Аннотация
Объектом исследования является весьма важный и актуальный вопрос современного образования - подготовка компетентных специалистов, умеющих принимать взвешенные управленческие решения в различных сферах деятельности. Предметом исследования является роль и значение математической культуры в повышении профессиональной компетентности студентов экономических и смежных направлений подготовки. Особое внимание уделяется исследованию связи математической культуры и профессиональной компетентности. Описывается современное состояние математического образования, анализируется соотношение математики и информатики, применение информационно-компьютерных технологий в математическом образовании. Методология исследования основана на теории моделирования, базирующейся на формально-конструктивной трактовке модели. Методы исследования: анализ собственной педагогической практики математического образования, анализ и обобщение передовых российских и зарубежных исследований, моделирование. Основными выводами проведенного исследования являются: 1. Математическая культура выпускника и специалиста остается одним из ключевых компонентов культуры современного общества. 2. Профессиональная компетентность выпускника и специалиста включает в себя культурный компонент, неотъемлемой частью которого является математическая культура. 3. Специальным образом организованное математическое образование в экономическом университете позволяет успешно решать задачу повышения профессиональной компетентности выпускника. Новизна исследования состоит в том, что за основу этой специальной организации взята модель математической культуры как инфраструктуры восприятия, обработки информации и обмена информацией, состоящей из системы феноменов, системы отношений, системы интерфейсов и системы управления. Ключевые слова: профессиональная компетентность, культура, математическая культура, язык математики, математические модели, математизация общества, математическое образование, информационные образовательные технологии, теория моделирования, модель математической культуры
математическая культура
Abstract
The subject of the study is a very important and urgent issue of modern education - the training of competent professionals who are able to make weighted management decisions in various fields of activity. The subject of the study is the role and significance of mathematical culture in enhancing the professional competence of students in economic and related areas of training. Particular attention is paid to the study of the connection between mathematical culture and professional competence. The modern state of mathematical education is described, the relation of mathematics and computer science is analyzed, the use of information and computer technologies in mathematical education is analyzed. The methodology of the study is based on the theory of modeling, based on the formal-constructive interpretation of the model. Methods of research: analysis of own pedagogical practice of mathematical education, analysis and synthesis of advanced Russian and foreign research, modeling. The main findings of the study are: 1. The mathematical culture of the graduate and specialist remains one of the key components of the culture of modern society. 2. The professional competence of the graduate and specialist includes a cultural component, of which the mathematical culture is an integral part. 3. A specially organized mathematical education at the economic university allows successfully to solve the problem of increasing the professional competence of the graduate. The novelty of the research is that at the basis of this special organization is the model of mathematical culture as an infrastructure for the perception and processing of information and the exchange of information consisting of a system of phenomena, a system of relations, a system of interfaces and a management system.
Keywords:
information technologies in education, mathematical education, the mathematization of society, mathematical models, language of mathematics, mathematical culture, culture, professional competence, modeling theory, mathematical culture model
В современном обществе проблема принятия решений на различных уровнях управления является весьма важной и актуальной. Во многом принятие эффективных решений определяется компетентностью лиц, эти решения принимающих. Вместе с тем, сложность процессов, происходящих в обществе, вызывает значительные трудности при выборе той или иной стратегии на всех уровнях, будь то фирма, корпорация, регион и т. д.
Принятие решений является сложной системной задачей, требующей адекватных методов, причём все чаще этот процесс опирается на математические методы. Язык математики является одним из важных компонентов коммуникации. Если собеседник не понимает смысла фразы «но тогда возрастет дисперсия таких-то значений» или «зависимость между величинами линейная», то передача смысла сообщения превращается в утомительный процесс, зачастую с непредсказуемым результатом. Поэтому необходим соответствующий уровень математизации общества, иначе говоря, речь идет о математической культуре общества.
Взаимосвязь математической культуры и юридического образования рассматривается в [1]. В статье [2] на основе анализа исследований педагогов по вопросу культуры сделан вывод, что культура удовлетворяет критериям системности. В работе [3] математическая культура рассматривается как высшее проявление человеческой образованности и профессиональной компетентности.
Педагогические основы понятия «математическая культура студентов» рассмотрены в [4]. В работе [5] рассмотрена математическая культура личности, структура и содержание которой рассматривается в [6], в которой сделан вывод, что математическая культура общества является родовым понятием по отношению к математической культуре личности. Р. Н. Щербаков в [7] ограничился математической культурой учащегося. Роль математической культуры в становлении и развитии творческого потенциала современного специалиста рассматривается в [8], а в [9] изучается математическая культура студентов высших учебных заведений естественнонаучного и инженерно-технического профилей.
