Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого
Институт машиностроения, материалов и транспорта
Высшая школа физики и технологий материалов
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
Эпюры моментов и перерезывающих сил
по дисциплине «Проектирование и производство сварных и паяных конструкций»
Выполнил
студент группы Петричук В.В.
Санкт-Петербург 2022
Задание
В соответствии со схемой рис. 1 (a):
1. Определить опорные реакции A и B.
2. Определить внутренние силы, действующие в балке (перерезывающая сила и изгибающий момент).
3. Построить эпюры внутренних сил.
Исходные данные (вариант № 14): L1 = 2 м; L2 = 7 м; L3 = 10 м; L4 = 12 м; q = 20 кН/м; P1 = 10 кН.
Для определения опорных реакций A и B воспользуемся расчетной схемой на рис. 1 b (заменим опоры на реакции). Поскольку опоры шарнирные и изгибающий момент не создается, для нахождения неизвестных составим два уравнения моментов относительно точек A и B. Поскольку балка находится в равновесии, то сумма моментов всех сил относительно выбранной точки равна нулю. Таким образом:
,
откуда опорные реакции:
.
Подставляя исходные данные, получаем: A = 64.17 кН, B = 45.84 кН.
Для определения внутренних сил, действующих в балке, разобьем схематично на четыре интервала: 1) 0 x < L1, 2) L1 x < L2, 3) L2 x < L3, 4) L3 x L4 и запишем уравнения перерезывающих сил и изгибающих моментов.
Для интервала 0 x < L1 расчетная схема показана на рис. 1 c. Отброшенная правая часть балки заменена перерезывающей силой Q и изгибающим моментом M. Сумма проекций всех сил на ось y:
,
откуда Q = A.
При определении изгибающего момента, выберем точку x, для того, чтобы момент от перерезывающей силы был равен нулю, тогда:
,
откуда M = Ax.
Для интервала L1 x < L2 расчетная схема показана на рис. 1 d. Аналогичным образом, как и для предыдущего интервала, определяем Q и M.
,
.
,
.
опорный балка эпюр момент
Для интервала L2 x < L3 расчетная схема показана на рис. 1 e, более простая схема на рис. 1 f, когда отбрасывается левая часть балки (более сложная). При правильном составлении уравнений расчеты по обоим схемам дают одинаковые результаты. Согласно схеме рис. 1 e:
Рис. 1. Схема нагруженной балки (а), расчетная схема (b), схемы для определения внутренних сил (c - h)
,
.
,
.
Согласно схеме рис. 1 f:
,
.
Для интервала L3 x L4 аналогично приведем два варианта расчета при отбрасывании правой (рис. 1 g) и левой (рис. 1 h) частей балки. Согласно схеме рис. 1 g:
,
.
,
.
Согласно схеме рис. 1 h:
,
.
,
.
Аналогично можно было сделать и для первых двух интервалов, т.е. привести схемы и расчеты для правой или левой отбрасываемой части балки. Выбор в данном случае прост: отбрасывать лучше более сложную часть балки.
Используя полученные уравнения построим эпюры Q (рис. 2) и M (рис. 3). Значение перерезывающей силы в точках опоры равны значениям реакций, что видно из рис. 2. В интервале от 3 до 6 м перерезывающая сила изменяется по линейному закону, т.к. в этом промежутке на балку действует распределенная нагрузка. В остальных случаях перерезывающая сила постоянна. При x = 9 м Q меняется скачкообразно, поскольку в этой точке приложена сосредоточенная нагрузка P1. Изгибающий момент в точках опоры равен нулю, поскольку опоры шарнирные. Всюду изгибающий момент положительный, таким образом, прогиб балки всюду будет положительный, т.е. направлен вниз (т.к. ось y направлена вниз). В точке приложения сосредоточенной силы M имеется излом, т.е. производная слева не равна производной справа. Максимальное значение M достигается в области приложения распределенной нагрузки. Для точного определения максимального значения M необходимо продифференцировать уравнение, соответствующее данному интервалу, найти корень, при котором достигается максимум и подставить в исходное выражение для определения максимального момента. При заданных исходных данных имеем:
м.
Рис. 2. Эпюра перерезывающей силы Q.
Рис. 3. Эпюра изгибающего момента M.
Максимальное значение изгибающего момента составляет 231.267 кНм.
Значение максимального изгибающего момента соответствует координате точки x, где перерезывающая сила меняет знак.