Электромагнитная природа инерции заряда
Мария Корнева, Виктор Кулигин, Галина Кулигина
Аннотация
В работе обсуждается проблема электромагнитной массы. Показано, что решение проблемы электромагнитной массы возможно только, если поля заряда имеют дальнодействующий характер. Обсуждается причина появления инерциальных свойств у электромагнитной массы. Делается вывод о том, что поля заряда и поля электромагнитных волн это поля, относящиеся к различным видам материи.
Проблема электромагнитной массы возникла еще в конце XIX века после установления Умовым (1873 г.) закона сохранения энергии для движущихся сред и доказательства Пойнтингом закона сохранения для электромагнитных волн (1884 г.). Томсон первым обратил внимание на то, что потенциальная энергия связана с полем неподвижного заряда, а кинетическая энергия - с магнитным полем заряда.
После того, как Лоренц привел уравнения Максвелла к волновым уравнениям, возникло устойчивое мнение, что поле заряда и электромагнитная волна имеют общую природу и описываются запаздывающими потенциалами. С появлением Специальной теории относительности это мнение укрепилось. Однако на этом пути возникли трудности. Оказалось, что в рамках запаздывающих потенциалов проблема электромагнитной массы не имеет удовлетворительного решения.
Для примера рассмотрим заряд, движущийся с постоянной скоростью v вдоль оси z. Это означает, что любой элемент заряда имеет одну и ту же скорость v (см. рис. 1а). Для простоты будем считать, что плотность пространственного заряда постоянна. Однако, как показано на этом рисунке (см. рис. 1б), для различных точек заряда векторы Пойнтинга S имеют различные величины и направления. В точках, наиболее удаленных от оси z, плотность вектора S максимальна, а на осевой линии она равна нулю, поскольку здесь нет магнитного поля.
Рис. 1. Движущийся заряд: а) распределение скоростей в движущемся заряде; б) распределение вектора Пойнтинга в этом заряде; в) перемещение резинового тора по деревянной палке; МЦС - мгновенный центр скоростей.
Направление вектора Пойнтинга напоминает перемещение резинового тора, надетого на палку. Внутренние слои тора за счет трения о палку не перемещаются, как показано на рис. 1в. Поэтому для перемещения приходится “закручивать” верхние слои тора. При этом слои поперечного сечения тора (имеющие форму окружности, как показано на рис. 1в) движутся по палке подобно колесу по дороге. Их мгновенный центр скоростей расположен на поверхности палки. Мгновенным центром скоростей для движущегося заряда служит отрезок (см. 5б), где вектор Пойнтинга равен нулю (S = 0).
Вот здесь и возникают вопросы. Почему направление вектора Пойнтинга не совпадает с вектором скорости движения частей заряда? Почему различные точки заряда, имеющие один и тот же вектор скорости и одинаковую плотность, дают различный вклад в суммарный электромагнитный импульс заряда?
Абсурдность рассмотренной картины подтверждается и теоремой (Л.Д. Ландау), согласно которой движение тела всегда можно представить как сумму двух независимых движений: поступательного и вращательного. Следовательно, если есть вращательное движение в одной инерциальной системе отсчета, то оно должно существовать в любой другой инерциальной системе. Если же вращательного движения нет, то его не должно быть и в других инерциальных системах. Здесь явное несоответствие (расхождение) между механикой и электродинамикой. Почему?
«Рождение» заряда. С одной стороны известно, что уравнения Максвелла не описывают рождение зарядов. Этот предрассудок прочно укоренился в сознании профессионалов. Он опирается на закон сохранения заряда. С другой стороны потенциалы и поля заряда описываются волновым уравнением. Оно описывает решения, когда t > 0. По этой причине проблема невозможности такого описания не имеет достаточного основания. Оказывается, что мы можем описать рождение заряда. Ниже мы рассмотрим этот вопрос и покажем интересные следствия, которые вытекают из анализа проблемы. электромагнитный масса инерциальный импульс
Рассмотрим два тонких коаксиальных цилиндра, которые вставлены друг в друга, как показано на рис. 2. Заряды противоположных знаков, распределенные равномерно по поверхности цилиндров. Заряды равны по величине. Благодаря этому мы не будем регистрировать поля вне этих цилиндров, исключая краевые эффекты.
