Департамент образования Вологодской области
БПОУ СПО «Вологодский политехнический техникум»
Индивидуальный проект по математике
«Бутылка Клейна»
Выполнил:
Студент 119 группы
Хлебников Денис Дмитриевич
Руководитель:
Зибрина Анна Юрьевна
Г. Вологда 2017
Содержание
Введение
Теоретическая часть
Практическая часть
Приложение
Введение
Актуальность: Для современных школьников математика стала одним из скучных предметов, на котором они не находят для себя ничего особо интересного.
По этому я решил написать проект по такой теме как бутылка Клейна, который поможет обучающимся понять, что в математике, кроме цифр, формул ,уравнений и так далее ,есть ещё множество и загадочных объектов, например таких ,как бутылка Клейна или лист Мебиуса, которые являются математически не ориентируемыми поверхностями.
Цель: В своём проекте я преследую такую цель:
Выяснить, существует ли полезное применение бутылки Клейна, а так же изучить её свойства.
Задачи: Рассмотреть односторонние поверхности:
- бутылка Клейна.
Сконструировать модель бутылки Клейна из бумаги.
Теоретическая часть
Научная деятельность Феликса Клейна. Биография Феликса Клейна
Феликс Христиан Клейн родился 25 апреля 1849 в Дюссельдорфе, в семье чиновника. Окончил гимназию в Дюссельдорфе, затем учился математике и физике в Боннском университете. В 1868 году Плюккер умер. Клейн совершает поездку по Германии, знакомится с Клебшем и другими крупными математиками.
В 1872 году Клейн становится профессором Эрлангенского университета.
В1882 году после серьезной болезни, начал заниматься педагогической и общественной работой. С1888 года работал в Геттингенском университете. Его лекции пользовались большим успехом, слушатели приезжали со всего мира. Умер Клейн на 76 году жизни.
1. Основные достижения Феликса Клейна
Клейн опубликовал более 20 работ по неевклидовой геометрии, теории групп Ли, теории многогранников и эллиптическим функциям. Одним из важнейших его достижений стало первое доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского. Он построил пример односторонней поверхности -- «бутылку Клейна»..
Имя Клейна носят следующие математические объекты:
· группа Клейна
· модель (интерпретация) Клейна
· бутылка (поверхность) Клейна
Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 г. немецким математиком Ф. Клейном. Это определённая не ориентируемая поверхность (то есть двумерное многообразие). Бутылка Клейна тесно связана с лентой Мёбиуса и проективной плоскостью. Название, по-видимому, происходит от своеобразной формы этой самой «бутылки».
Для бутылки Клейна нет таких понятий , как «внутри» и «снаружи», в отличие от стакана, плоскость которого резко заканчивается или воздушного шара, внутрь которого невозможно проникнуть, не пересекая поверхность.
Бутылка Клейна нашла своё применение в химии в качестве колбы для жидкости. Так же она может использоваться в качестве декора помещений.
Я считаю этого ,вполне достаточно, ведь бутылка Клейна может быть выполнена в самых различных вариантах: стеклянная, металлическая, и даже из ткани. бутылка клейн непротиворечивость плоскость
Практическая часть
Конструирование бутылки Клейна
Способ № 1 Изготовление бутылки Клейна из бумаги. Нам потребуется взять два бумажных цилиндра, один конус с прорезью под цилиндр и один бумажный круг с отверстием посередине. Соединяем цилиндр с отверстием в центре круга, затем присоединяем конус к краю круга , продев через него цилиндр. И соединяем последним цилиндром концы круга и цилиндра. Именно этим способом я и воспользовался.
Способ № 2. Изготовление бутылки Клейна из обычной пластиковой бутылки. Берём бутылку с просверленным на дне отверстием, вытягиваем горлышко, изгибая его вниз, и продевая его через отверстие в стенке бутылки, присоединяем к отверстию на дне бутылки.
Способ № 3. Изготовление бутылки Клейна из бумажного цилиндра. Первый конец цилиндра изгибаем в обратную сторону, протаскиваем сквозь цилиндр и склеиваем со вторым краем. Чтобы совершить это склеивание, нужно исказить ширину цилиндра.
Способ № 4. Получение бутылки Клейна из ткани. Можно взять кусок носка или колготок и совершить с ними те же действия, что и с цилиндром.
Способ № 5. Изготовление бутылки Клейна путём склеивания двух листов Мебиуса. Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мебиуса по краю. Однако, в простом трехмерном пространстве сделать это без самопересечения поверхностей, невозможно.
Можно ли представить себе, на что похожа поразительная "бутылка" на самом деле? Оказывается, не получится построить абсолютно правильную модель этого объекта в нашем трехмерном мире: здесь будет в любом случае наблюдаться пересечение поверхности, что полностью отсутствует в четырехмерном измерении.
Вывод: настоящая "бутылка Клейна" может существовать только в четырехмерном измерении! Допустим, мы взяли бутылку с очень длинным горлом, в донышке и в стенке бутылки есть небольшие отверстия, равные размеру горлышка. Берем бутылку за горло, изгибаем его, продеваем вплотную через боковое отверстие, дотягиваемся горлышком до отверстия в дне бутылки и совмещаем их. Вот и получилось! Где конец? Где начало? - точно сказать нельзя... У такой бутылки нет края, и ее поверхности не делится на наружную и внутреннюю!
Все вышесказанное подводит нас к мысли, что математика таит в себе много нового, неизведанного и интересного.
Библиографический список
1.М.Гарднер «Математические чудеса и тайны» «Наука» 1978 г., стр. 43 -48.
2.Е.С. Смирнова «Курс наглядной геометрии» 6 класс. «Просвещение»
2002 г.т стр. 63 - 67.
3.Современный словарь иностранных слов. «Русский язык» 1993гг, стр.
146, 468: 579, 612.
4.И.Ф. Шарыгин . Л.Н. Еранжиева «Наглядная геометрия» 5-6 класс.
«Дрофа» 2000г.; стр. 69 - 72. 5.Энциклопедия для детей «Математика».
«Аванта+»2001г., стр. 111-112.
6. Научно-исследовательская работа «Этот удивительный лист Мёбиуса»
Окунев Д.О., 2009 год.
Интернет-ресурсы:
1.http://pictoris.ru/
2. http://school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/matric/t_2.htm
3. http://www.whatisit.com.ua/index.php/other/288-2009-03-21-00-23-15
Приложение