Материал: Динамические системы

2.2 Реализация диода Чуа с использованием двух управляемых напряжением ПОС на ОУ

Операционные усилители (ОУ)

В реальных устройствах имеется некоторый рабочий диапазон, в котором можно говорить о соответствии поведения модели и реального прибора. Операционный усилитель - это электронный прибор, который в некотором диапазоне входных напряжений дает аппроксимацию источника напряжения, управляемого напряжением.

Рассмотрим цепь, показанную на Рис. 5а. Она состоит из операционного усилителя и связанных с ним источников питания . Напряжение, приложенное между неинвертирующим и инвертирующим входами (обозначенными “+” и “-”), вырабатывает разность потенциалов между выходом и опорным выводом (обычно общая точка источников питания). Этот реальный схемный модуль с ОУ имеет небольшой входной ток ; будем считать . Когда дифференциальное входное напряжение  реального ОУ достаточно велико по модулю и отрицательно, на выходе мы имеем практически постоянное напряжение  ; эта область называется областью отрицательного насыщения. Когда на входе небольшое напряжение, то выходное напряжение изменяется почти линейно в зависимости от входного; эта область называется линейной. Коэффициент усиления в линейной области обычно превышает . Кроме того, характеристика отстоит от начала координат на входное напряжение смещения  (оно может быть отрицательным или положительным, присущим одному конкретному устройству), которое обычно составляет несколько милливольт. Когда входное напряжение велико и положительно, напряжение на выходе принимает максимальное значение  ; эта область называется областью положительного насыщения. Таким образом, функция преобразования постоянного напряжения для реального ОУ хорошо аппроксимируется трехсегментной кусочно-линейной характеристикой, как показано на Рис. 5б.

чуа диод преобразователь усилитель

Поскольку реальный ОУ содержит компенсирующие и паразитные емкости, полная модель устройства будет включать реактивные элементы. Однако, мы предположим, что ОУ ведет себя как резистор в диапазоне частот, в котором будет работать схема Чуа. Это всегда можно обеспечить соответствующим масштабированием времени, как это было показано ранее. Таким образом, мы пренебрегаем всеми частотно-зависимыми эффектами в ОУ и работаем с ним как с чисто активным устройством.

Можно предположить также, что выходной импеданс ОУ достаточно мал, так что им можно пренебречь.

Таким образом, в наших целях выход ОУ выглядит как идеальный источник напряжения, а вход - как разрыв цепи. Поэтому мы можем моделировать ОУ как УНИН: , где  имеет вид, представленный на Рис. 5б.

Преимуществом данной кусочно-линейной модели является то, что мы теперь можем определить поведение цепи, содержащей ОУ и другие компоненты, анализируя каждый линейный участок работы (отрицательное насыщение, линейная область и положительное насыщение) отдельно.

Преобразователь отрицательного сопротивления (ПОС)

Существует множество путей для синтеза отрицательного сопротивления, один из которых состоит в подсоединении трех положительных линейных резисторов к управляемому напряжением источнику напряжения для формирования преобразователя отрицательного сопротивления. Это устройство привлекательно с экспериментальной точки зрения, поскольку легко осуществимо при помощи операционного усилителя (ОУ).

Иногда возникает необходимость использования отрицательного сопротивления или источника напряжения с отрицательным сопротивлением. По определению сопротивление R=+U/I, где направление тока и напряжения совпадают. Если же в двухполюснике направления протекающего тока и приложенного напряжения не совпадают, отношение U/I будет отрицательным. Говорят, что такой двухполюсник обладает отрицательным сопротивлением. Отрицательные сопротивления могут быть получены только с применением активных схем, которые называют преобразователями отрицательного сопротивления (ПОС). Выходное напряжение идеального ОУ определяется как  .(10)

Входной ток усилителя равен

 .(11)

На входах идеального операционного усилителя напряжения равны, т.е.  , поэтому  . Отсюда следует, что  .(12)

При выводе этих соотношений предполагалось, что схема находится в устойчивом состоянии. Однако, поскольку операционный усилитель охвачен одновременно положительной и отрицательной обратными связями, следует принять меры, чтобы выполнялись условия устойчивости. Физический смысл условий устойчивости для схемы ПОС с идеальным ОУ при резистивных обратных связях заключается в том, что глубина положительной обратной связи должна быть меньше, чем отрицательной. Для схемы это означает, что сопротивление источника входного сигнала  должно быть меньше .

Рис. 6 - Схема преобразователя отрицательного сопротивления

Реализация диода Чуа с использованием двух управляемых напряжением ПОС на ОУ

На Рис. 7 изображена реализация цепи Чуа на ОУ. Нужная для диода Чуа ВАХ задается двумя управляемыми напряжением преобразователями отрицательного сопротивления  , соединенными параллельно.

Нелинейный резистор  имеет трехсегментную кусочно-линейную характеристику с наклонами  , и точками излома . Точно так же у  имеются наклоны , и точки излома . Составная пятисегментная характеристика имеет наклоны  и точки излома  и .

При обсуждении преобразователя отрицательного сопротивления на ОУ мы увидели, что если положить , то будут наклоны  , с точками излома .

