Материал: Sb95798

К свободному торцу стержня последовательно приложим растягивающую силу , скручивающий момент и изгибающий момент Накоп-

ленная в стержне потенциальная энергия упругой деформации численно равна работе каждой из этих внешних сил:

Рассмотрим производные от энергии упругой деформации по соответствующей обобщающей силе:

Производная от энергии упругой деформации по обобщенной силе равна перемещению, соответствующему этой силе по линии действия силы.

Эта закономерность в общем виде была установлена Кастильяно и сформулирована им в качестве теоремы.

Рассмотрим общий случай нагружения упругого тела. Пусть оно закреплено так, что при нагружении невозможно его смещение как жесткого целого. Тело испытывает деформацию под действием обобщенных сил . Энергию упругой деформации выразим функцией этой группы

сил: . Если одной из внешних сил, например, придать небольшое приращение, то энергия упругой деформации возрастет:

Возьмем другой случай. Допустим, сначала была приложена бесконечно малая сила , вызывающая бесконечно малое перемещение. Работой силы

можно пренебречь как бесконечно малой величиной второго порядка по сравнению с работой приложенных затем сил . Потенциальная энергия упругой деформации, вызванной этими силами, по-прежнему равна

22

котором малая сила , приложенная вначале, совершит работу . Тогда накопленная потенциальная энергия.

Потенциальная энергия деформации не зависит от порядка, в котором прикладываются силы, поэтомуи, следовательно,

откуда

Сформулируем теорему Кастильяно:

Частная производная от потенциальной энергии упругой деформации по обобщенной силе равна обобщенному перемещению точки приложения силы по направлению силы.

Под перемещением в заданном направлении понимают проекцию полного перемещения на заданное направление. Перемещение точки приложения силы по направлению силы – это проекция на направление силы полного перемещения этой точки.

4.3.1. Расчет перемещений в точке узла конструкции при ускорении 5g, действующем вдоль оси конструкции

Рассмотрим стержень (рис. 4.5), который подвергается деформации рас- тяжения-сжатия. Перемещение определяется по формуле

23

Значение рассчитывается для каждого грузового участка исходя

из данных о реальной конструкции. Например, рассмотрим третий грузовой участок. На этом участке схема состоит из двух элементов (см. рис. 4.1, а), расположенных параллельно. Следовательно, приведенное значение

Аналогично находятся значения и для остальных участков.

4.3.2. Расчет перемещений в точке узла конструкции при ускорении 5g, действующем по нормали к оси конструкции

Рассмотрим стержень (рис. 4.6), который подвергается деформации плоскопоперечного изгиба. При этом виде деформации возникает линейное перемещение по обобщенной силе

и угловое перемещение (угол поворота)

Для определения перемещения крайней правой точки стержня необходимо записать выражения для изгибающего момента на каждом грузовом участке,

продифференцировать их по силе для линейного пе-

Рис. 4.6

ремещения и по для угла поворота, а затем найти значения перемещений на каждом участке.

Значение рассчитывается для каждого грузового участка исходя

из данных о реальной конструкции. Для третьего грузового участка, состоящего из двух элементов (см. рис. 4.2, а), расположенных параллельно:

24

причем осевой момент инерции рассчитывается отдельно для каждого

элемента внутри этого участка.

Аналогично находятся значения для остальных участков.

4.4. Определение низшей частоты собственных колебаний корпуса прибора

При эксплуатации приборы подвергаются динамическим воздействиям: ударам, за малый промежуток времени изменяющим скорости точек тела на конечное значение, и вибрациям, механическим колебаниям. Под колебаниями понимают движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени.

Вибропрочность электронных приборов и устройств приобрела особое значение, как только эти приборы стали частью автоматизированных систем, применяемых в промышленности и на транспорте. Вредные, не являющиеся необходимым условием выполнения конструкцией своих функций, вибрации возникают из-за несовершенства конструкции, дефектов в ее элементах или особых условий действия и эксплуатации, например из-за несбалансированности деталей. Вибрации приводят к разрушению деталей и ослаблению зажимов и винтовых соединений. Если упругую систему вывести из равновесия, то силы упругости системы в новом положении уже не будут уравновешиваться и возникнут колебания.

При построении расчетной схемы наиболее легкие элементы конструкции можно считать безмассовыми, безынерционными деформируемыми связями.

Конструкция может быть описана системой с одной (рис. 4.7, а), двумя (рис. 4.7, б) или большим числом степеней свободы. Под числом степеней свободы понимают число независимых параметров, однозначно определяющих положение системы в данный момент времени. Любая конструкция содержит бесконечное число материальных точек и, следовательно, имеет бесконечное число степеней свободы. Стержень с распределенной массой представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы (рис. 4.7, в).

25