Это дополнительное условие, не влияющее на функцию Лагранжа. Теперь мы имеем систему уравнений Максвелла в калибровке Лоренца.
(5.4)
3. Вычисление тензора энергии - импульса электромагнитной волны. Общий вывод формулы для вычисления тензора энергии-импульса, получаемой из плотности лагранжиана, приведен в [2]. Эта формула имеет вид
(5.5)
Вычисления дают следующее выражение для тензора энергии-импульса электромагнитной волны в свободном пространстве
(5.6)
Нетрудно заметить, что тензор энергии-импульса симметричен Tik = Tki.
4. Законы сохранения. Известно, что 4-дивергенция этого тензора для свободного пространства (когда поля рассматриваются за пределами источников) равна нулю . Из этого выражения вытекают законы сохранения энергии и импульса электромагнитной волны в свободном пространстве.
Закон сохранения плотности потока S электромагнитного поля волны
(5.7)
Закон сохранения плотности энергии w электромагнитного поля волны
(5.8)
где:
(5.9)
(5.10)
Из полученных соотношений следуют весьма интересные выводы [4].
В общем случае уравнения Максвелла в калибровке Лоренца описывают три различных вида потоков. Запишем А в виде суммы А = А1 + А2, где и .
Таблица 1
|
плотность потока |
плотность энергии |
||
|
Поперечные волны потенциала A1 |
. |
||
|
Продольные волны потенциала A2 |
|||
|
Продольные волны потенциала |
. |
Плотность энергии и плотность потоков S1 и S2 , образованных векторным потенциалом А, положительны, а плотность энергии и плотность потока S3 , созданного скалярным потенциалом , отрицательны. Чтобы существовали только поперечные электромагнитные волны, необходимо выполнение условия S2 + S3 = 0. Если это условие не выполняется, то уравнения Максвелла могут описывать продольные волны. Это тема для специальной статьи.
Отрицательная энергия поля скалярного потенциала это отнюдь не новый факт. Специалисты, которые используют кулоновскую калибровку вместо калибровки Лоренца в квантовой теории поля, знают об этом. Но они предпочитают не обсуждать факт, который мало известен специалистам других направлений.
Безынерциальные заряды. Теперь мы можем использовать результаты, которые вытекают из законов сохранения. Формальная интерпретация. Мы применим законы сохранения к потенциалам движущегося заряда (3.3). Вычисляем электромагнитную массу заряда
(6.1)
Это необычный результат. Отрицательная инерциальная масса есть нонсенс. Теперь мы вычислим кинетическую энергию этой массы. Мы используем выражение A = v/c2.
(6.2)
Здесь мы опять сталкиваемся с проблемами. Во-первых, знак кинетической энергии не соответствует знаку инерциальной массы. Во вторых, величина кинетической энергии в два раза больше, чем это необходимо для классической механики.
Физическая интерпретация. Формальная интерпретация, которая существует в учебниках, не разделяет поля зарядов и поля электромагнитной волны. Предполагается, что эти поля одинаковы. Ниже мы покажем, что это ошибка. Мы знаем, что скорость распространения электромагнитной волны равна скорости света. Поэтому плотность инерциальной массы покоя такой волны равна нулю. Электромагнитная волна не обладает инерциальными свойствами. Но вопреки этому факту физики ищут инерциальную массу, используя поля запаздывающих потенциалов.
Например, скалярный потенциал в выражении (3.3) является запаздывающим. Он равен разности запаздывающих потенциалов двух волн. Плотность инерциальной массы покоя такого поля равна нулю. По этой причине мы не можем рассматривать заряд в уравнении (6.1) как инерциальную частицу. Выражение (6.1) есть формальное и оно не отражает инерциальные свойства частицы.
В рамках темы этой статьи мы можем сделать заключение. Описание инерциальных свойств заряженных частиц невозможно в рамках запаздывающих потенциалов.
Кроме этой возникает ряд других проблем
Проблема излучения продольных и поперечных волн.
Проблема безинерциальных зарядов и токов на поверхностях проводников.
Поверхностные безынерциальные заряды (положительные и отрицательные) существовуют в проводниках. Эксперименты поддерживают эту гипотезу.