Таким образом, при  ,

 .(13)

Пологая  , получаем следующее:

 .(14)

Из графического рассмотрения составной характеристики мы имеем:

 ,(15)

С помощью данных наблюдений мы можем вывести стратегию для определения подходящих значений компонентов  из

Заключение

Система считается относительно устойчивой в определенных пределах, если при достаточно малых изменениях условий функционирования его поведение существенно не меняется. В курсовой работе исследована структурная устойчивость и устойчивость траектории поведения системы Чуа. Устойчивость данной системы обеспечивается такими аспектами самоорганизации, как дифференциация и лабильность (чувствительность). Дифференциация - это стремление системы к структурной и функциональной разнообразия элементов, которая обеспечивает не только условия возникновения и разрешения противоречий, но и определяет способность системы быстро приспосабливаться к имеющимся условиям существования. Больше разнообразия - больше устойчивости, и наоборот. Лабильность означает подвижность функций элементов при сохранении устойчивости структуры системы в целом.

Таким образом в ходе выполнения курсовой работы доказана что устойчивость системы связана с ее стремлением к состоянию равновесия, которое предполагает такое функционирование элементов системы, при котором обеспечивается повышенная эффективность движения к целям развития. В реальных условиях система не может полностью достичь состояния равновесия, хотя и стремится к нему. Элементы системы функционируют по-разному в разных условиях, и их динамическое взаимодействие постоянно влияет на движение системы.

Список литературы

1.     Афанасьев В.В., Логинов С.С., Польский Ю.Е. Восстановление параметров нелинейной динамической системы Чуа. Электронное приборостроение. Научно-практический сборник., Вып. 3 (41). Казань: КГТУ (КАИ). 2005 . С. 108-113.

2.      Капранов М.В. Элементы теории систем фазовой синхронизации: учебное пособие по курсу «Теория колебаний». М.: Издательство МЭИ, 2006.-2008 с.

.        Афанасьев В.В., Логинов С.С., Польский Ю.Е. Нелинейные системы с динамическим хаосом и порождаемые ими сигналы. Учебное пособие. Казань: Издательство Казань, ГТУ, 2005,123 с.

.        Мацумото Т. Хаос в электронных схемах.// ТИИЭР. - 2006. - Т.75, №8. - С.66-87.

Приложение

Исследование динамики системы Чуа обычно проводится на модели с нелинейной характеристикой, включающей три линейных сегмента с разным наклоном. Однако, при этом не учитываются свойства реальной системы, для которой характерно наличие еще двух сегментов, что связано с ограниченным динамическим диапазоном реальных операционных усилителей.

При математическом анализе обычно используют систему уравнений в безразмерном виде:

Здесь переменные x,y,z пропорциональны соответственно напряжениям vC1, vC2 и току iL, соответственно. f(x) - это нормированная кусочно-линейная зависимость.

Управляющими параметрами являются

 и  (16)

На рис.П1 приведено разбиение плоскости управляющих параметров системы Чуа на характерные режимы. Цифрами на рисунке обозначены области пространства параметров, в которых поведение системы качественно различается. Когда параметр α мал, в системе существуют два устойчивых положения равновесия P+, P- и одно неустойчивое типа «седло», находящееся в начале координат 0. В этом случае схема Чуа в зависимости от начальных условий может находиться в одном из двух устойчивых положений равновесия (см. рис.П2).

Фазовый портрет на рис.П3 соответствует случаю, когда параметры системы находятся в области 2 на рис.П1. В окрестности верхней точки равновесия существует устойчивый предельный цикл периода 1, и симметричный ему предельный цикл находится в окрестности нижней точки равновесия. Кроме того, в системе существует также большой по размерам устойчивый предельный цикл, охватывающий все пять сегментов характеристики диода Чуа (жирная линия), и неустойчивый седловой предельный цикл (двойная тонкая линия). Эти два цикла (устойчивый и неустойчивый) присутствуют на каждом из приведенных фазовых портретов. В зависимости от начальных условий система Чуа будет находиться на одном из трех устойчивых циклов.

Фазовый портрет, представленный на рис.П4, соответствует случаю, когда значения параметров схемы находятся в области 3 на рис.П1. Линия, разделяющая области 2 и 3, называется линией бифуркации удвоения периода и является границей, на которой происходит качественное изменение структуры аттрактора системы Чуа. При переходе из области 2 в область 3 в спектре мощности появляются субгармоники, соответствующие половинной частоте предельного цикла, изображенного на рис.П3,а аттрактор изменяется и становится « двухвитковым».

Два симметричных странных аттрактора, имеющихся в системе при значениях параметров, соответствующих области 5, топологически подобны аттрактору Ресслера, впервые исследованному на совершенно другой системе нелинейных дифференциальных уравнений (см. рис.П6). Подобную последовательность переходов в эксперименте можно наблюдать как при изменении параметра R, так и при изменении параметра C.

При дальнейшем изменении параметров в системе можно наблюдать окна периодичности, подобные представленному на рис.П7. На плоскости параметров (рис.П1) этому режиму колебаний соответствует узкая область параметров внутри области 5.

По мере дальнейшего увеличения параметра α в системе развивается аттрактор Ресслера (рис.П8), который, однако, все время остается в пределах своего цикла и не заходит в область притяжения симметричного аттрактора (область 5 на рис.П1). Таким образом, в системе сосуществуют два странных аттрактора, и эволюцию сигнала на каждом из них можно проследить, изменяя начальные условия в системе.

При дальнейшем увеличении управляющего параметра два аттрактора Ресслера сталкиваются и образуют один общий странный аттрактор (рис.П9), называемый double scroll. При этом типе поведения система посещает окрестность и верхнего, и нижнего положения равновесия. Строгий математический анализ сечения Пуанкаре показывает, что оно состоит из двух слоев точек, напоминающих спираль. С этим и связано название этого странного аттрактора. Внутри области существования аттрактора double scroll также существуют окна периодичности, подобные тем, которые существовали в области аттрактора Ресслера. Отличием их является то, что периодическая орбита в этом случае охватывает оба положения равновесия (P+ и P-).