитие ситуации с теорией вероятностей: специализированный язык, язык теории множеств. По-видимому, эта идея привела Л. Заде [23] к теории нечетких множеств. Теория векторного, скалярного, тензорного поля, которые зародились из математического анализа и геометрии. «Определение» векторного поля как «области пространства…». Некорректности, возникающие и фиксируемые в прикладной математике (понятие тензора). «Сначала я не понимал, а потом привык» - это значит, «встроил в систему субъективных моделей».
Культура включает в себя систему шаблонов поведения, шаблонов и механизмов восприятия и обработки информации. Под «обработкой информации» понимается, в том числе, и представление и передача информации другому субъекту деятельности, причём на определенном уровне сформированности данного вида культуры у этого субъекта деятельности в состав этой информации может (и, возможно, должна) входить и система способов и механизмов обработки информации.
Следовательно, в процессе обучения математике следует формировать у обучаемого не только знания о конкретных математических объектах, но и формировать способность (на том или ином уровне) осуществлять обработку информации методами математики или хотя бы формировать представление об этих способах обработки информации, не ограничиваясь вычислениями. Примером использования математической культуры в художественной литературе является речь Витьки Корнева в лаборатории в новогоднюю ночь из повести «Понедельник начинается в субботу» братьев Стругацких.
«- Э, нет, - возразил я. - Так не пойдёт.
- А как? - жадно спросил Витька.
- Выметайся отсюда, - сказал я. - Покинь помещение.
- Куда?
- Куда хочешь.
Он перелез через диван и сгрёб меня за грудки.
- Ты меня слушай, понял? - сказал он угрожающе. - На свете нет ничего одинакового. Всё распределяется по гауссиане. Вода воде рознь… Этот старый дурак не сообразил, что существует дисперсия свойств…».
Математическая культура выпускника важна и как компонент мышления. Математические структуры (Бурбаки) и структуры мышления тесно взаимосвязаны. Важна и коммуникативная роль математической культуры. Математическая культура - это источник интеллектуального опыта, что обусловлено древностью математики как науки, сочетающей в себе сугубо прикладной и абстрактно-теоретический аспекты.
Выделим ещё несколько функций математической культуры, которые следует учитывать при организации процесса обучения математике:
_ математическая культура как система применения математики для решения прикладных и теоретических задач [24];
_ математическая культура как система целеполагания и оценочной деятельности (например, «красивая теорема», «изящное решение» и др.) ;
_ математическая культура как средство воспитания.
Заключение
Проведенное нами исследование позволяет сделать следующие основные выводы.
1. Математическая культура выпускника и специалиста остается одним из ключевых компонентов культуры современного общества.
2. Профессиональная компетентность выпускника и специалиста включает в себя культурный компонент, неотъемлемой частью которого является математическая культура.
3. Специальным образом организованное математическое образование в экономическом университете, опирающееся на модель математической культуры как инфраструктуры восприятия и обработки информации и обмена информацией, состоит из системы феноменов, системы отношений, системы интерфейсов и системы управления, позволяет успешно решать задачу повышения профессиональной компетентности выпускника.
Библиография
1. Комиссарова, Е. С. Математическая культура и ее роль в формировании, интерпретации и реализации правовых норм / Е. С. Комиссарова // Юридическая техника. -2016. -№ 10. -С. 585-587.
2. Булатова, Е. Г. Математическая культура как системная категория / Е. Г. Булатова, Искандерова А. Б., Снигирева Т. А. // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. - 2015. - № 12-4. - С. 76-81.
3. Евдокимова, Г. С. Математическая культура - высшее проявление образованности и профессиональной компетентности / Г. С. Евдокимова, В. Д. Бочкарева // Вестник Мордовского университета. - 2015. - Т. 25, № 1. - С. 37-43.
