В 1899 г. публикуется первая работа Д.Н.Горячева по этой проблеме [15]. Исследуя случай, при котором центр тяжести твердого тела расположен на главной оси эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки, он рассматривает зависимости вида
Здесь a ? величина, равная произведению веса тела на барицентрическое расстояние; nj (j = 1, 2, 3) ? постоянные, подлежащие определению. Остальные обозначения здесь и всюду далее являются общепринятыми [3].
Выражая постоянные nj через параметры Aj, a, Д.Н.Горячев получает соотношение связи
? ограничение, при котором принятые зависимости являются совместными частными интегралами. В результате он приходит к выводу, что все переменные задачи выражаются через эллиптические квадратуры в функции времени. Это решение содержит одну произвольную постоянную.
30 ноября 1899 г. (по новому стилю) на заседании Московского математического общества Д.Н.Горячев сообщил о новом открытом им случае интегрируемости в задаче о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Содержание этого сообщения явилось основой для работы [16]. Этой работой Д.Н.Горячев внес значительный вклад в решение поставленной проблемы; данный случай интегрируемости прочно вошел в научную и учебную литературу по механике как "случай Горячева".
В работе предполагается, что центр тяжести тела расположен на оси Ox и имеют место ограничения
В этом случае Д.Н.Горячев находит частный интеграл
где Q ? момент силы тяжести относительно оси Oy (ось Oz вертикальна),
h = const.
В этой работе не указан путь получения данного интеграла [3]. Вероятно, здесь проявилась прозорливость одаренного исследователя, совершающего открытие.
Далее Д.Н.Горячев показывает, что аддитивная постоянная интегрирования в интеграле площадей равна нулю.
Полученное решение задачи содержит три произвольные постоянные. В этой же работе им предложена геометрическая интерпретация полученного решения, основанная на рассмотрении конусов, описываемых вектором момента количества движения тела в этом теле и в неподвижном пространстве.
Открытый Д.Н.Горячевым случай интегрируемости, при котором данный частный интеграл совместно с тремя общими интегралами системы уравнений движения образует инволютивную систему интегралов, является составным элементом набора всех известных случаев, при которых система уравнений Эйлера-Пуассона вполне интегрируема по Буру-Лиувиллю.
Следующий цикл работ Д.Н.Горячева [18?20] относится к решению обратной задачи динамики твердого тела. В этих работах указаны интегралы уравнений движения и те потенциальные силовые поля, в которых должно находиться твердое тело. Ставится задача о нахождении силовой функции этого поля.
В работе [18] требуется найти такую силовую функцию, чтобы система уравнений движения твердого тела допускала существование линейного частного интеграла вида
Здесь - кинетический момент твердого тела относительно полюса О, - вектор, компоненты которого (и величина D) подлежат определению, являются функциями углов Эйлера и не зависят от времени.
Определив искомые величины, Д.Н.Горячев получает условный линейный интеграл заданного вида в форме
существующий при условии
Здесь
-
результирующий момент внешних сил, действующих на тело; а и b - маркировочные множители. Варьируя числовые значения параметров a, b, можно получить известные к тому времени интегралы.
Далее Д.Н.Горячев ставит вопрос о нахождении квадратичного интеграла вида
где - однородные функции относительно компонент указанных векторов, не содержащие явно времени. Здесь - вектор углов Эйлера, j - индекс измерения функций. В результате имеем
Здесь особый интерес представляет силовая функция, при которой существуют одновременно линейный и квадратичный интегралы. В частности, для силовой функции
одновременно существуют первые интегралы
где - заданные постоянные множители (л1 ? л3), - матрица тензора инерции твёрдого тела, отнесенного к полюсу О.
Данный потенциал U соответствует силовому полю, в котором при л1 > л3 реализуется притяжение данного тела плоскостью силами, пропорциональными по модулю расстояниям точек тела до этой плоскости.
