Материал: Larin_Anton_8383_cm_21_7

Цель работы.

Изучение и сравнение различных методов численного интегрирования на примере составных формул прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Основные теоретические положения.

Пусть требуется найти определенный интеграл = ∫ ( ) , где функция

( ) непрерывна на отрезке [ , ]. Для приближенного вычисления интегралов чаще всего подынтегральную функцию заменяют «близкой» ей вспомогательной функцией, интеграл от которой вычисляется аналитически. За приближенное значение интеграла принимают значение интеграла от вспомогательной функции. Заменим функцию на отрезке [ , ] её значением в середине отрезка.

Искомый интеграл, равный площади криволинейной фигуры, заменяется на площадь прямоугольника. Из геометрических соображений нетрудно записать формулу прямоугольников:

Если же приблизить подынтегральную функцию параболой, проходящей

через точки ( , ( )), ( +2 , ( +2 )) , ( , ( )), то получим формулу Симпсона (парабол):

Все три формулы хорошо иллюстрируются геометрически и представлены на рис. 1.

2

Рисунок 1 – Геометрическая интерпретация формул прямоугольников,

трапеций и Симпсона

Для повышения точности интегрирования применяют составные формулы. Для этого разбивают отрезок [ , ] на четное = 2 число отрезков длины = − и на каждом из отрезков длины 2 применяют соответствующую формулу. Таким образом получают составные формулы прямоугольников,

трапеций и Симпсона.

3 ≈ − 1804 ∫ ( ) = (4),

где 1, 2, 3 – остаточные члены. Оценки остаточных членов получены в предположении, что соответствующие производные ( ) непрерывны на [ , ].

При → ∞ приближенные значения интегралов для всех трех формул (в

предположении отсутствия погрешностей округления) стремятся к точному значению интеграла. Любая попытка сравнить достоинства приведенных формул связана с вопросом типа «что больше 2 ′′( ) или 4 ′′′( )?» Ответ зависит от свойств интегрируемой функции. Можно лишь утверждать, что остаточный член формулы прямоугольников примерно вдвое меньше, чем формулы трапеций, и оба они имеют порядок 2. А остаточный член формулы Симпсона убывает быстрее – со скоростью 4.

Для практической оценки погрешности квадратурной можно использовать правило Рунге. Для этого проводят вычисления на сетках с шагом и /2,

получают приближенные значения интеграла и /2 за окончательные значения интеграла принимают величины:

/2 + /2− – для формулы прямоугольников;

3

/2 − /2− – для формулы трапеций;

3

/2 − /2− – для формулы Симпсона.

15

При этом за погрешность приближённого значения интеграла принимается

величина | /2− |, причём для формул прямоугольников и трапеций = 2, для

2 −1

формулы Симпсона = 4. Такую оценку погрешностей применяют обычно для построения адаптивных алгоритмов, т.е. таких алгоритмов, которые автоматически так определяют величину шага , что результат удовлетворяет требуемой точности.

Постановка задачи.

Используя квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона, вычислить значения заданного интеграла и, применив правило Рунге,

4

найти наименьшее значение (наибольшее значение шага ), при котором каждая из указанных формул дает приближенное значение интеграла с погрешностью , не превышающей заданную. Порядок выполнения раобты следующий:

Составить подпрограмму-функцию F для вычисления подынтегральной функции.

Составить подпрограммы-функции RECT, TRAP, SIMPS для вычисления интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона соответственно.

Составить головную программу, содержащую оценку по Рунге погрешности каждой из перечисленных ранее квадратурных формул,

удваивающих до тех пор, пока погрешность не станет меньше , и

осуществляющих печать результатов значения интеграла и значения для каждой формулы.

Провести вычисления по программе, добиваясь, чтобы результат удовлетворял требуемой точности.

Выполнение работы.

Вычислим интеграл:

∫ √ −2

/2

Для нахождения значения определенного интеграла численными методами была составлена функция, вычисляющая подынтегральное выражение, а также три функции, вычисляющие интеграл методом численного интегрирования.

График подынтегральной функции ( ) с отмеченными пределами интегрирования представлен на рис. 2.

5