4. Унайсарова, Р. Д. Педагогические основы понятия «математическая культура студентов». / Р. Д. Унайсарова, С. Н. Сушкова // Вестник Оренбургского государственного педагогического университета. Электронный научный журнал. - 2008. - № 1. - С. 134-139.
5. Воронина, Л. В. Математическая культура личности / Л. В. Воронина, Л. В. Моисеева // Педагогическое образование в России. -2012. - № 3. -С. 37-45.
6. Уртенова, А. У. Математическая культура: структура и содержание / А. У. Уртенова, Н. С. Уртенов // Сибирский педагогический журнал. -2014. -№ 2. -С. 51-56.
7. Щербаков, Р. Н. Математическая культура учащегося / Р. Н. Щербаков // Педагогика. -2013. -№ 4. -С. 57-65.
8. Панцева, Е. Ю. Математическая культура - основа творческого потенциала специалиста / Е. Ю. Панцева // Наука - промышленности и сервису. -2012. -№ 2. -С. 315-321.
9. Розанова, С. А. Математическая культура студентов высших учебных заведений естественнонаучного и инженерно-технического профилей / С. А. Розанова // Вестник российского университета дружбы народов. Серия: Фундаментальное естественнонаучное образование. -2003. -№ 8. -С. 41-51.
10. Липатникова, И. Г. Современные подходы к содержанию математического образования в контексте диалога культур / И. Г. Липатникова // Педагогическое образование в России. - 2015. - № 7. - С. 152-159.
11. Дубынина, Т. В. Математическая культура как элемент современного образования / Т. В. Дубынина // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Образование. Педагогические науки. -2010. -№ 3 (179). -С. 114-120.
12. Зайниев, Р. М. Математическая культура - основа подготовки инженера / Р. М. Зайниев // Высшее образование сегодня. -2009. - № 5. - С. 48-50.
13. Евдокимов, П. А. О математической культуре в высшем профессиональном образовании / П. А. Евдокимов // Материалы научно-методической конференции северо-западного института управления. - Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации (Москва), 2012. - № 1. -С. 120-131.
14. Панцева, Е. Ю. Математическая культура - аспект профессиональной культуры / Е. Ю. Панцева // Научно-методический электронный журнал Концепт. -2014. -Т. 20. -С. 1496-1500.
15. Banks, J. A. Multicultural education / J. A. Banks, C. A. McGee Banks. - Needham Heights, MA: Allyn & Bacon, 1989.
16. Bishop, A. Mathematical enculturation: a cultural perspective on mathematics education / A. Bishop. -Dordrecht: Kluwer, 1991.
17. Hofstede, G. National cultures and corporate cultures / G. Hofstede // In L. A. Samovar & R. E. Porter (Eds.), Communication between cultures. - Belmont, CA: Wadsworth, 1984.
18. Тарасова, М. В. Культура и образование: принципы взаимодействия: монография / М. В. Тарасова. - Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2012, 360 с.
19. Успенский, В. А. Математическое и гуманитарное: преодоление барьера / Предисловие к математике [сб. статей]. СПб. : Амфора, 2015. С. 5 51.
20. Выжлецов, Г. П. Аксиология культуры/ Г. П. Выжлецов// СПб. : СПбГУ. - 1996. С. 66
21. Пелипенко, А. А. Культура как система / А. А. Пелипенко, И. Г. Яковенко // М. : Языки русской культуры, 1998, 396 с.
22. Мельников, Ю. Б. Математическое моделирование: структура, алгебра моделей, обучение построению математических моделей: Монография / Ю. Б. Мельников. Екатеринбург: Уральское издательство, 2004, 384 с.
23. Zadeh, L. Fussy sets / L. Zadeh // Inf. Control. - 1965. - Vol. 8. - P. 338-353.
24. Одинец, В. П. Oб истории первой экспертной системы по атрибуции и датировке предметов живописи / В. П. Одинец // Труды XIII международных Колмогоровских чтений: сборник статей. - Ярославль: РИО ЯГПУ, 2015. -С. 29-36.