Документ: Электричество и магнетизм. Курс лекций. Задерновский, страницы 11-15

				11
	Возьмем бесконечно большую плоскость, на которой равномерно
распределен		положительный		заряд	с поверхностной плотностью σ.
			Напряженность			создаваемого			плоскостью
			электрического поля будет везде направлена
	σ		перпендикулярно			ей.	В	качестве	замкнутой
	σ		поверхности		выберем		поверхность		небольшого
			поверхности		выберем		поверхность		небольшого
			цилиндра, ось которого перпендикулярна плоскости,
	∆S		а основания находятся на одинаковом расстоянии от
E		E	плоскости по обе стороны от нее (рис 1.4). Так как
			линии напряженности пойдут вдоль боковой
			поверхности		цилиндра,		не	пересекая	её, то поток

			вектора	E через неё будет равен нулю. Поток через
	Рис. 1.4		оба основания цилиндра будет одинаков и в сумме
	Рис. 1.4
			составит 2E∙∆S.			Используя		теорему	Гаусса (1.7),

получим 2E S S , откуда следует, что

0

E		.	(1.11)

	2 0

Полученный результат показывает, что напряженность не зависит от расстояния от точки до плоскости, т. е. поле, создаваемое бесконечно большой плоскостью, является однородным. На практике формула (1.11) может быть использована для точек, находящихся на расстояниях значительно меньших линейных размеров плоскости и вдали от ее краев.

Рассчитаем теперь напряженность электрического поля, создаваемого бесконечно длинной заряженной нитью (цилиндром, трубкой). В этом

					случае вводится величина, называемая линейной
		τ			плотностью заряда
							dq	.		(1.12)
								.		(1.12)
							dl
							dl
h					Рассмотрим бесконечно				длинную	прямую
h					нить, на	которой равномерно распределен
					нить, на	которой равномерно распределен

E			r	E	положительный заряд с линейной плотностью τ. Из
			r
					соображений симметрии вытекает, что силовые


					линии	электрического			поля	будут
					перпендикулярны нити. Представим себе цилиндр
	Рис. 1.5				радиусом r и высотой h, ось которого совпадает с
					радиусом r и высотой h, ось которого совпадает с

12

нитью (см. рис 1.5). Напряженность E электрического поля в точках, находящихся на боковой поверхности цилиндра, будет одинаковой и

направленной по нормали к ней. Поток вектора E через эту поверхность будет, очевидно, равен E∙2πrh. Используя теорему Гаусса (1.7), получим

E 2 r h h ,0

откуда следует, что

E				.	(1.13)

	2	0	r
		0

Эта формула справедлива для расчета полей, создаваемых достаточно длинными нитями, стержнями или трубками вблизи их середины при условии, что r << l, где l - длина заряженного объекта.

Поле сферической поверхности с равномерно распределенным по ней зарядом является, очевидно, радиальным. Пусть радиус такой сферы равен R, а суммарный заряд q. Представим себе концентрическую с ней сферу радиуса r R. Силовые линии будут везде перпендикулярны ей, а значения напряженности электрического поля будут одинаковы на всей ее поверхности.

Применяя теорему Гаусса, получим E 4 r 2	q		, откуда имеем	E	q			, что
		0			4	0	r 2

идентично выражению (1.4) для поля точечного заряда.

Если вообразить сферу радиусом r < R, то внутри нее зарядов не будет. При этом поток вектора напряженности через эту сферу, а значит и сама напряженность, равны нулю. Таким образом, внутри равномерно заряженной сферы электрическое поле отсутствует, а снаружи оно точно такое же, как поле точечного заряда той же величины, помещенного в ее центр.

Все выше сказанное относится и к полю любого шара (в том числе и полого) в случае, если внутри него суммарный заряд равен нулю, а имеющийся поверхностный заряд распределен равномерно.

1.4. Потенциал электрического поля

Из определения напряженности электрического поля (1.3) следует, что на

заряд, находящийся в этом поле действует сила F qE . Под действием этой силы заряд способен двигаться и совершать работу. Таким образом, можно сказать, что заряд в электрическом поле обладает энергией (так же, как обладает энергией тело, находящееся в гравитационном поле).

F , dl q E,dl 0.

13

Поместим для примера точечный заряд q в однородное электрическое поле (рис. 1.6). При перемещении заряда из точки 1 в точку 2 силы поля совершат работу A12 = FS = qES. Если же заряд перемещается из точки 1 в точку 3 работа сил поля будет равна A13 = F cosα L = FS, так как L cosα = S.

При дальнейшем перемещении			заряда в точку	2 работа не совершается,
			поскольку	электрическая		сила
E const		3	перпендикулярна направлению движения.
	L		Таким образом,		можно заключить,

	α		что работа по перемещению			заряда	в

1	S	2	однородном	электрическом		поле	не
φ1 F=qE
		φ2	зависит от	формы	траектории,		и
Рис. 1.6			определяется	только	начальным		и

конечным его положением. Это означает, что такое поле является потенциальным, а электрические силы являются консервативными. Нетрудно показать, что любое электростатическое поле также является потенциальным.