Рис. 2
Теперь мы сдвинем один цилиндр вдоль общей оси на короткое расстояние Dх. Тогда слева на краю появится «избыточный» заряд отрицательного знака, а справа появится положительный заряд, равный по величине отрицательному. Таким образом, в соответствии с законом сохранения заряда мы получили на большом расстоянии друг от друга два разноименных заряда.
Уравнения Максвелла в калибровке Лоренца являются линейными дифференциальными уравнениями. По этой причине мы можем использовать для описания появления потенциалов полей зарядов принцип суперпозиции. Другими словами, мы можем дать раздельное описание «рождения» зарядов и потенциалов каждого из этих двух зарядов. Ниже мы это сделаем для положительного заряда. Потенциалы отрицательного заряда могут быть описаны аналогичным образом.
Модель рождения. Пусть рождающийся в момент времени t = 0 заряд представляет собой сферу, на поверхности которой равномерно распределен заряд этот с плотностью , где а - радиус сферы. Заряд неподвижен. Начальные условия нулевые. Потенциал при r = 0 должен быть ограничен. Уравнение для потенциала поля заряда имеет вид:
(2.1)
Мы не будем описывать процедуру решения, приведенную в [1]. Этот потенциал равен сумме двух потенциалов, один из которых движется от а в бесконечность вдоль радиуса, а второй к центру и, отразившись от начала координат с потерей фазы на (жесткий «керн»), движется от центра, вычитаясь из первого. Потенциал при r > a является запаздывающим.
Для точечного заряда (при a 0) потенциал имеет вид (r > 0):
(2.2)
Теперь можно отнести момент «рождения» заряда в бесконечно удаленное время. Потенциал заряда по величине будет постоянным, не зависящим от времени. Это не означает, что потенциал «статичен». В каждые последующие друг за другом бесконечно малые промежутки времени от заряда «отпочковываются» тонкие слои потенциала и уносятся друг за другом в бесконечность, убывая обратно пропорционально расстоянию от заряда r-1.
Результирующий запаздывающий потенциал по форме напоминает решение уравнения Пуассона для покоящегося точечного заряда.
(2.3)
Но это не одно и то же. Граница потенциала (2.2) и сам потенциал, соответственно, распространяется в пространстве (множитель ). Потенциал (2.3) реализует мгновенное действие на расстоянии и существует сколь угодно долго во всем свободном пространстве.
Потенциал движущегося заряда. Рассмотрим точечный заряд, равномерно движущийся вдоль оси х со скоростью v. Его движение описывается волновым уравнением. Как и ранее будем считать, что заряд «родился» при t = t' = 0, в начале координат (x = y = z = 0) при нулевых начальных условиях и далее движется вдоль оси х со скоростью v. Запишем уравнение (2.1) в новой системе отсчета
(3.1)
Квадратный корень появился в знаменателе из-за того, что объем (следовательно, и плотность пространственного заряда) испытывают релятивистское изменение. Теперь можно решать уравнение (2.1) «в лоб» или же применить к выражению (2.3) преобразование Лоренца
(3.2)
Независимо от способа решение уравнения (3.1) для запаздывающего потенциала для движущегося заряда будет иметь следующий вид
(3.3)
где - расстояние от точки «рождения» заряда до точки наблюдения.
Прежде, чем дать объяснения, заметим, что:
Величина r - ct = r' - ct' остается инвариантной в системах (x; y; z; ct) и (x'; y; z; ct').
Время во всех точках системы (x; y; z) время едино.
Мы рассмотрим рис. 3. Пусть заряд покоится в системе (x'; y; z; ct') в начале координат. В момент времени t' = 0 за бесконечно малый промежуток от заряда отделяется тонкий слой потенциала и распространяется вдоль радиуса со скоростью света к бесконечности.
Потенциал этого слоя убывает по мере удаления от точки излучения (начало координат), т.е. по мере того как растет расстояние от заряда r' = ct'. В момент времени t' тонкий сферический слой займет положение, показанное на левом рисунке пунктиром (рис. 3). Этот слой совпадает с поверхностью равных потенциалов, т.е. любая точка его поверхности имеет один и тот же потенциал.
