АКСИОМЫ И ПОСТУЛАТЫ В ТОЧНЫХ НАУКАХ
Канарев Ф.М.
Учитывая интерес наших читателей к понятию «Аксиома», на котором базируется истинность исходных научных утверждений, представим обобщённую информацию по роли этого понятия в точных науках.
Научные понятия «Аксиома» и «Постулат» появились давно. Они были представлены ещё в III веке до нашей эры в геометрии Евлклида, но без определений сущностей, которые он заложил в эти понятия. Исаак Ньютон также базировал свои доказательства, используя эти понятия, и также не дал им определения. Впоследствии эти понятия широко использовались математиками и физиками. Они придавали этим понятиям исторически сложившийся смыл, который никем не был определён.
Евклид в своих «Началах» даёт определения тем понятиям, которые он использовал при формулировке постулатов и аксиом. Мы не будем приводить все эти определения, но перечислим ряд понятий, которые он определил [1].
На первом месте знаменитое определение понятия «точка». «Точка есть то, что не имеет частей». Далее приводятся определения понятий: линия, прямая линия, поверхность, угол и определения понятий о различных геометрических фигурах. После этого Евклид приводит постулаты, не определяя само понятие «постулат» [1].
«Постулаты
Допустим:
1. Что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
2. И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. И что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.
4. (Акс. 10) И что все прямые углы равны между собой.
5. (Акс. 11) И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».
Пятый постулат (Акс. 11) - главный предмет спора ученых [2].
Дальше идет заголовок [1]
«Общие понятия
(Аксиомы)
1. Равные одному и тому же, равны между собой.
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.
5. И удвоенные одного и того же равны между собой.
6. И половины одного и того же равны между собой.
7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8. И целое больше части.
9. И две прямые не содержат пространства».
Трудно поверить, но это так. Приведенная информация является фундаментом всех точных наук. Обратим внимание на четвертый постулат. В скобках он значится, как десятая аксиома, а пятый - как одиннадцатая. Нам не известно, почему четвертое и пятое постулированные утверждения отнесены к аксиомам. Или надо полагать, что их можно считать одновременно и постулатами и аксиомами. Конечно, если бы Евклид определил понятия «Постулат» и «Аксиома», то четвертый и пятый постулаты могли бы оказаться в списке аксиом.
Известны споры ученых о корректности формулировки пятого постулата Евклида [2]. Они явились следствием отсутствия определений понятий «постулат» и «аксиома». Последующие определения этих понятий уже не приобрели в сознании ученых ту значимость, которая была бы им придана, если бы они были в «Началах Евклида». Тем не менее, мы должны относиться к этому недостатку как естественному, не ущемляющему гениальность Евклида [1], [3], [4].
Спустя около двух тысяч лет после Евклида, появились гениальные «Математические начала натуральной философии» Исаака Ньютона [5], [6]. Он, также, как и Евклид, уделил большое внимание определению новых понятий, на которых базируются его законы. Его «Математические начала» начинаются с заголовка [5]
«Определения
Определение 1.
Количество материи (масса) есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объему её» [5].
Далее, Ньютон определяет понятия «количество движения», «врожденная сила», «приложенная сила», «центростремительная сила» и др.
После этого Ньютон описывает свое понимание абсолютного пространства и абсолютного времени, не придавая свойствам сущностей, которые заключены в этих понятиях, аксиоматического смысла. Самые главные его идеи изложены под заголовком [5]: «Аксиомы или законы движения».
«Закон 1. Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние».
Поставив закон равномерного прямолинейного движения, которое всегда является следствием ускоренного движения, на первое место, он поставил следствие впереди причины, нарушив причинно-следственные связи между разными фазами движения тел, что автоматически породило противоречия в совокупности его законов, которые оставались незамеченными более 300 лет. Исправление этих противоречий привело к рождению новой совокупности законов, описывающих ускоренное, равномерное и замедленное механические движения тел. В результате бывшая динамика Ньютона получила новое название «Механодинамика» [7].
«Закон 2. Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует». Этот закон также получил уточнение, учитывающее интенсивность изменения количества движения, рождающую явление удара и формирующую ударную силу.
«Закон 3. Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе - взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны». Этот закон остался без изменений, но получил другой порядковый номер - 4.
Далее, Исаак Ньютон формулирует следствия, вытекающие из этих законов. Перечисленные законы касаются механического движения тел. После этих законов было открыто еще много других законов, которые описывают электрические, магнитные, электромагнитные и другие свойства тел, газов, жидкостей и различных физических явлений и процессов.
Анализируя постулаты Евклида и аксиомы или законы Ньютона, замечаем, что они первыми придали большое значение необходимости определения тех понятий, которыми они пользовались. Сделано это было для того, чтобы добиться однообразия в понимании сущности этих понятий, так как без этого невозможно взаимопонимание.
Далее, следует обратить внимание на то, что основополагающие понятия, которые легли в основу всех остальных доказательств, Евклид разделил на два класса: постулаты и аксиомы. Из его «Начал» трудно заключить, какими принципами он руководствовался, относя одни утверждения к классу постулатов, а другие - к классу аксиом. Нет этого разъяснения и у Ньютона. Он сразу назвал свои законы аксиомами.
Последователи Евклида и Ньютона также не придали значимости этому моменту, поэтому процесс отнесения основополагающих научных утверждений к классу аксиом или к классу постулатов принял хаотический характер. Каждый ученый, не имея четкого критерия при оценке сущности своих основополагающих научных утверждений, относил их или к классу постулатов, или к классу аксиом. Сложившаяся ситуация использования этих понятий отразилась в Словаре русского языка [8] и в Советском энциклопедическом словаре [9].