И. Г. Липатникова [10] рассматривает математическое образование в контексте диалога культур на трех уровнях: всего человечества, государства, личности. Т. В. Дубынина [11] изучает математическую культуру как элемент современного образования. Р. М. Зайниев [12] использовал взгляд на математическую культуру как на основу подготовки инженера. В [13] математическая культура изучается как компонент высшего профессионального образования, а в [14] - как аспект профессиональной культуры.
Интересно, что в известном исследовании по мультикультурализму [15] рассматривается взаимодействие национальных, государственных и других естественных культур, но взаимодействие культур отдельных видов деятельности (в том числе математической) не рассматривается. Включение математической культуры в состав культуры в целом, «математическая инкультурация» рассматривается А. Бишопом [16]. Взаимодействие культуры страны и корпоративной культуры рассматривается в [17]. Один из вариантов трактовки термина «культура» обусловлен результатами анализа её предназначения [18, С. 175-179]. Этот вариант корректен, поскольку культура, с одной стороны, является результатом целенаправленной деятельности и, с другой стороны, обеспечивает целенаправленность деятельности.
Математическая культура как феномен весьма многообразна, дать её формальное логическое определение невозможно. Правильнее говорить о различных аспектах, моделях математической культуры. Мы будем говорить о модели математической культуры выпускника экономического университета. Почему выделение этого аспекта является важным? Потому что выпускники экономических вузов в большинстве случаев должны принимать те самые решения, от которых зависит развитие нашего общества. И качество этих решений должно обеспечиваться системой образования.
Мы полагаем, что о математической культуре выпускника экономического университета следует говорить особо. Поясним сказанное. Известный российский математик и популяризатор науки Владимир Андреевич Успенский совершенно справедливо говорит о необходимости лоббирования включения в общеобязательный культурный багаж математической составляющей: «Включение же в этот багаж чего-то математического в качестве обязательной составной части многим может показаться непривычным и потому нуждается в лоббировании» [19, С. 13].
В последние годы в образовании наметилась тревожная тенденция объединения математики и информатики: объединение кафедр, объединение учебных курсов. Исторически сложилось так, что информатика (первоначально входившая в кибернетику) фактически была компонентом математики. Это было обусловлено исключительной ролью вычислительного аппарата математики: до второй половины XX века владение математикой означало умение вычислять, в том числе проводить символьные вычисления, причём выкладки могли быть очень громоздкими. В настоящий момент вычислительный аппарат математики в значительной степени интегрирован в информационные технологии. В различных областях деятельности системы типовых математических моделей нередко выделяются в относительно самостоятельные дисциплины: эконометрику, финансовую математику, математическое моделирование в… и др. Даже среди профессиональных математиков все большую популярность набирают компьютерные программы символьных вычислений, часть из которых не является коммерческим продуктом и распространяется в рамках различных свободных лицензий, например, GAP, Maxima. Таким образом, эпоха абсолютизации вычислительного аппарата математики завершилась. На этом основании горячие головы предлагают совсем отказаться от курса математики полностью заменив её интегрированными курсами или оставив от математики только отдельные фрагменты, включенные в другие курсы: информатики, экономики и др. Включение математического материала в эти курсы нередко целесообразно, однако отказ от систематического изучения математики, формирования цельного представления о математике, её методах, возможностях и ограничениях, стиле мышления, приведет к катастрофе. Отсутствие математической культуры приводит к грубым ошибкам в управлении, моделировании и применении вычислительного аппарата математики, несмотря на использование самой современной компьютерной техники и программного обеспечения.
Примеры таких ошибок: применение смещенных оценок значений случайных величин или бездумное использование средних значений в качестве оценок без анализа того, насколько эта оценка адекватна используемой ситуации, суммирование расходящихся рядов: абсурдное вычисление суммы гармонического ряда с заданной точностью... На практике нередко наблюдается отождествление математического мышления с алгоритмическим, что является грубейшей ошибкой.
Таким образом, поднятая нами проблема сохранения собственно математической культуры является актуальной и значимой. В первую очередь, это касается математического образования.
Математическую культуру естественно рассматривать как неотъемлемую часть культуры общечеловеческой. Обсуждение вопроса о том, что такое культура и какова её роль в жизни общества имеет давнюю богатую историю. На наш взгляд, сформулировать общепринятое определение культуры к настоящему моменту не удалось и, видимо, невозможно в силу многогранности и многоаспектности этого понятия. Но понятие вводится в обиход не только дедуктивно, с помощью определения, но и индуктивно, с помощью достаточного числа примеров, моделей этого понятия.