Последний из этих интегралов является дополнительным, в силу чего данная задача становится интегрируемой в квадратурах. Этот результат вошел в классические труды по механике - трактат П. Аппеля [21, c.188] (в нем ссылка на Goriatchoff), а также в трактат Э.Дж. Рауса [22, c. 185].
В работе [19] Д.Н.Горячев исследует существование интегралов, представленных полиномами третьей степени относительно компонент щj (j = 1, 2, 3). Ищется алгебраический интеграл вида
где
- однородные функции относительно компонент данных векторов, не содержащие явно времени; j, k - индексы измерения функций. При этом предполагается, что имеет место интеграл площадей с нулевой постоянной интегрирования.
Показывается, что силовая функция и результирующий момент внешних сил L не зависят от угла прецессии ш, а главные осевые моменты инерции тела ограничены условием
В случаях, определяемых этим равенством, явно представляются искомые интегралы и силовые функции. В силу этого данная задача сводится к квадратурам и решение ее содержит четыре произвольные постоянные. Один из данных случаев является обобщением результата, представленного в работе [16].
Через год после публикации этой работы появляется статья Д.Н.Горячева [20], в которой при условии
ищется алгебраический по щj интеграл
где - искомые функции. При этом предполагается, что существует интеграл площадей с постоянной интегрирования, равной нулю, и показывается, что силовая функция не зависит от угла прецессии.
Потенциал силового поля в этом случае представляется в виде линейной комбинации величин и соответствует притяжению четырех точек твердого тела неподвижной плоскостью по данному закону.
Силовые поля, представленные в этих работах, в научной литературе получили название "силовых полей Горячева".
Рецензии на работы, опубликованные Д.Н.Горячевым в период до 1914 г., помещены в журнале Jahrbuch uber die Fortschritte der Mathematik [1].
3. Современный взгляд на открытие Д.Н. Горячева
горячев механика интегрируемость
Д.Н. Горячев в работе [16] открыл новый случай интегрируемости системы уравнений Эйлера-Пуассона, ставший классическим результатом. Тем самым он получил новое ограниченное решение задачи Эйлера-Пуанкаре. В чем состояли трудности решения этой задачи и каковы их причины?
Согласно известной теореме А.Пуанкаре гамильтонова система (ГС) в общем случае неинтегрируема. Это означает, что если траектории невырожденных решений ГС заполняют фазовое пространство всюду плотно, то ГС не имеет дополнительного аналитического интеграла, поскольку траектории этой системы не охватывают интегральные многообразия малого числа измерений. Однако неинтегрируемость относится только к существованию однозначного (относительно некоторого параметра) интеграла. Вместе с тем могут существовать интегралы для отдельных значений параметров, содержащихся в уравнениях системы, для определенных начальных значений. Отсюда - появление различных "случаев" интегрируемости системы уравнений Эйлера-Пуассона, для которых эта система является вполне интегрируемой. Каждый из этих случаев обеспечивает существование полной инволютивной системы первых интегралов уравнений Эйлера-Пуассона.
В общем, регулярном случае существованию новых однозначных интегралов препятствует ветвление решений ГС в плоскости комплексного времени. Здесь имеется в виду существование интегралов во всем фазовом пространстве в целом, так как полный набор независимых интегралов в малой окрестности регулярной точки всегда существует.
Известно, что дополнительный, по Уиттекеру, голоморфный (и даже мероморфный) первый интеграл существует только в трех классических случаях: Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. В отличие от этих случаев для случая Горячева ГС имеет место лишь на одном интегральном уровне, учитывая, что постоянная интеграла площадей здесь равна нулю.
Все указанные случаи интегрируемости образуют в шестимерном пространстве параметров
многообразия одинаковой коразмерности n = 3.
Заслуга Д.Н.Горячева состоит в том, что из всего множества возможных значений параметров M ему удалось выбрать такую их совокупность, для которой система уравнений Эйлера-Пуассона обладает независимым дополнительным алгебраическим интегралом. Это, в свою очередь, обеспечивает ее интегрируемость по Буру-Лиувиллю.