В Словаре русского языка понятия «Аксиома» и «Постулат» представлены следующим образом [8].
Аксиома - положение, принимаемое без доказательств в качестве исходного положения, или, как неоспоримая истина - совершенно очевидное утверждение.
Постулат - исходное положение, принимаемое без доказательств.
В Советском энциклопедическом словаре понятия «Аксиома» и «Постулат» представлены так [9]:
Аксиома - положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности, истинное исходное положение теории.
Постулат - утверждение, принимаемое в рамках какой-либо научной теории за истинное, хотя и недоказуемое её следствиями, и поэтому играющее в ней роль аксиомы.
Итак, главное, что следует из приведённых определений понятий «Аксиома» и «Постулат» - отсутствие однозначности этих определений и схожесть функций, реализация которых приписана этим понятиям.
Мы не будем останавливаться на использовании понятий «Аксиома» и «Постулат» другими учёными, а представим определения этих понятий, которые мы сделали впервые в своих научных трудах [10], [11], [12].
Аксиома - очевидное утверждение, не требующее экспериментальной проверки и не имеющее исключений.
Постулат - неочевидное утверждение, для доказательства достоверности которого требуется экспериментальная проверка.
Окончательную формулировку понятия «Аксиома» и «Постулат» приняли в последних изданиях нашей монографии [13].
Отметим ещё одну особенность совокупности научных утверждений, которые относятся к аксиомам и постулатам, - ранжированность (уровень значимости в научных исследованиях) их в реальной действительности, независимой от человека. Это необходимо для формирования правильных представлений о методах поиска начала любой научной проблемы при её анализе. До этого не было четкого представления о том, что для усиления значимости различных аксиом в научном поиске необходимо ранжировать их по уровню общности и важности. Создается впечатление, что мы осознали это лишь тогда, когда признаки кризиса теоретической физики предельно обнажились. Мы не сможем преодолеть его, если не наведем порядок в основополагающих научных понятиях, которыми мы пользуемся.
Задача, которую необходимо решить, не из простых. Прежде всего, надо найти её начало. Без этого мы не сможем систематизировать наши основополагающие научные утверждения и установить их полноту. Сейчас мы увидим, что начинать надо с анализа сущности главных свойств научных понятий, которыми мы пользуемся. Эта область исследований относится к теории познания. С неё и начнем [14].
2. Определение понятий, характеризующих первичные элементы мироздания
Процесс познания родился, видимо, тогда, когда из отдельных человеческих звуков стали создаваться слова, которые привели к формированию в памяти образов, соответствующих смысловому содержанию этих слов. Постепенно круг предметов и явлений, заключенных в словесные оболочки, расширялся. Сейчас человек пользуется таким большим количеством слов, в которые вложено настолько разнообразное содержание, что одинаковое понимание смысла этого содержания превратилось в одну из сложнейших проблем общения между людьми, в том числе и между учеными [15], [16].
Любое знание формируется нашим мозгом, поэтому теория познания тесно связана с процессом нашего мышления. Основой мышления является процесс связи понятий в логические структуры, формирующие наши представления о познаваемом объекте. Следовательно, точность нашего знания зависит от точности используемых понятий и полноты отражения познаваемой сущности с помощью этих понятий.
Точность понятий, которыми мы пользуемся, определяется их смысловой ёмкостью. Чем меньше смысловая ёмкость понятия, тем оно точнее отражает сущность, заключенную в этом понятии, и тем однообразнее она понимается теми, кто пользуется этим понятием. Например, понятие «точка» одно из малоёмких понятий, поэтому оно вызывает примерно одинаковые представления почти у всех, кто пользуется этим понятием, и не формирует разногласий в понимании сути этого понятия.
Сравним малоёмкое понятие «точка» с безбрежно ёмким понятием «познание». Очевидно, что оно формирует у разных людей разную смысловую сущность и разную смысловую ёмкость процесса познания. Например, познание смысла жизни, познание счастья, микромира, Вселенной, познание правил арифметики, познание вкуса пищи человеком или животным и т.д.
Невозможно дать такое определение понятию «познание», которое отражало бы все возможные или мыслимые варианты этого процесса. Следовательно, это понятие формирует у того, кто им пользуется, сугубо личные представления о сути процесса познания.
Таким образом, в голове у каждого человека своя смысловая ёмкость каждого понятия. С учетом этой ёмкости он и судит о достоверности того или иного суждения.
Разная смысловая ёмкость одних и тех же понятий у разных людей и является главной преградой на пути точной передачи и точного восприятия информации. Из этого следует, что сложность познания увеличивается с увеличением смысловой ёмкости используемых понятий, потому что с увеличением смысловой емкости понятия растут трудности с его однозначным определением.
Возьмем, например, понятие «счастье» и попытаемся дать ему определение. Мы сразу видим, что сделать это невозможно, так как оно тесно связано с чувственным восприятием человеком окружающего его мира. Потерявший дорогую вещь чувствует себя несчастным. Нашедший эту вещь - счастливым. Мы не будем касаться здесь проблемы невозможности логического обоснования норм морали, но отметим, что непонимание влияния морали на поведение человека - источник всех его бед и проблем человечества в целом.
Самой точной наукой считается математика и это не удивительно, так как она пользуется самыми малоёмкими понятиями, которые поддаются более или менее точному определению. Например, понятия: единица, ноль, два, три, точка, линия, плоскость, угол, треугольник, и т.д. не только легко определить, но и легко связать их с числами, которые потом автоматически входят в математические зависимости, описывающие различные характеристики сущностей этих понятий.