при , так как в равенствах для полумарковского ядра управляемого полумарковского процесса нет зависимости от управления.

Устремив к бесконечности, получим переходные вероятности вложенной цепи Маркова:

Заметим, что сохраняется равенство при

Согласно терминологии, введенной в [1], состояния есть опасные состояния, а состояние - состояние катастрофы. В таком случае математическое ожидание времени до катастрофы существует и конечно [1].

Введем обозначение. Пусть - математическое ожидание времени до катастрофы при условии старта процесса из состояния

Тогда по формуле полного математического ожидания получаем систему алгебраических уравнений:

где есть математическое ожидание времени непрерывного пребывания процесса в состоянии :

Выпишем выражения для всех

Поясним выражение. Разбиваем интеграл по на два интеграла: от 0 до и от до бесконечности, выписываем подынтегральную функцию в соответствии с элементами ядра , .

Можно заметить, что в последних двух равенствах интегралы есть математическое ожидание минимума двух независимых случайных величин :

Действительно, находясь в состоянии восстановительной работы системы, мы выйдем из него, если придет атака (случится катастрофа) или восстановительная работа завершится.

Теперь вычислим математическое ожидание времени до катастрофы. Предположим, что процесс стартует из состояния что логично. Решим систему алгебраических уравнений. Для этого воспользуемся формулой Крамера. Математическое ожидание времени до катастрофы при старте из состояния , выраженное через известные характеристики, имеет вид:

Подставляя исходные характеристики, получим выражение для математического ожидания времени до катастрофы, зависящее от вероятностной меры

где

Опишем структуру функционала . Функционалы и есть линейные функционалы относительно распределения . Следовательно, - дробно-линейный функционал относительно меры .

4.3 Оптимизация функционала

Теперь стоит задача поиска такой стратегии управления системой, которая позволила бы получить оптимальное течение процессов. Будем искать оптимальное управление, на котором достигается максимум математического ожидания времени до катастрофы. - дробно-линейный функционал. Воспользуемся фактом [3], что если максимум дробно-линейного функционала существует, то он достигается на множестве вырожденных распределений. Следовательно, максимум можно искать на множестве детерминированных стратегий управления:

Тогда задача упрощается и заключается в нахождении максимума функции:

и точки экстремума, на которых достигается максимум.

Рассмотрим случай экспоненциального распределения времени безотказной работы системы. Пусть имеет экспоненциальное распределение с параметром

.

Заметим, что имеют физический смысл: это вероятности того, что на восстановлении типа не произойдет катастрофы:

причем так как в среднем аварийная восстановительная работа выполняется дольше, чем профилактика.

Заметим также, что среднее время пребывания в состояниях связано с соотношением:

Тогда математическое ожидание времени до катастрофы при выражается в следующем виде:

Если же , то выражение принимает иной вид:

Проанализируем результаты. Если не проводить профилактики (), то .

Это можно объяснить следующим образом. Если не проводить профилактик, то катастрофа наступит тогда, когда система откажет и в состоянии скрытого отказа придет атака. Таким образом, катастрофа произойдет через время . Среднее время до катастрофы .

Если , то это означает, что система постоянно находится в неработоспособном состоянии, в этом случае .

Найти значение оптимального управления, то есть такого управления, при котором достигается максимум математического ожидания до катастрофы, аналитически не представляется возможным. Подставляя различные параметры (), получил следующие результаты. Есть комбинации параметров, при которых оптимально будет не проводить восстановительных работ ().

Но существуют и такие наборы параметров, при которых оптимальным решением будет проводить предупредительные профилактики через конечное время . Для нахождения оптимальных значений при различных параметрах и построения графиков я использовал инструменты языка программирования Python: библиотеки scipy, sympy, matplotlib.

Приведу несколько графиков зависимости математического ожидания времени до катастрофы от управления при определенных параметрах. Над графиками указаны оптимальные значения управления и математического ожидания при этом оптимальном управлении:

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

4.4 Численный пример

Рассмотрим один пример поиска оптимальной стратегии управления при известных исходных данных более подробно.

Зададим следующие характеристики:

· Времени безотказной работы имеет экспоненциальное распределение . Интенсивность отказов: ;

· Интенсивность атак.

· Длительность профилактики системы имеет экспоненциальное распределение с параметром ;

· Длительность аварийного восстановления также распределена экспоненциально с параметром .

Выпишем величины - математическое ожидание времени пребывания в состоянии :

Подставляя известные значения, получаем:

Отсюда найдем величины

Тогда математическое ожидание времени до катастрофы

Ниже представлен график этой зависимости.

Рис. 8

Оптимальное время, через которое нужно производить профилактики, В этом случае среднее время до катастрофы .

4.5 Управление при неполной информации о характеристиках надежности

В реальной жизни редко, когда нам полностью известны характеристики надежности системы. Обычно в результате статистических испытаний получаем оценки неизвестных характеристик.

Надежность системы известна лишь частично. Поэтому мы знаем только часть функции распределения, в отдельных точках. Работать приходится с неполными данными и это несколько изменяет постановку задачи.

Проанализируем структуру функционала относительно распределения . Теперь он зависит не только от меры, но и от распределения Заметим, что

Последнее равенство получили, используя формулу интегрирования по частям.

Выпишем функционал относительно распределения , с учетом равенства .

