Аналогично необходимость в использовании индекса в обозначении источника тока отсутствует, так как он отличен от нуля только на основной гармонике. Допущение о точной настройке контура на частоту падающей волны позволяет записать:
. (18)
Также необходимо отметить, что сопротивление является мнимой величиной, которую удобно представить в следующем виде:
. (19)
Реактивное сопротивление при данной записи параметра имеет смысл сопротивления, которое вносят все элементы решетки в импеданс элемента с нулевым номером.
Зададим далее параметр, описывающий эффект детектирования. Будем использовать для этого коэффициент передачи по мощности :
, (20)
где - полезная мощность, выделяемая в сопротивлении нагрузки. Остановимся далее на вычислении полезной мощности.
Рассмотрим первое уравнение системы (15). Отметим, что при , оно имеет ненулевое решение относительно . Назовем его . Очевидно, что это напряжение не может быть полезным сигналом, так как оно никак не связано с мощностью падающей волны. Это ни что иное как напряжение смещение, возникающее на диоде благодаря источнику . Величина является корнем следующего уравнения:
. (21)
При подаче на диод высокочастотного сигнала постоянное напряжение на нем будет отличаться от :
. (22)
Полезным сигналом на постоянном токе является добавка к напряжению смещения . С учетом этого замечания коэффициент передачи (20) записывается следующим образом:
. (23)
Коэффициент передачи, выраженный в децибелах носит название потерь преобразования, которые мы также будем использовать для описания детектирующих свойств структуры.
3. Аналитическое исследование ЭМК
Ниже будут представлены результаты аналитического исследования решения системы нелинейных уравнений (15). Для того чтобы получить это решение необходимо дополнительно упростить постановку задачи.
Предположим, что сигнал, падающий на структуры является сигналом малой интенсивности и диоды ЭМК функционируют в квадратичном режиме. В этом случае основным нелинейным эффектом является преобразование сигнала основной частоты в постоянный ток. Генерация высших гармоник также имеет место, но эти гармоники имеют более высокий порядок малости, чем сигнал на постоянном токе и ими можно пренебречь при исследовании процесса детектирования.
Далее, воспользуемся линейной аппроксимацией зависимости емкости от напряжения, которая соответствует квадратичному закону, описывающему емкостной ток:
, (24)
.
В квадратичном режиме напряжение описывается двумя гармониками: нулевой и первой, а система (15) содержит два уравнения:
где - фаза напряжения , - модифицированные функции Бесселя, возникающие в результате интегрирования вольт-амперной характеристики диода.
Будем искать решение второго уравнения относительно напряжения первой гармоники в нулевом приближении, то есть с точностью до членов порядка , а решение первого уравнения относительно ищем с точностью до членов порядка . Тогда раскладывая модифицированные функции Бесселя в ряды Тейлора по малым аргументам, получаем:
, (26)
,
,
.
Подставим первое равенство (26), а также соотношение (10) во второе равенство (26):
. (27)
Коэффициент передачи выражается следующим образом:
. (28)
Параметр является функцией нескольких свободных параметров. К их числу относятся: сопротивление излучателя , сопротивление нагрузки по постоянному току , напряжение источника смещения , реактивное сопротивление , которое, в свою очередь, зависит от параметров ЭМК. Напряжение источника смещения влияет на активную и реактивную составляющие проводимости диода . При этом влияние на активную составляющую значительно более сильное. Небольшие вариации параметра могут менять ее от очень больших значений до очень маленьких благодаря экспоненциальной вольт - амперной характеристике диода. Изменения реактивной составляющей при этом существенно меньше. Параметры и в большей степени определяются типом диода. Поэтому в качестве независимого параметра мы можем использовать вместо .
Найдем условия, при которых коэффициент передачи достигает своего максимума. Данную операцию нетрудно сделать по переменным и . Для этого достаточно продифференцировать функцию (28) по ним и найти значения и , в которых указанные производные обращаются в ноль:
, (29)
.
