ДЕТЕКТИРОВАНИЕ СИГНАЛА В ИЗЛУЧАЮЩЕМ НЕЛИНЕЙНОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ КРИСТАЛЛЕ
С.Е. Банков
1. Постановка задачи
Излучающие нелинейные электромагнитные кристаллы (ЭМК) представляют собой двумерно - периодические волноведущие структуры, которые содержат нелинейные элементы и имеют связь со свободным пространством. Примером такого ЭМК может служить рассмотренная в работе [1] решетка металлических цилиндров с нелинейными двухполюсниками, которая расположена внутри плоского волновода (ПВ). Под ПВ понимаем два бесконечных параллельных металлических экрана. Связь со свободным пространством обеспечивается решеткой излучателей, которые располагаются над ПВ и связаны с металлическими цилиндрами через отверстия в верхнем экране ПВ.
Таким образом, излучающий ЭМК данного типа представляет собой антенную решетку, которая может возбуждаться по-разному. Возбуждение может осуществляться, например, из свободного пространства. В простейшем случае источником возбуждения служит плоская волна, падающая на ЭМК.
Также ЭМК данного типа может возбуждаться волнами ПВ, а также комбинацией волн ПВ и свободного пространства. В работе [1] рассматривались разные способы возбуждения излучающего ЭМК с емкостными двухполюсниками. При этом было установлено, что важным фактором, существенно влияющим на свойства исследуемой структуры является взаимодействие волн свободного пространства с собственными волнами нелинейного ЭМК, которые распространяются внутри него. Резкое усиление степени нелинейного взаимодействия возникает в режиме пространственного синхронизма [2] волн, распространяющихся на кратных частотах.
В работе [1] было показано, что нелинейный ЭМК в режиме пространственного синхронизма может выполнять функцию высокоэффективной нелинейной антенны. Такая антенна преобразует сигнал, поступающий из свободного пространства на основной частоте в сигнал удвоенной частоты . При этом диаграмма направленности (ДН) ЭМК в приемном режиме оказывается уже ДН линейной антенны тех же электрических размеров на частоте . Поэтому мы можем говорить об эффекте сверхнаправленности, который достигается при приеме сигналов нелинейным ЭМК.
В той же работе [1] показано, что одновременное возбуждение ЭМК волнами свободного пространства на частоте и волнами ПВ на частоте обеспечивает прием волн с одновременным их параметрическим усилением.
Явление пространственного синхронизма характерно для ЭМК, который является специфической средой, в которой могут распространяться электромагнитные волны. Поэтому излучающие ЭМК существенно отличаются от антенных решеток, нагруженных нелинейными двухполюсниками. Подобные решетки рассматривались в работах [3 - 5].
Данное исследование является развитием работы [1]. В нем будет рассматрен ЭМК с резистивно - емкостными двухполюсниками. Такой элемент может служить моделью полупроводниковых диодов, которые широко распространенны на СВЧ. Основным отличием резистивно - емкостного двухполюсника от емкостного является возможность преобразования сигнала частоты на нулевую частоту или на постоянный ток. Такой тип нелинейного преобразования известен под названием детектирование. Он широко распространен в радиотехнике. В данной работе исследуется детектирование сигналов, создаваемых волной свободного пространства, падающей на ЭМК. При этом мы предполагаем, что по постоянному току каждый нелинейный элемент связан со своей нагрузкой, в которой выделяется полезный сигнал. В этом случае эффекты, обусловленные конечной длиной ЭМК играют второстепенную роль, если он имеет достаточно большие электрические размеры. Поэтому для анализа таких структур выбрана модель в виде бесконечного по двум координатам ЭМК, которая позволяет существенно упростить решение задачи.