Для этого преобразуем числитель и знаменатель

Учитывая, что , получаем:

Теперь выпишем :

Отсюда найдем и :

Заметим, что Поделив числитель и знаменатель выражения на , получаем:

Имеем дробно-линейный функционал относительно вероятностных мер , и распределения . Пусть нам известны значения точек - времени безотказной работы системы, полученные с помощью статистических испытаний. Это значит, что известно точек распределения и значения функции распределения в этих точках. То есть в точках

известны значения функции распределения

Обозначим множество таких распределений как

Для справедливы соотношения:

Сформулируем математическую задачу. Будем считать, что (принадлежит множеству распределений). Необходимо определить оптимальное распределение , которое определяет периодичности проведения восстановительных работ. В условиях неполноты информации применяют минимаксных подход, что дает гарантированное значение среднего времени до катастрофы [3]. Обозначим через множество распределений положительных случайных величин. Тогда задача состоит в том, чтобы найти

а также экстремальные распределения и , на которых достигается максимум.

Приступим к решению данной задачи. Будем искать минимум по при фиксированном . Воспользуемся следующим результатом [3]. Минимум дробно-линейного функционала

по , если он существует, достигается на множестве ступенчатых функций которые в каждом из полуинтервалов имеют не более одного скачка. То есть

Оптимальную точку () найти не представляется возможным, поскольку она зависит от распределения . Применим еще одну теорему. Пусть функция не убывает по для любого , а функция не возрастает по для любого . Тогда при фиксированном минимум по дробно-линейного функционала достигается на мажорирующем распределении [3]:

где для любого . Отсюда можно сделать следующее заключение. Если на множестве найдется распределение , которое мажорирует любое распределение из этого множества, то минимум будет достигаться на этом мажорирующем распределении.

Итак, находим, что также является дробно-линейным функционалом относительно меры Возвращаясь к нашей задаче, отметим, что в пространстве ) существует мажорирующее распределение

. У такого распределения скачки расположены в крайних левых точках каждого из интервалов . Максимум по распределению ищем среди детерминированных стратегий [3]. Таким образом, имеем равенство:

Функция не убывает по при любом , не возрастает по переменной для любого . Получаем,

Таким образом, восстановительные работы необходимо проводить через время . В таком случае последнее равенство дает гарантированное значение математического ожидания времени до катастрофы.

Заключение

В данном работе была рассмотрена математическая модель безопасности системы. С помощью теории управляемых случайных процессов удалось выявить закономерность между характеристикой безопасности (математическое ожидание времени до катастрофы) и показателями надежности системы.

Получено, что в случае экспоненциального распределения времени безотказной работы системы при определенных значениях параметров проводить профилактики нужно через конечное время. Для доказательства этого были приведены результаты вычислений, получившиеся при выполнении программы на языке программирования Python. Также проанализирован случай неполной информации о надежности системы.

Список литературы

1. Каштанов В. А., Зайцева О. Б. О минимаксных подходах в задачах безопасности. // Труды Карельского научного центра РАН. 2013. № 1. Вып. 4. С. 55-67.

2. Каштанов В. А. Элементы теории случайных процессов. Учебное пособие. М: Московский государственный институт электроники и математики, 2010. 113с.

3. Барзилович Е. Ю., Каштанов В. А. Организация и обслуживание при ограниченной информации о надежности системы. // Советское радио, 1975. 136 c.

4. Каштанов В. А., Длиннова Е. С. Об одной математической модели безопасности. // Труды Карельского научного центра РАН 2016. № 8. С. 34-44.

5. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д., Математические методы в теории надежности: Основные характеристики надежности и их статистический анализ. // Изд.2-е, испр. и доп. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2017.

6. Каштанов В. А., Медведев А. И. Теория надежности сложных систем (теория и практика). // «Европейский центр по качеству». Москва, 2002. 470с.

7. Каштанов В. А., Зайцева О. Б. Исследование операций. Линейное программирование и стохастические модели. Учебник. // Изд.: Курс, 2016. ISBN: 978-5-906818-78-2

Приложение

Текст программы

from sympy import *

from scipy.optimize import *

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

%matplotlib inline l = Symbol('l')

u = Symbol('u')

y = Symbol('y')

t = Symbol('t')

m1 = Symbol('m1')

m2 = Symbol('m2')

p01 = Symbol('p01')

p02 = Symbol('p02')

m0 = Symbol('m0')

a1 = Symbol('a1')

a2 = Symbol('a2')

l = 1 # mu

m = 2 # lambda

a1 = 3/4

a2 = 2/3

m0 = integrate(exp(-m*t) + exp(-l*t) * integrate(exp(l*y)*m*exp(-m*y),(y,0,t)),(t,0,u))

m1 = (1 - a1)/l

m2 = (1-a2)/l

p01 = exp(-m*u)

p02 = exp(-l*u) * integrate(exp(l*y)*m*exp(-m*y),(y,0,u))

mm = (m0 + m1*p01 + m2*p02)/(1-p01*a1-p02*a2)

p = plotting.plot(mm,(u,0,2),title='u = 0.29, M = 1.70', xlabel='u',ylabel='M(u)',show = False)

for n, line in enumerate(p, 2):

line.label = '$\lambda$={}\n$\mu$={}\na1={}\na2={}'.format(l,m,a1,a2)

p.legend=True

p.show()

limit(mm,u,np.inf)