Подстановка соотношений (29) в формулу (28) дает следующий результат:
. (30)
Введем следующие обозначения:
, (31)
,
, .
Обозначения (31) позволяют компактно записать выражение для коэффициента передачи:
. (32)
Функция имеет максимум при . В этой точке она равна единице. Функция :
. (33)
имеет максимум по переменной . Найти его аналитически не представляется возможным. Однако для оптимального значения можно предложить аппроксимацию, дающую погрешность не превышающую 1.5% при :
, (34)
.
При малых значениях параметра оптимальное значение проводимости дается соотношением:
. (35)
При выполнении равенства (35) получаем максимальное значение функции :
. (36)
Соответственно запишем выражение для максимального значения коэффициента передачи :
. (37)
Функция описывает зависимость коэффициента передачи структуры от угла падения плоской волны. Таким образом, ее можно рассматривать как ДН нелинейного ЭМК. Ширина ДН определяется условием, при котором функция равна 0.5 от ее максимального значения. Значение параметра , соответствующее данному условию определяется соотношением:
. (38)
От угла падения волны зависит только функция . В предположении, что ДН имеет малую ширину ее можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки :
, (39)
,
где , - первая и вторая производные в точке .
С учетом формул (39) полная ширина ДН определяется соотношением:
(40)
Функция является четной функцией своего аргумента. Поэтому в точке ее производная равна нулю. В этом случае соотношение (40) можно упростить:
. (41)
Если угол далек от нуля, то, как правило, выполняется неравенство:
.
С его помощью получаем выражение для ширины ДН, имеющей главный луч, отклоненный от нормали:
. (42)
Перейдем в формулах (41), (42) к обозначениям (31):
, (43)
.
Из соотношений (43) видно, что при достаточно малом сопротивлении базы структура может иметь весьма узкую ДН. Ее ширина ограничена конечным значением параметра . Отметим, что ширина ДН увеличивается при приближении угла к нулевому значению, так как при =0 параметр пропорционален , а при он пропорционален .
Направленность нелинейного ЭМК в режиме детектирования отличается от направленности традиционных антенн, которая обусловлена когерентным сложением сигналов в одной точке. В традиционной антенне сигналы, поступившие на разные участки ее апертуры складываются на выходе антенны. Сложение может осуществляться с помощью сумматора мощности, как это делается в антенных решетках или с помощью оптической системы: зеркала или линзы. В этом случае сигналы суммируются в фокусе оптической системы. Идеальное сложение имеет место только для одного угла падения волны на антенну. При отклонении угла от оптимального происходит несинфазное сложение сигналов и мощность на выходе падает. Важно, что ширина ДН при указанном способе создания направленности зависит от размеров антенны. Чем они больше, тем уже ДН.
Из формулы (43) видно, что размеры ЭМК не входят в соотношение для ширины ДН. Они в принципе не могут туда входить, так как мы рассматриваем бесконечную структуру. Направленность ЭМК связана с резонансными эффектами, которые могут возникать в каждом отдельном его элементе. Условие соответствует условию компенсации реактивной части сопротивления диода собственным сопротивлением выделенного элемента ЭМК, а также вносимым сопротивлением соседних элементов решетки. Такая компенсация реактивного сопротивления говорит о резонансном характере явлений, происходящих в структуре. Особенностью ЭМК является то, что вносимое сопротивление зависит от угла падения волны. Поэтому при его отклонении от оптимального значения , на которое настроена структура происходит увеличении мнимой части импеданса, которое неизбежно приводит к уменьшению выходного полезного сигнала.
Очевидно, что резонансные явления должны порождать не только резкую зависимость коэффициента передачи от угла падения, но и от частоты. Поэтому появление направленности должно сопровождаться уменьшением полосы рабочих частот.