2. Модель нелинейного ЭМК
В этом разделе будут получены уравнения, описывающие исследуемую структуру. Схематично она показана на рис. 1. Более подробно период ЭМК показан на рис. 2. В качестве излучателя, связывающего ЭМК со свободным пространством на рис. 2 показан печатный излучатель, имеющий резонансные свойства. Излучатели связаны с цилиндрами, образующими ЭМК через отверстия в верхнем экране плоского волновода (ПВ), который образован двумя параллельными металлическими плоскостями, расположенными на расстоянии друг от друга. Металлические цилиндры радиуса имеют зазоры, в которые включены нелинейные двухполюсники.
Рис. 1. Исследуемая структура.
Рис. 2. Период исследуемой структуры.
Очевидно, что реальный ЭМК должен иметь конечные размеры по обеим координатам. Использование модели в виде бесконечной решетки оправданно тем, что для идеализированной структуры решение граничной задачи существенно упрощается. Это упрощение в линейных задачах достигается путем использования теоремы Флоке [6], позволяющей анализировать один период. Переход к анализу одного периода оправдан вследствие того, что электромагнитное поле удовлетворяет условиям квазипериодичности:
, (1)
где - фазовые постоянные, определяемые условиями возбуждения периодической структуры. В нашем случае, когда она возбуждается плоской волной свободного пространства, имеют смысл проекций волнового вектора этой волны на оси 0х и 0у соответственно:
, (2)
,
где - волновое число свободного пространства, а - углы в сферической системе координат, задающие направление распространения плоской волны. Угол , как обычно, отсчитывается от оси 0z, а угол от оси 0х.
Из соотношения (1) видно, что нам достаточно найти поле в периоде с , а в других периодах его можно найти, используя указанную формулу. Условие квазипериодичности записано для комплексных амплитуд поля. Поэтому его можно использовать в виде (1) только для линейных структур, в которых воздействие на частоте создает отклик на той же частоте. В нелинейном случае отклик имеет характер периодической функции с периодом , которую можно разложить в ряд Фурье и описать с помощью гармоник на частотах , .
Модифицируем условие квазипериодичности для нелинейной структуры:
, (3)
где под мы понимаем гармонику номера любой величины, описывающей электромагнитное поле и связанные с ним параметры: токи, напряжения и т.д. Покажем далее, что условие (3) удовлетворяется при нелинейных преобразованиях.
Для простоты считаем, что . Пусть и - гармоники напряжения и тока на нелинейных двухполюсниках, где - номер элемента решетки, определяющий его положение по оси 0х. Гармоники тока на нелинейном двухполюснике связаны с напряжением следующим образом:
, (4)
,
,
где - функция, описывающая нелинейные свойства двухполюсника, выбирается произвольно на интервале от нуля до . Подставим условие квазипериодичности для напряжений аналогичное (3) в соотношение (4):
. (5)
Осуществим замену переменной интегрирования в (5):
, (6)
.
С учетом преобразования (6) соотношение (5) приобретает следующий вид:
, (7)
.
Равенство (7) доказывает справедливость условия квазипериодичности (3) для токов и напряжений на нелинейном двухполюснике. Поскольку все остальные элементы структуры линейны, то это означает справедливость условия (3) для всей структуры в целом.
Модель излучателя возьмем в том же виде, что и в работе [1], пренебрегая взаимной связью излучателей в решетке. Указанная модель представляет излучатель в виде сосредоточенной схемы (см. рис. 3), которая включена между металлическим цилиндром и верхним экраном ПВ.
Рис. 3. Модель излучателя в виде параллельного контура.
Схема представляет собой параллельный контур вместе с источником тока, который описывает возбуждение плоской волной:
, (8)
где - коэффициент усиления излучателя, - мощность плоской волны, падающая на один период структуры. Отметим, что максимальный коэффициент усиления апертурной антенны площадью описывается соотношением [7]:
, (9)
где - длина волны в свободном пространстве. Коэффициент усиления (9) имеет площадка с равномерным распределением источников. Источник тока , соответствующий элементу решетки в виде идеальной антенны имеет следующий вид:
. (10)
Нетрудно убедиться, что максимальная мощность, которую можно передать от источника тока (10) в согласованную с ним нагрузку равна мощности плоской волны, падающей на период решетки .