Рис. 3. Левый рисунок: заряд неподвижен, точка наблюдения Р движется против оси x'. Правый рисунок: точка наблюдения Р неподвижна, заряд движется со скоростью v.
Пусть теперь заряд движется мимо неподвижного наблюдателя. Будем считать, что в момент времени t = 0 заряд проходил начало координат. Пусть он в момент времени t = 0 за малый промежуток t «излучил» потенциал в виде тонкого сферического слоя.
Этот слой будет также иметь сферическую поверхность, и он будет распространяться от точки излучения (начало координат) со скоростью света. В момент времени t заряд переместится на расстояние vt вдоль оси х, а слой потенциала пройдет расстояние ct от начала координат, как показано на правом рисунке (рис. 3). Очевидно, что теперь сферическая поверхность излученного за потенциала уже не будет совпадать с поверхностью равных потенциалов. Эта сфера пересекает линии равных потенциалов, которые имеют форму сплюснутых эллипсоидов вращения. Потенциал на правой стороне пунктирной сферы будет больше, чем потенциал левой стороны сферы.
Потенциалы Льенара-Виехерта. Зафиксируем время (t = const) и рассмотрим потенциал на поверхности тонкого слоя сферы, излученного в начальный момент времени из начала координат. В момент времени t сферический слой достигнет точки Р (она изображена на правой части рис. 3), а сам заряд за это время продвинется вдоль оси х на расстояние vt. Теперь нам нужно найти потенциал в точке Р как функцию расстояния r = 0Р от точки излучения до точки наблюдения Р. При этом радиус поверхности сферы 0Р будет постоянным. Запишем потенциал в точке Р (выражение (3.3)).
(4.1)
Заметим, что расстояние R0 отличается от геометрического расстояния АР. Это связано с тем, что потенциал зависит не только от расстояния, но и от скорости движения заряда (если заряд движется относительно наблюдателя, потенциал искажается (явление)). Выразим теперь потенциал через расстояние от точки его излучения до точки Р, учитывая, что
Если обозначить угол между направлением распространения потенциала к точке Р (вектор r) и вектором скорости v через , то можно упростить выражения. Учитывая, что
,
после несложных преобразований получим
или
Следовательно, потенциал на поверхности сферы радиуса ct в точке Р будет равен
(4.2)
где - угол между вектором скорости v и радиус-вектором r.
Время t это время, за которое излученный зарядом потенциал прошел расстояние r от точки излучения до точки Р. Вывод выражения (4.2) из геометрических соображений прозрачен, не содержит в себе каких-либо допущений и имеет простую интерпретацию. Выражения для векторного потенциала можно доказать аналогичным способом. Этот вывод можно обобщить на случай произвольного движения заряда.
Выражения для векторного потенциала заряда, который движется с постоянной скоростью, можно получить из (4.2), заменив скалярный потенциал в (4.2) на векторный A = v/c2.
Тензор энергии-импульса волны. В электродинамике используется вектор Пойнтигна. Пойнтинг для доказательства использовал только два уравнения из уравнений Максвелла. Из-за этого факта мы не можем рассматривать доказательство Пойнтинга как полное. В современных учебниках (например, [2] (параграф 33)) описывается тензор энергии - импульса для электромагнитного поля. Однако это ложный тензор. Из этого тензора мы не имеем возможности получить законы сохранения энергии - импульса для электромагнитной волны стандартным путем.
В то же время, существуют стандартные методы получения законов сохранения из этого тензора [2] (параграф 32). Мы воспользуемся этим методом и получим необходимые результаты.
1. Мы записываем выражение для плотности функции Лагранжа [3]
(5.1)
2.Из выражения (5.1) следует выражение для уравнений движения.
(5.2)
Выражение (5.2) есть часть уравнений Максвелла. Это выражение необходимо дополнить уравнениями непрерывности для 4-потенциала поля и 4-плотности тока:
Ai/xi = 0; ji/xi = 0 (5.3)