Самарский государственный технический университет
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ НА ОСНОВЕ ОБРАТНЫХ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
В.Я. Купер, М.Г. Рубцов
Аннотация
В статье рассматриваются методы повышения точности измерений на основе обратных математических моделей измерительного канала, в качестве которых используются интерполяционные полиномы Лагранжа. Анализируются вопросы, связанные с применением таких моделей в методах образцовых сигналов и в тестовых методах повышения точности.
Ключевые слова: точность измерений, измерительный канал, интерполяционный полином, методы образцовых сигналов, тестовые методы повышения точности.
Основная часть
Широкое применение компьютеров и микропроцессоров в составе современных измерительных приборов и систем делает все более перспективным использование алгоритмических методов повышения точности измерений. К таким методам относятся методы образцовых сигналов и тестовые методы, в основе которых лежит идентификация функции преобразования средства измерений в процессе выполнения цикла специально организованных измерений [1, 2]. Для решения задачи идентификации измерительный канал прибора или системы представляется в виде функциональной модели
,
где - входная величина; - выходная величина; - параметры математической модели.
Наиболее часто в качестве математической модели функции преобразования применяют степенной полином
, (1)
где - порядок полинома.
При этом количество используемых для идентификации образцовых величин или тестов не меньше (+1).
В методе образцовых сигналов, используя результаты преобразования образцовых величин, вычисляют оценки параметров , а затем решают уравнение (1) относительно искомой величины .
В тестовых методах результаты преобразования тестов не позволяют непосредственно оценить параметры . Можно лишь получить зависимости этих параметров от результатов преобразований тестов и их функционального представления [2]. Подставив эти зависимости в (1), получают алгебраическое уравнение с одним неизвестным . Порядок этого уравнения не меньше и зависит от используемого набора тестов.
Таким образом, в случае применения модели (1) и в методах образцовых сигналов, и в тестовых методах для нахождения оценки значения измеряемой величины необходимо решить уравнение, порядок которого не меньше порядка используемой модели. В связи с этим в практике применялись, главным образом, линейные и кусочно-линейные модели, изредка - модели второго порядка, что ограничивало достижимую точность измерений. измерительный компьютер микропроцессор прибор
В данной статье рассматриваются методы повышения точности измерений на основе обратных интерполяционных моделей, свободные от указанного недостатка.
Обратная математическая модель измерительного канала может быть представлена с помощью интерполяционной формулы Лагранжа:
, (2)
где - значение измеряемой величины; - значение выходной величины измерительного канала, соответствующее значению на его входе; - номер узла интерполяции; - порядок интерполяционного полинома;
- многочлен Лагранжа; (3)
- значения выходной величины в узлах интерполяции; - значения входной величины измерительного канала в -ом узле интерполяции.
- это известные значения входной величины в случае подачи образцовых воздействий или известные функции в случае формирования тестов на входе измерительного канала. В практике чаще всего применяются линейные тесты. В связи с этим предположим, что - линейные функции:
, (4)
где и - постоянные и известные параметры -го воздействия на входе измерительного канала.
Функции (4) позволяют с единых позиций рассматривать как методы образцовых сигналов, так и тестовые методы повышения точности. При этом возможны следующие ситуации:
1) ? 0; =0. В этом случае на вход подается образцовое воздействие, формируемое с помощью меры, значение которого равно ;
2) ? 0; =1, т.е. = +. В этом случае на входе формируется аддитивный тест, в котором образцовая «добавка» равна ;
3) = 0; ?0;?1, т.е. = . В этом случае на входе формируется мультипликативный тест;
4) ? 0; ?0;?1. В этом случае формируется комбинированный тест, содержащий аддитивную и мультипликативную составляющие.
Подставив формулу (4) в (2) и решив полученное линейное уравнение относительно с учетом (3), получим формулу для вычисления искомого значения измеряемой величины:
. (5)
Формула (5) является единой расчетной формулой как для методов образцовых сигналов, так и для тестовых методов повышения точности. При этом следует иметь в виду, что общее количество измерений равно (+2) и включает в себя одно измерение непосредственно и (+1) измерение образцовых величин или тестов.
Методы образцовых сигналов. Предположим, что для повышения точности используются образцовые сигналы, а обратный интерполяционный полином имеет порядок , т.е. ? 0; =0 для всех = 0, 1, 2, …,. Тогда формула (5) примет вид
. (6)
Так, например, для обратной интерполяционной модели второго порядка (=2) получим:
где
; (7)
; (8)
.