1. Безынерциальные заряды создают поверхностные токи на стенках волноводов и коаксиальных линий. Они порождают явление «сверхпроводимости» в разомкнутых электрических цепях [5], [6] и т.д.
2. Такие заряды существуют в проводниках совместно с электронами проводимости.
Анализ этих проблем выходит за рамки статьи. Мы видим два пути их решения.
1. Это есть поиск новых калибровок в рамках уравнений Максвелла.
2. Изменение уравнений Максвелла.
Вырожденное решение. Теперь мы должны рассмотреть проблему предельного перехода от волновых явлений к квазистатическим явлениям. Потенциал покоящегося заряда (2.3) описывается уравнением Пуассона. Этот потенциал является мгновенно действующим. Используя преобразование Лоренца, мы можем записать потенциал заряда, который движется с постоянной скоростью v вдоль оси x.
(7.1)
Здесь множитель запаздывания или опережения, характерный для выражений (3.3), отсутствует. Этот потенциал не является запаздывающим. Выражение (7.1) описывает мгновенно действующий потенциал. Мы покажем это.
Мы запишем выражения (5.2) и (5.3). Условие (5.3) играет важную роль. Для простоты мы рассмотрим уравнение для скалярного потенциала. Мы используем соотношение A = v/c2 (скорость v постоянна).
(7.2)
Заменим ?/?t в волновом уравнении для скалярного потенциала
(7.3)
Таким образом, мы имеем преобразование волновое уравнение
(7.4)
Это удивительный факт. С одной стороны, используя уравнение непрерывности (5.3), мы преобразовали уравнение гиперболического типа в уравнение эллиптического типа. Теперь начальные условия нам не нужны! В общем случае уравнение эллиптического типа не содержит решений в форме запаздывающего потенциала в отличие от выражения (2.2). Мы действительно имеем дело с мгновенно действующим потенциалом.
С другой стороны, выражение (7.1) есть также решение волнового уравнения. Другими словами, выражение (7.1) мы можем записать как сумму опережающего и запаздывающего потенциалов. Это вырожденное решение волнового уравнения для равномерно движущегося точечного заряда. Для простоты иллюстрации запишем вырожденное решение в форме
(7.5)
Рассмотрим потенциал неподвижного заряда (2.3). Поскольку потенциал такого заряда не распространяется в пространстве со скоростью света, его можно представить в виде суммы запаздывающего и опережающего потенциалов. При этом обильность источников потенциалов должна быть одинакова. Сколько излучает источник запаздывающего потенциала, ровно столько поглощает из пространства источник опережающего потенциала.
Суммарная величина заряда равна их сумме q = (qзап + qопер); qзап = qопер. Только в этом случае во всем свободном пространстве, окружающем неподвижный заряд, образуется «стоячая волна» потенциала. Именно эта «стоячая волна» реализует «мгновенное действие». Каждая точка заряда излучает запаздывающий потенциал и одновременно поглощает опережающий потенциал. Иными словами, имеет место баланс: сколько потенциала «ушло», столько же возвращено обратно. Баланс сохраняется в любой инерциальной системе отсчета.
Если заряд движется с постоянной скоростью, тогда обобщенный вектор Пойнтинга равен нулю. Потоки Пойнтинга для опережающего потенциала уничтожаются потоками Пойнтинга запаздывающего потенциала. По этой причине мы не имеем права использовать вектор Пойнтинга для полей такого заряда (пример во Введении). Заметим, что предельный переход (7.5) превращает в мгновенный потенциал любые запаздывающие и опережающие потенциалы.
Тензор энергии-импульса заряда. Мы приводим доказательство нового закона сохранения для заряда. Вернемся к уравнениям Максвелла (5.2) и (5.3) Умножим это уравнение (5.2) на . Знак множителя мы обсудим позже.
После несложных преобразований, используя уравнения непрерывности (5.3), получим
(8.1)
Выражение в скобках представляет собой тензор плотности энергии-импульса Tsi. Если взять 4-дивергенцию от этого тензора, то получим закон сохранения Умова.
, (8.2)
где - плотность потока и плотность энергии поля заряда.