Модель нелинейного двухполюсника возьмем в стандартной для СВЧ диодов форме [8]. Ее соответствует эквивалентная схема, показанная на рис. 4.
Рис. 4. Эквивалентная схема нелинейного двухполюсника.
Емкость диода зависит от напряжения на нем:
, (11)
где - напряжение пробоя.
Сопротивление диода описывается воль - амперной характеристикой:
, (12)
,
где - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура, - заряд электрона, - параметр, зависящий от типа диода, - обратный ток диода.
Важным моментом является связь диода с внешней схемой на постоянном и переменном токах.
Рис. 5. Схема включения диода на постоянном токе.
На рис. 5 показана схема включения диода на постоянном токе. Отметим, что сопротивление излучателя согласно схеме на рис. 3 обращается в нуль. Также нулевое сопротивление имеет металлический цилиндр, в который включен нелинейный двухполюсник. Связь диода с внешней схемой происходит через фильтр, который на гармониках основной частоты имеет бесконечной сопротивление и изолирует диод от сопротивления нагрузки и источника напряжения смещения . В этом случае период структуры можно представить, как показано на рис. 6.
Рис. 6. Схема периода структуры на переменном токе.
На постоянном токе фильтр имеет нулевое сопротивление и соединяет диод с нагрузкой и источником смещения.
В работах [1], [2] представлена методика вывода основного уравнения, описывающего периодическую структуру конечной длины по координате и бесконечной по координате . Приведем его для нашего случая без подробного вывода:
, (13)
где - вектор напряжений на нелинейных частях сопротивлений диодов, находящихся в элементах решетки с номерами . - вектор источников тока в тех же элементах, - диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят сопротивления контуров , моделирующих излучатели решетки, , - диагональная матрица, составленная из сопротивлений , - матрица, описывающая взаимодействие элементов решетки через волны ПВ, - вектор, в который входят нелинейные операторы, связывающие ток через диод с напряжением на его нелинейной части . Индекс показывают, что данная величина соответствует гармонике основной частоты с номером .
Уравнения (13) можно обобщить также для постоянного тока (). Однако, имеет смысл переписать его для этого случая отдельно:
, (14)
где - вектор напряжений источников смещений, - диагональная матрица, элементы которой равны .
Матрица приводится в работах [1, 2]. В явном виде она нам не потребуется далее. Отметим только, что она является матрицей Теплица, элементы которой зависят от разности индексов .
Система уравнений (13) справедлива, как отмечалось выше, для структуры конечной по оси 0х. Учтем далее ее бесконечные размеры с помощью условия (3). Для этого подставим условия квазипериодичности для напряжений в (13). При этом ограничимся случаем , который соответствует падению волны в плоскости XOZ (). Произвольный угол падения не дает нового физического содержания в нашем приближении, а его учет усложняет математические выкладки.
Описанные выше преобразования позволяют получить следующие соотношения:
, , (15)
, ,
,
,
где - комплексное сопротивление излучателя на частоте , - гармоника напряжения на нелинейной части диода в элементе решетки с нулевым номером . Для сопротивления из работ [1, 2] получаем следующее соотношение:
(16)
,
,
,
где - волновое число свободного пространства на частоте , - логарифмическая постоянная Эйлера, - постоянная, которую выбирают из условия:
. (17)
Оператор , стоящий в уравнениях (15), аналогичен интегральному оператору (4). Он выражает гармоники тока через гармоники напряжения.
Из уравнений (15) видно, что условия квазипериодичности позволили нам свести анализ структуры к анализу одного периода. Сделаем еще ряд допущений, облегчающий дальнейший анализ структуры. Считаем, что контур, описывающий излучатель достаточно добротный и настроенный на частоту , то есть на частоту падающей волны. Предположение о высокой добротности контура позволяет считать его сопротивление равным нулю для всех гармоник кроме первой. С учетом этого индекс в обозначении сопротивления излучателя можно опустить.