Таким образом, в данном примере выполняются последовательно четыре измерения: измеряемой величины и трех образцовых величин . Соответствующие результаты измерений обозначены . Оценка значения измеряемой величины вычисляется по формуле (7) и не зависит от параметров функции преобразования измерительного канала, что и обеспечивает повышение точности измерений.
Следует отметить, что точность полученного по формуле (7) результата определяется, главным образом, погрешностями образцовых величин , случайными погрешностями значений и отклонением используемой обратной интерполяционной модели от реальной функции преобразования измерительного канала.
Алгоритм (7) был использован в комплексной геофизической аппаратуре для повышения точности канала измерения удельной электропроводности жидкости, что обеспечило относительную погрешность измерений не более 0,1% в широком диапазоне температур и измеряемых электропроводностей.
Тестовые методы. Допустим, что используются только линейные тесты - аддитивные и мультипликативные. Тогда оценка значения измеряемой величины вычисляется по формуле (5). Рассмотрим возможность реализации алгоритма повышения точности в случае применения тестов только одного типа.
Пусть формируются только аддитивные тесты, т.е. ?0; =1; =+ для всех = 0, 1, 2, …,. Тогда формула (5) примет вид
. (9)
Учитывая, что , получим . Следовательно, применение только аддитивных тестов не позволяет решить задачу.
Пусть формируются только мультипликативные тесты, т.е. = 0; ?0;?1, = для всех = 0, 1, 2, …,. Тогда формула (5) превращается в тождество . Следовательно, применение только мультипликативных тестов также не позволяет решить задачу. Таким образом, в общее число (+1) формируемых тестов должны входить и аддитивные, и мультипликативные тесты.
В известных тестовых методах, основанных на применении прямой модели функции преобразования, изменение соотношения между количеством аддитивных и мультипликативных тестов меняет порядок уравнения, из которого вычисляется значение измеряемой величины, и минимальный его порядок имеет место в том случае, когда используется один тест одного типа, а все остальные - другого [2].
В рассматриваемых методах, основанных на применении обратной интерполяционной модели, соотношение между количеством аддитивных и мультипликативных тестов не имеет принципиального значения, а значение измеряемой величины при использовании линейных тестов всегда вычисляется путем решения линейного уравнения.
В качестве примера рассмотрим тестовый алгоритм для обратной интерполяционной модели второго порядка (=2). В этом случае число используемых тестов равно трем, следовательно, необходимо сформировать два аддитивных и один мультипликативный тест или два мультипликативных и один аддитивный.
Допустим, что формируются два аддитивных и один мультипликативный тест. При этом необходимо выполнить четыре измерения величин , +, +, ·. Здесь +, + - аддитивные тесты (?; ==1), · - мультипликативный тест (=0; ?0;?1). Результаты указанных четырех измерений равны соответственно .
Подставив параметры трестов в формулу (5), получим
, (10)
где определяются формулами (9).
Точность вычисленного по формуле (10) результата определяется, главным образом, погрешностями параметров тестов ,, случайными погрешностями значений и отклонением используемой обратной интерполяционной модели от реальной функции преобразования измерительного канала.
В том случае, если формируются два мультипликативных и один аддитивный тесты, необходимо выполнить четыре измерения величин , +, , . Здесь + - аддитивный тест (=1), , - мультипликативные тесты (=0; ?0; ?1; ?0; ?1). Результаты указанных четырех измерений равны соответственно .
Подставив параметры тестов в формулу (5), получим
, (11)
где определяются формулами (8).
Таким образом, применение обратных интерполяционных моделей измерительного канала позволяет в методах образцовых сигналов и тестовых методах повышения точности измерений существенно упростить алгоритмы обработки измерительной информации и анализ погрешностей результатов измерений. При использовании образцовых сигналов или линейных тестов (аддитивных и мультипликативных) оценка значения измеряемой величины вычисляется путем решения линейного уравнения при любом порядке интерполяционного полинома.
Библиографический список
Куликовский К.Л., Купер В.Я. Методы и средства измерений: Учеб. пособие для вузов. М.: Энергоатомиздат, 1986. 448 с.
Бромберг Э.М., Куликовский К.Л. Тестовые методы повышения точности измерений. М.: Энергия, 1978. 176 с.