Первое выражение в (8.2) тривиально. Изменение плотности потока энергии равно нулю, поскольку скорость заряда постоянна. Второе выражение в (8.2) совпадает с классическим выражением [7] для нерелятивистского случая с точностью до релятивистского множителя (корня) и знака. Разделив члены выражений (8.2) на с2, получим плотность электромагнитной массы и плотность импульса. Они соответствуют классическим представлениям.
Здесь возникает вопрос: почему в рамках уравнений Максвелла возможны два тензора энергии? Ответ на этот вопрос приводит к мысли, что поля заряда по своим свойствам и структуре отличаются от полей электромагнитных волн и представляют собой особые поля.
Итак, инерция обусловлена зарядом, поглощающим и излучающим одновременно потенциал и неким, равномерно распределенным по бесконечно удаленной сфере источником, излучающим из бесконечности потенциал к заряду и забирающему излученный им потенциал (круговой процесс). Такова картина, вытекающая из анализа.
Мы привели решение проблемы электромагнитной массы для релятивистского случая и физическое объяснение процессов. Здесь нарушений логики нет. Однако, описанный механизм возникновения инерции имеет существенные недостатки.
1. Во-первых, в потенциал поля заряда входит опережающий компонент. С точки зрения причинности это серьезный дефект описания.
2. Во вторых, плотность энергии и плотность потока сохраняют отрицательный знак в соответствии с выражением (5.10). Если же мы возьмем знак плюс, то вектор Пойнтинга станет отрицательным.
Контактное взаимодействие. Единственный путь следующий. Мы должны отказаться от противоречия с принципом причинности (опережающие потенциалы). Нам необходимо принять следующее положение: поля зарядов описываются уравнениями Пуассона в любых инерциальных системах отсчета и для них справедливо преобразование Галилея.
Итак, теперь поля заряда являются дальнодействующими. Это обстоятельство обуславливает инерциальные свойства зарядов и любых материальных тел. Мы запишем уравнения для точечного заряда
(9.1)
Инерциальные тела и заряды подчиняются преобразованию Галилея, а электромагнитные волны подчиняются преобразованию Лоренца (модифицированному преобразованию [8]). Соответственно интерпретация пространственно-временных отношений возвращает нас к классическим выражениям [6], [7].
Взаимодействие зарядов рассмотрено в работе [6]. Взаимодействие есть процесс, который протекает в фиксированной точке пространства во времени. Взаимодействие не есть материальный объект. Оно может иметь скорость изменения интенсивности процесса, но не вектор скорости. Поэтому понятие «скорость распространения взаимодействий» некорректно.
Помимо «волновых» взаимодействий в физике существуют «контактные» взаимодействия. Примером может служить столкновение биллиардных шаров. При таком взаимодействии имеет место «точечный» контакт. Мы предполагаем, что взаимодействия мгновенного характера тоже можно отнести к контактному типу.
Представьте себе, что с горки спускается тележка. После разгона она ударяет другую тележку, стоящую на ее пути. Такое соударение есть «точечный» контакт. Теперь мы поместим упругую пружину между тележками. Если пружина обладает массой, тогда после контакта волна сжатия побежит вдоль пружины. Скорость этой волны зависит от жесткости и массы пружины.
Рис. 3. Столкновение тележек
Пусть масса пружины равна нулю. Скорость распространения волны будет бесконечная. Такое соударение не будет «точечным», поскольку тележки разделены пружиной, но взаимодействие сохранит свой контактный характер.
Теперь мы можем рассмотреть взаимодействие электрических или гравитационных зарядов. Здесь два варианта объяснения возможны. Они зависят от сосредоточения электромагнитной массы. Электромагнитная масса определяется двумя выражениями:
и
Первый вариант. Электромагнитная масса распределена в поле, которое окружает заряд. Плотность энергии взаимодействия двух зарядов равна w = е(gradц1dradц2). Взаимодействие зарядов выражается через контактное взаимодействие полей этих зарядов в каждой точке пространства. Точечное (контактное) взаимодействие имеет место в каждой такой точке. Совокупность всех взаимодействий есть объемное взаимодействие контактного типа.