Интерпретация направленности ЭМК с позиций резонансных эффектов легко объясняет тот факт, что предел уменьшению ширины ДН ставит конечное значение сопротивления диода . Указанное сопротивление является источником диссипативных потерь в ЭМК при условии, что все остальные его элементы таких потерь не имеют. Поэтому величина задает добротность резонанса, которая при =0 была бы бесконечно большой. Поэтому мы видим из соотношения (43), что конечная добротность колебательной системы приводит к конечной ширине ДН.
4. Численное исследование ЭМК
Далее мы на ряде количественных примеров рассмотрим закономерности, которые качественно описывает приближенная модель, описанная в разд. 3. Изучим, в первую очередь, поведение потерь преобразования () от сопротивлений излучателя и нагрузки. Как следует из разд. 3, должны существовать их оптимальные значения, при которых величина максимальна.
На рис. 7 показана зависимость потерь преобразования от сопротивления нагрузки . Она получена при =500 Ом, f=7 ГГц, , пФ, В, В, Вт, , , . Все размеры здесь и далее приводятся в миллиметрах. Из рис. 7 видно, что потери преобразования резко уменьшаются, достигают минимума и сравнительно медленно нарастают. Таким образом, численные расчеты подтверждают экстремальный характер зависимости параметра от сопротивления нагрузки.
Рис. 7. Зависимость потерь преобразования от сопротивления нагрузки.
Аналогичная зависимость потерь преобразования от сопротивления излучателя была получена при Ом. Остальные параметры структуры остались такими же, как и в первом примере. Указанная зависимость показана на рис. 8.
Рис. 8. Зависимость потерь преобразования от сопротивления излучателя.
На рис. 9 представлена зависимость потерь преобразования от напряжения смещения. Она получена при тех же параметрах, что и раньше, Ом.
Рис. 9. Зависимость потерь преобразования от напряжения смещения на диоде.
Данная зависимость также имеет экстремальный характер. Он соответствует экстремальной зависимости потерь преобразования от активной части проводимости диода . Отметим, что абсолютные значения оптимальных сопротивлений нагрузки и излучателя, а также напряжения смещения сильно зависят от емкости диода при нулевом смещении . В качестве примера приведем зависимость потерь преобразования от сопротивления излучателя при пФ. Она показана на рис. 10. Кривая получена при В, , , Ом. Другие параметры структуры не менялись.
Рис. 10. Зависимость потерь преобразования от сопротивления излучателя при пФ.
Из рис. 10 видно, что увеличение емкости диода привело к существенному смещению минимума потерь преобразования в сторону меньших значений .
Рассмотрим далее направленные свойства структуры, которые будем описывать функцией :
, (44)
которая является нормированной ДН. Под понимается угол, при котором коэффициент передачи по мощности достигает максимального значения.
Интересно проследить зависимость ширины ДН от емкости диода . На рис. 11 представлены три ДН, соответствующие =0.1, 1, 5 пФ.
Рис. 11. ДН ЭМК в режиме детектирования при разных значениях емкости .
Видно, что структура настроена на =0. Также мы можем отметить, что ширина ДН уменьшается с ростом емкости нелинейного элемента. Такое поведение ДН можно объяснить ростом добротности резонатора, который образуется в каждом периоде ЭМК. Увеличивая емкость мы увеличиваем энергию, запасенную в резонаторе и, следовательно, увеличиваем его добротность. Выше отмечалась связь между добротностью и направленностью структуры, которая приводит к сужению ДН.
На рис. 12 представлены ДН ЭМК, иллюстрирующие разную настройку структуры. Кривые 1 и 2 получены при =5 пФ и =0, 200. Приближенная теория, представленная в разд. 3 предсказывает сужение ДН ЭМК при его настройке на углы излучения отличные от нулевого. Численные расчеты полностью подтверждают этот вывод. Из рис. 12 видно, что ДН 2 существенно уже ДН 1, соответствующей =0.