В русской версии Википедии (просмотр от 5 апреля 2017 года) приводятся различные трактовки понятия «культура». Из Большой советской энциклопедии: «исторически определённый уровень развития общества и человека, выраженный в типах и формах организации жизни и деятельности людей, а также в создаваемых ими материальных и духовных ценностях»; Ю. М. Лотман: «совокупность генетически ненаследуемой информации в области поведения человека»; «практическая реализация общечеловеческих и духовных ценностей» [20]; «вся совокупность небиологических проявлений человека» [21]; Э. О. Уилсон (более «техническое» описание) : «культуру, в том числе наиболее блистательные и впечатляющие её проявления в виде ритуальных и религиозных служб, можно интерпретировать как иерархическую систему приспособлений и устройств для отслеживания параметров среды».
Нам представляется, что теория моделирования [22] открывает новые возможности в изучении понятия «культура». Рассмотрим экзоструктурную модель культуры, т. е. модель, в которой развернуты, раскрыты связи культуры с «внешними объектами». В частности, рассмотрим предназначение культуры, т. е. попробуем ответить на вопрос «что выделяет культурного человека?». Мы делаем соответствующий вывод только на основании реакции субъекта на сообщаемую информацию: насколько быстро и точно он её воспринимает, какие выводы из неё делает (насколько эти выводы глубокие, адекватные, неочевидные и т. п.). Следовательно, математическую культуру (далее мы будем говорить только о ней) можно понимать как инфраструктуру для восприятия и обработки информации средствами математики. Таким образом, мы предлагаем модель математической культуры как инфраструктуры для обработки информации, состоящей из системы математических феноменов, интерфейсов между ними и механизмов управления. Улучшение математической культуры означает: а) увеличение числа математических феноменов, б) увеличение числа интерфейсов, инструментов для связи между разными математическими феноменами; в) улучшение механизма управления. Уровень математической культуры определяется, во-первых, обилием математических феноменов, которыми владеет субъект, во-вторых, обилием интерфейсов между ними и уровнем владения этими интерфейсами. Эти величины измеримы! Следует изменить систему контроля, сделать акцент на владение интерфейсом, на умение управлять деятельностью: планировать, мониторить, корректировать, ставить цели, комплексно, многосторонне оценивать их адекватность. Таким образом, трактовка математической культуры как инфраструктуры для восприятия и обработки информации средствами математики является конструктивной и позволяет переоценить имеющиеся факты, выявить дидактически и методологически слабые места в учебно-методической литературе и системе образования в целом.
В качестве примера рассмотрим ситуацию (с которой мы сталкивались в процессе обучения), когда учащиеся в чертеже на рис. 1 замечают равнобедренный треугольник ABC, но не только не видят равнобедренный треугольник BAD, а даже после соответствующего пояснения учителя высказывают сомнения в равнобедренности треугольника BAD.
Рис. 1. Иллюстрация проблем с восприятием D ABD как равнобедренного.
Причиной ошибки является тот факт, что учащиеся сталкивались только со случаем, когда основание треугольника на чертеже расположено горизонтально. Ошибка связана с недостаточной сформированностью у учащихся геометрической культуры, поскольку они не осознали, что в геометрии нет наблюдателя. Подобная «негибкость», а на самом деле недостаток математической культуры, у студентов экономических направлений может быть связана, например, с фиксацией смысла обозначений и расположения значений величин на осях. Например, если рассматривается зависимость капиталовложений K от некоторых параметров, одним из которых является индекс потребительской уверенности (Consumer Confidence Index), обозначенный как CCI, то выражение нередко не воспринимается как частная производная функции K по переменной CCI, поскольку в курсе математики студенты сталкивались только со случаем, когда аргументы функции были однобуквенными.
Как проявление недостатка математической культуры можно трактовать многочисленные примеры некорректностей в использовании математического языка в общепринятых обозначениях.
Так, решив квадратное уравнение , часто пишут ответ: , вместо более корректного: , , где , .
Отождествление объекта с одним из способов его задания - другой распространенный пример некорректности. Например, отождествление функции с аналитическим выражением, обеспечивающим её вычисление. Если в общепринятую формулу подставить вместо x число 1, получим . Определение иррационального числа как бесконечной непериодической дроби - ещё один подобный пример.
Накопление некорректностей нередко приводит к содержательным ошибкам и неспособности понять информацию. В связи с этим заметим, что проявлением культуры преподавателя является внимание к соглашениям «по умолчанию», к использованию математического слэнга. Обучение правильному математическому слэнгу как проявлению математической культуры - тоже важная дидактическая задача.
Оценить уровень математической культуры несложно. Например, ответ на простой вопрос «что такое p?» говорит о многом.
Отсутствие математической культуры, опасность которого вызвана в том числе и информатизацией общества, может привести и к такого рода «доказательствам»: иррациональное число, поскольку =1, 41+1, 73=3, 14 - это число p, а это число иррациональное!