Материал: Larin_Anton_8383_cm_21_4

Цель работы.

Формирование практических навыков нахождения корней алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд.

Основные теоретические положения.

Пусть найден отрезок [ , ], на котором функция меняет знак. Для определенности положим ( ) > 0, ( ) < 0. В методе хорд процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения ( ) = 0

принимаются значения 0, 1, … точек пересечения хорды с осью абсцисс, как это показано на рис. 1.

Рисунок 1 – Графическая демонстрация метода хорд

Для точки пересечения ее с осью абсцисс ( = 0, = 0) получается уравнение

−0 = − ( ) − ( ) ( )

Далее сравниваются знаки величин ( ) и ( 0) и для рассматриваемого случая оказывается, что корень находится в интервале ( , 0), так как ( ) ( 0) < 0.

Отрезок [ 0, ] отбрасывается. Следующая итерации состоит в определении нового приближения 1 как точки пересечения хорды 1 с осью абсцисс и т.д.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значение ( ) не станет

2

по модулю меньше заданного числа . Алгоритмы методов бисекции и хорд похожи, однако метод хорд в ряде случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса, причем успех его применения, как и метода бисекции,

гарантирован.

Постановка задачи.

Используя программы-функции HORDA и Round из файла methods.cpp (файл заголовков metods.h), найти корень уравнения ( ) = 0 заданной точностью методом хорд, исследовать скорость сходимости и обусловленность метода. Порядок выполнения работы следующий:

1.Графически или аналитически отделить корень уравнения ( ) = 0, т.е.

найти отрезки [ , ], на которых функция ( ) удовлетворяет условиям применимости метода.

2.Составить подпрограмму-функцию вычисления функции ( ),

предусмотрев округление значений функции с заданной точностью delta

с использованием программы Round.

3. Составить головную программу, вычисляющую корень уравнения

( ) = 0 и содержащую обращение к подпрограмме F, HORDA, Round и

индикацию результатов.

4.Провести вычисления по программе. Теоретически и экспериментально исследовать скорость сходимости и обусловленность метода.

Отделим графическим методом корни уравнения, т.е. найдем отрезки

[Left, Right], на которых функция удовлетворяет условиям теоремы Больцано-

Коши. По графику на рис. 2 видно что корень принадлежит отрезку [0.5, 1] и

функция на его концах принимает разные знаки.

3

Рисунок 2 – Локализация корня функции ( )

Проведем вычисление корня функции ( ) при помощи программы,

приведенной в приложении А. Программа вычисляет корень уравнения методом хорд. На вход ей подаются следующие параметры: eps – требуемая точность вычисления корня, delta – погрешность вычисления значений функции, a, b –

отрезок [ , ], локализующий корень. В табл. 1 приведены расчеты корня при различных значениях eps, и представлены значения количества итераций.

Таблица 1 – Расчет корня методом хорд с варьированием значения

4

Теперь, имея приближение корня и зная экспериментальное значение скорость сходимости метода, сравним его с методом бисекции. Из проведенного ранее исследования известно, что порядок сходимости метода бисекции линеен.

Из значения количества итераций видно, что метод хорд сходится со скоростью геометрической прогрессии.

В табл. 2 приведено сравнение методов хорд и бисекции для расчета корня.

- корень, высчитанный по методу хорд. - корень, высчитанный по методу бисекции. – количество итераций, затраченное на приближение корня методом хорд. – количество итераций, затраченное на приближение корня методом хорд.

Выводы.

Проанализировав результаты применения метода хорд, можно сказать, что при расчете данной функции он дает хорошие результаты, и сходится за малое число итераций, которое соответствует теоретическому значению порядка

Проанализировав данные вычислительного эксперимента по двум методам: хорд и бисекции, можно сделать вывод, что для данной функции метод хорд сходится быстрее и несмотря на одинаковый порядок сходимости имеет преимущество перед методом бисекции. Согласно результатам эксперимента,

количество итераций необходимое на для нахождения корня данной функции меньше или равно количеству итераций, необходимому на расчет корна методом бисекции, и в отдельных случаях оказывается меньше его в три и более раз.

5