Материал: Laboratornaya_rabota_41

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра нефтехимии и химической технологии

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4

РАЗРАБОТКА СТОХАСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В ФОРМЕ УРАВНЕИЯ РЕГРЕССИИ В ПАССИВНОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ

Вариант №1

Выполнил Гиллязова А.А.

Проверил проф. Самойлов Н. А.

УФА 2007

Цель работы:

• рассмотреть принципы разработки стохастической модели на примере конкретной задачи;

• выполнить расчет коэффициентов уравнения регрессии;

• оценить адекватность полученного уравнения регрессии исходному эксперименту;

• закрепить методологию компьютерной обработки табличных материалов по алгоритму прямой задачи.

Исходные данные.

Вариант №1

Зависимость плотности жидкости ρ от температуры t для ацетона приведена в таблице 1. Предложить форму уравнения регрессии ρ=f(t) и рассчитать коэффициенты уравнения регрессии.

Таблица 1 Исходные данные

Теоретическая часть.

Математическая стохастическая модель часто выражается уравнением регрессии, формально связывающим параметр выхода Y с параметрами входа Х_i. Обычно уравнение регрессии для многопараметрической задачи типа

Y=f(X₁,X₂,X₃,…,X_K) (4.1)

имеет вид полинома, включающего свободный член уравнения В₀, линейные члены В_i и X_i, квадратичные члены В_ii и Х_i² (а при необходимости также слагаемые и более высоких порядков – третьей, четвертой и т.д. ступеней), а также коэффициенты взаимодействия: парные B_ijX_iX_j, тройные B_ijZX_iX_jX_Z, четверные B_ijZMX_iX_jX_ZX_M, и т.д. вплоть до эффекта взаимодействия всех К параметров системы В₁₂₃…_КХ₁Х₂Х₃…Х_к:

Ŷ=В₀+В₁Х₁+В₂Х₂+…+В_КХ_К+B₁₂X₁X₂+B₁₃X₁X₃+B₂₃X₂X₃+…+В₁₂₃…_КХ₁Х₂Х₃…Х_к+

+В₁₁Х₁²+В₂₂Х₂²+…+В_ККХ_К²+В₁₁₁Х₁³+В₂₂₂Х₂³+…+В_КККХ_К³+… (4.2)

Коэффициенты В уравнения регрессии по своей сущности являются соответствующими выражениями при переменных Х при разложении в ряд Тейлора непрерывной и дифференцируемой функции (4.1), заданной в неявном виде:

Ŷ=В₀+(dY/dX₁)Х₁+(dY/dX₂)Х₂+…+(dY/dX_K)Х_К+(d²Y/(dX₁dX₂))X₁X₂+

+(d²Y/(dX₁dX₃))X₁X₃+(d²Y/(dX₂dX₃))X₂X₃+…+(d^KY/dX₁dX₂…dX_K)Х₁Х₂Х₃…Х_к+

+(d²Y/dX₁²)Х₁²+(d²Y/dX₂²)Х₂²+…+(d²Y/dX_K²)Х_К²+(d³Y/dX₁³)Х₁³+

+(d³Y/dX₂³)Х₂³+…+(d³Y/dX_K³)Х_К³+… (4.3)

Расчет коэффициентов В уравнения (4.2) выполняется по методу наименьших квадратов из условия минимизации функции Ф:

_i=N

Ф=∑(Ŷ₁-Y₂)²=min, (4.4)

ⁱ⁼¹

где N – объем выборки (число опытных точек);

Ŷ₁ и Y₂ – соответственно экспериментальный результат и итог расчета задачи по уравнению регрессии (4.2) в i-ой точке.

В соответствии с условием минимума функции Ф (первые производные функции Ф по всем коэффициентам В в точке минимума равны нулю) коэффициенты В уравнения (4.2) рассчитывают в результате решения соответствующей системы линейных уравнений, имеющей в общем случае вид:

Качество разработанного уравнения регрессии, его адекватность, то есть проверка, насколько приемлемо уравнение описывает реальный процесс, можно оценить по критерию Фишера F, который рассчитывается по соотношению двух дисперсий:

F=σ²_У/σ²_ОСТ, (4.4)

где σ²_У – дисперсия опытных данных относительно средней величины параметра Y по всему объему эксперимента

_i=N

σ²_У=∑(Y₁-Ỹ)²/(N-1), (4.5)

ⁱ⁼¹

где средняя величина Ỹ рассчитывается как

_i=N

Ỹ=∑Y_i/N, (4.6)

ⁱ⁼¹

где Y_i – результат эксперимента;

а σ²_ОСТ – остаточная дисперсия – эквивалент средней квадратичной погрешности расчета по уравнению регрессии по сравнению с экспериментом.

_i=N

σ²_ОСТ=∑(Y_i-Ŷ_i)²/(N-L), (4.7)

ⁱ⁼¹

где Ŷ_i – результат расчета по уравнению регрессии,

L – число коэффициентов В в уравнении регрессии.

N-L и N-1 являются числами степеней свободы для дисперсии соответственно σ²_ОСТ и σ²_У.

Расчетное значение критерия Фишера F сравнивают с табличным значением F_табл. Чем больше величина F превышает F_табл, тем выше уровень адекватности уравнения регрессии. Если F<F_табл, то уравнение регрессии неадекватно и не может быть использовано для расчетов.

Ход работы.

Работа выполняется в следующей последовательности:

1. Обосновывается вид уравнения регрессии по заданному варианту массива экспериментальных данных. Первоначально построим графическую зависимость плотности ацетона от температуры.

Рисунок 2. Графическая зависимость плотности ацетона от температуры.

Как видно из рисунка 2, заданная зависимость близка к линейной. Следовательно, можно сделать предположение, что уравнение регрессии в общем виде следующее:

Ŷ_i=A+B*X_i.

2. Формируется для задачи функция наименьших квадратов. Основывается на условии минимизации функции Ф.

Для уравнения регрессии первой степени:

_i=N

Ф=∑(A+B*X_i-Y₂)²=min,

ⁱ⁼¹

3. Разработка системы нормальных линейных уравнений для расчета коэффициентов уравнения регрессии. Для этого необходимо найти частные производные функции Ф по коэффициентам уравнения регрессии.

Для уравнения регрессии линейного вида

_i=N

dФ/dА=2*∑(A+B*X_i-Y₂)=0,

ⁱ⁼¹

_i=N

dФ/dВ=2*Х_i*∑(A+B*X_i-Y₂)=0,

ⁱ⁼¹

4. Разработка алгоритма расчета коэффициентов уравнения регрессии. Для нахождения коэффициентов уравнения регрессии необходимо первоначально рассчитать следующие значения:

- сумму параметров Х;

- сумму квадратов параметров Х;

- сумму параметров У;

- сумму произведений параметров Х и У;

Далее подставив соответствующие значения в систему уравнений для нахождения коэффициентов уравнения регрессии, решаем ее. Наиболее простым методом расчета системы линейных уравнений является метод Гаусса, который заключается в обнулении множителей при соответствующим неизвестным.

5. Далее формируется блок-схема решения задачи.

Рисунок 3. Блок-схема решения задачи

6. Следующим этапом является составление программы для расчета коэффициентов уравнения регрессии. В программу входит расчет критерия Фишера по уравнениям (4.6) – (4.9), таблица значений критерия Фишера. Это необходимо для оценки адекватности полученного уравнения регрессии.

Программа последовательно рассчитывает коэффициенты линейного уравнения регрессии, рассчитывается критерий Фишера, если не выполняется условие адекватности, то необходимо рассчитать коэффициенты уравнения регрессии второй степени, также рассчитывается критерий Фишера и выполняется определение адекватности уравнения регрессии второй степени.

Программа автоматически выводит вид уравнения регрессии первой степени, с численными значениями коэффициентов уравнения регрессии.

program lab4;

uses crt;

const n=8;

ro:array [1..8] of real=(835,813,791,768,746,719,693,665);

t:array [1..8] of real=(-20,0,20,40,60,80,100,120);

fisher:array [1..8,1..8] of real=((161,200,216,225,230,234,237,239),

(18.5,19,19.1,19.2,19.3,19.3,19.3,19.3),

(10.1,9.55,9.28,9.12,9.01,8.94,8.88,8.84),

(7.71,6.94,6.59,6.39,6.26,6.16,6.09,6.04),

(6.61,5.79,5.41,5.19,5.05,4.95,4.88,4.82),

(5.99,5.14,4.76,4.53,4.39,4.28,4.21,4.15),

(5.59,4.74,4.35,4.12,3.97,3.87,3.79,3.73),

(5.32,4.46,4.07,3.84,3.69,3.58,3.5,3.44));

var s0,s1,s2,s3,a,b,f,sy,so,ysr:real;

yr:array [1..8] of real;

i:integer;

begin

clrscr;

s0:=0; s1:=0; s2:=0; s3:=0;

for i:=1 to n do

begin

s0:=s0+t[i];

s1:=s1+sqr(t[i]);

s2:=s2+ro[i];

s3:=s3+t[i]*ro[i];

end;

b:=(n*s3-s0*s2)/(n*s1-s0*s0);

a:=(s2-s0*b)/n;

writeln('============================================');

writeln(' Линейное уравнение регрессии');

writeln('============================================');

writeln('Уравнение имеет следующий вид: у=',a:5:3,'+(',b:6:5,')*x');

ysr:=s2/n;

for i:=1 to n do

begin

sy:=sy+sqr(ro[i]-ysr)/(n-1);

end;

writeln('Средняя величина ysr=',ysr:8:3);

writeln('Дисперсия опятных данных sy=',sy:8:3);

writeln('Результаты расчета по уравнению регрессии');

writeln('--------------------------------------------');

writeln(' n yr');

writeln('--------------------------------------------');

for i:=1 to n do

begin

yr[i]:=a+b*t[i];

writeln(' ',i,' ',yr[i]:8:4);

end;

for i:=1 to n do

begin

so:=so+sqr(ro[i]-yr[i])/(n-2);

end;

writeln('Остаточная дисперсия so=',so:8:4);

f:=sy/so;

writeln('Рассчетный критерий Фишера f=',f:8:3);

writeln('Табличный критерий Фишера fo=',fisher[n-2,n-1]:8:3);

if f>fisher[n-2,n-1] then writeln('Модель адекватна')

else writeln('Модель не адекватна');

readln;

end.

Таблица 2 Список идентификаторов.

7. Следующим этапом является получение результатов по программе расчета.

Результаты расчета.

Линейное уравнение регрессии

Уравнение имеет следующий вид у=814,107-1,20714*х

Средняя величина ysr=753,750

Дисперсия опытных данных sy=3505,357

Результаты расчета по уравнению регрессии

n yr

1 838,25

2 814,11

3 789,96

4 765,82

5 741,68

6 717,54

7 693,39

8 669,25

Остаточная дисперсия so=9,4405

Расчетный критерий Фишера f=371,311

Табличный критерий Фишера f0=4,210

Модель адекватна

Как видно из полученных результатов, уравнение регрессии первой степени удовлетворяет условию адекватности в исследуемом интервале температур.

Анализ полученных результатов.

В результате расчета получено следующее уравнение регрессии:

у=814,107-1,20714*х.

Уравнение удовлетворяет условию адекватности, то есть критерий Фишера, который получен в результате исследования второго уравнения принимает значение большее, чем критерий Фишера данный в справочной литературе.

_i=N

σ²_У=∑(Y₁-Ỹ)²/(N-1)=3505,357,

ⁱ⁼¹

_i=N

Ỹ=∑Y_i/N=753,750, ⁱ⁼¹

_i=N

σ²_ОСТ=∑(Y_i-Ŷ_i)²/(N-L)=9,4405,

ⁱ⁼¹

F=σ²_У/σ²_ОСТ=3505,357/9,4405=371,311.

Критерий Фишера заданный в таблице при числе степеней свободы для большей дисперсии (σ²_У) N-1=8-1=7, и для числа степеней свободы меньшей дисперсии (σ²_ОСТ) N-L=8-1=6, составляет F0=4,210

Как видно, F>F0: 371,311>4,210. Следовательно, полученное уравнение регрессии первой степени адекватно.

Таблица 3. Результаты расчета.