Открытие Д.Н.Горячева навсегда вошло в историю отечественной и мировой механики как выдающееся научное достижение российской науки.
Полный список трудов Д.Н.Горячева в настоящее время не известен вследствие утраты при эвакуациях из Варшавы и Ростова необходимых для этого материалов [3].
Список литературы
1. Несторович Н.М. Биография Дмитрия Никаноровича Горячева // Тр. Северо-Кав-казской ассоциации науч.-исслед. ин-тов, № 77 / Ин-т математики и естествознания при Северо-Кавказском гос. ун-те. Сб. ст. по математике. Вып. 16. Ростов н/Д, 1930. С. 1?8.
2. Никитин А.К. Д.Н. Горячев и его работы по механике (1867?1949) // Ростовский гос. ун-т. Статьи, воспоминания, документы (1915?1965). Ростов, 1965. С. 169?178.
3. Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Дмитрий Никанорович Горячев (1867?1949) // Исто- рия и методология естественных наук. М., 1989. № 36. С.158?165.
4. Бородин А.И., Бугай А.С. Биографический словарь деятелей в области математики. Киев: Радянска школа, 1979. 607 с.
5. Боголюбов А.Н. Математики. Механики. Биографический справочник. Киев: Наукова думка, 1983. 639 с.
6. Аносова Т.Н. Дмитрий Никанорович Горячев и его работы по механике // Учен. зап. Ростовского гос. ун-та. 1955. Т. 24, вып. 1. С. 225? 230.
7. Степанова Л.А. О работах Д.Н.Горячева по динамике твердого тела // Механика твердого тела: республ. межвед. сб. науч. тр. Киев: Наукова думка. 1969. Вып. 1. С.65?73.
8. Горячев Д.Н. Определение продолжительности удара упругих тел. М., 1888.
9. Горячев Д.Н. О дисковых метательных снарядах. М., 1891.
10. Горячев Д.Н. К задаче о трех телах. М., 1895.
11. Горячев Д.Н. Дополнение к работе "К задаче о трех телах". М., 1895.
12. Горячев Д.Н. К задаче о движении прямолинейных вихрей. М., 1896.
13. Горячев Д.Н. О некоторых случаях движения прямолинейных параллельных вихрей // Учен. зап. Импер. Моск. ун-та. Отд. физ.-мат. наук. 1899. Вып 16. С. 1?106.
14. Горячев Д.Н. К вопросу о движении тяжелого твердого тела в жидкости. М., 1893.
15. Горячев Д.Н. Новое частное решение задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки // Тр. Отд-ния физ. наук О-ва любителей естествознания. 1899. Т. 10, вып. 1. С. 23?24.
16. Горячев Д.Н. О движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае A=B=4C // Матем. сб. 1900. Т.21, вып.3. С. 431?438.
17. Горячев Д.Н. К задаче о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки // Дневник XII съезда естествоиспытателей и врачей в Москве. М., 1910. № 3. С.3?4.
18. Горячев Д.Н. Некоторые общие интегралы в задаче о движении твердого тела // Варшава, 1910. См. также: Варшавские университ. известия. Варшава, 1911. № 2. С.1?8; №3. С.9?16; № 4. С.17?24; № 5. С.25?48; №6. С.49?62.
19. Горячев Д.Н. Некоторые случаи движения твердого тела вокруг неподвижной точки // Варшавские университ. известия. Варшава, 1915. № 3. С. 1?11.
20. Горячев Д.Н. Новые случаи интегрируемости динамических уравнений Эйлера // Варшавские университ. известия. Варшава, 1916. № 4. С. 1?15.
21. Аппель П. Теоретическая механика: в 2 т. М.: Физматгиз. 1960. Т. 2. 487 с.
22. Раус Э. Дж. Динамика системы твердых тел: в 2 т. М.: Наука. 1983. Т. 2. 544 с.