Работа консервативных сил на любом замкнутом пути L будет, очевидно, равна нулю

A

L L

Отсюда следует, что для любого замкнутого контура L
	El dl 0,
Е,dl	El dl 0,	(1.14)
L	L

где El – проекция вектора E на элемент контура dl. Такой интеграл называется

циркуляцией, а выражение (1.14) носит название теоремы о циркуляции

вектора E : циркуляция вектора напряженности электростатического поля по произвольному замкнутому контуру равна нулю.

По определению, потенциальной энергией W точечного заряд q в некоторой точке пространства называется работа сил поля по перемещению этого заряда из данной точки в точку отсчета. В электростатике точка отсчета потенциальной энергии выбирается на бесконечном удалении от всех зарядов, создающих электрическое поле. Энергия W, которой обладает точечный заряд q, пропорциональна величине этого заряда. Поделив W на q, получим физическую величину, характеризующую поле в данной точке пространства и

называемую потенциалом
	W	.	(1.15)

	q

14

В СИ потенциал измеряется в вольтах [В]: 1В=1Дж/Кл.

Известно, что в любом потенциальном поле работа сил поля по перемещению заряда из точки 1 в точку 2 может быть представлена как убыль потенциальной энергии

A12 = W1 W2.

(1.16)

Принимая во внимание, что при удалении заряда на бесконечность его потенциальная энергия обращается в ноль, можно заключить, что потенциал численно равен работе, совершаемой силами поля при удалении единичного положительного заряда из данной точки на бесконечность. Как следует из

(1.15), W qφ , и работу А12 можно записать в виде

A12 = q (φ1 φ2).

(1.17)

Заметим, что потенциалы в точках 2 и 3 на рисунке 1.6 равны друг другу. Такой же по величине потенциал будет и в любой точке на плоскости перпендикулярной силовым линиям поля. Такая плоскость служит примером

эквипотенциальной поверхности. Эквипотенциальные поверхности это такие поверхности, все точки которых обладают одинаковым потенциалом.

Одним из свойств эквипотенциальных поверхностей является то, что они всегда перпендикулярны линиям напряженности электрического поля.

1.5. Связь между напряженностью и потенциалом электрического поля

Как известно из курса механики, в потенциальных полях существует связь между силой, действующей на тело, и его потенциальной энергией

F gradW .

Для точечной частицы с зарядом q, находящейся в электрическом поле и W q , и поэтому


	d		d		d
E grad		i		j		k .

			dy		dz
	dx

F qE

(1.18)

Если напряженность поля является функцией только одной координаты х,

то

E d и d Edx. dx

Проинтегрировав это выражение от точки 1 до точки 2 с координатами х1 и х2 , соответственно, получим

2	x2
d 2	1 Edx ,
1	x1

или

15

			x2
			1 2 Edx .			(1.19)
			x1
В	частности,	для	однородного	поля,	когда	Е const,
имеем 1 2 E x2 x1 , или
			U = Ed,			(1.20)
где	U 1 2 , а	d = x2 - x1.
	Из формул	(1.19) и	(1.20) вытекает,	что	в СИ	напряженность

электрического поля измеряется в В/м.

1.6. Потенциал поля точечного заряда и заряженной сферы (шара)

Рассмотрим поле, создаваемое положительным точечным зарядом q1 (рис. 1.7). Предположим, что положительный точечный заряд q2 перемещается под действием кулоновской силы из точки 1 в точку 2. Работа dА совершаемая этой силой при перемещении на dr равна dА=Fdr. Полная работа при перемещении q2 из точки 1 в точку 2 будет выглядеть следующим образом

2

q1q2

r2

dr

1

А12 Fdr

q1q2 1

. (1.21)

2

r2

1

4 0 r

r

4 0 r1

r2

1

r1

1

2

Поскольку с другой стороны A12 = W1 W2,

делаем вывод,

q1

что энергия заряда q2

в поле заряда q1 равна

q2

F

1

q1q2

W

,

(1.22)

Рис. 1.7

4 0

r

где r – расстояние между зарядами. Эту энергию можно также трактовать, как потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов. Используя формулу (1.15), получим

выражение для потенциала поля, создаваемого точечным зарядом q, в точке, находящейся на расстоянии r от него

1	q	.	(1.23)

4 0 r

Для потенциалов, также как и для напряженностей, выполняется принцип суперпозиции. Это означает, что если электрическое поле создано системой точечных зарядов, то потенциал в какой-либо точке равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым из зарядов. Таким образом, потенциал поля системы точечных зарядов равен

i	1		qi	.
	4
		0	r
			i

Материал: Электричество и магнетизм. Курс лекций. Задерновский

Смотрите также: