Материал: 864

первого порядка, которое можно решить с помощью замены z uv. Подставив это выражение в (3.7), получим

Приравниваем выражение в скобках к нулю: xv v 0,

находим функцию v:

Подставляя функцию v в (3.8), находим u:

xu 1 du dx u ln x lnC1 u lnC1x . x

Обобщим рассмотренный случай для уравнения n-го порядка

вида

F(x,z,z ) 0.

Решаем далее дифференциальное уравнение первого порядка, найдем функцию z(x), после чего, интегрируя (n 1) раз, найдем функцию y.

Пример 16. Решить дифференциальное уравнение y (y )2. Решение. Сделаем замену y z, тогда получим уравнение пер-

вого порядка относительно функции z(x):

dz z2. dx

Разделим переменные и проинтегрируем:

21

Возвращаемся к первоначальной переменной:

y 1 . x C1

Последовательно интегрируя, получаем y ln(x C1) C2;

y (x C1)ln(x C1) x C1 C2x C3; y (x C1)ln(x C1) x(1 C2) C1 C3.

Здесь можно заменить (1+С2) на С2, а (С1+С3) на С3, тогда общее решение примет вид

y (x C1) ln(x C1) C2x C3.

Решить дифференциальные уравнения. Найти частное решение (частный интеграл), если даны начальные условия.

3.5.x2 y (y )2.

3.6.2xy y (y )2 1.

3.7.xy y 1 x.

3.8.xy(4) y ex.

3.9.(1 x2)y 2xy 0; y(0) 0; y (0) 3.

не содержит в явном виде переменную x, за новое независимое переменное берем y , а за неизвестную функцию возьмем y p(y), тогда

уравнение (3.10) приводится к уравнению первого порядка относительно функции p(y): F(y, p, p ) 0.

Пример 17. Найти частное решение дифференциального урав-

22

Решение. Уравнение не содержит в явном виде переменную x, поэтому делаем замену (3.11). После замены данное уравнение будет уравнением первого порядка относительно функции p(y):

23

Решить дифференциальные уравнения. Найти частное решение (частный интеграл), если даны начальные условия.

3.11.yy (y )2 0.

3.12.y3y 1; y(1) 1; y (1) 1.

22

3.13.y (y )2 y (y 1) 0; y(0) 2; y (0) 2.

3.3.Линейные дифференциальные уравнения

спостоянными коэффициентами

Уравнение вида

где коэффициенты p1, p2,..., pn 1, pn постоянные (действительные) числа; f (x) непрерывная на (a,b) функция; x независимая переменная; y(x) искомая функция, называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением или уравнением с правой частью.

Если f (x) 0, то уравнение (3.15) принимает вид

и называется однородным линейным дифференциальным уравнением.

Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения (3.16) имеет вид

где y1(x), y2(x),...,yn(x) n линейно независимых частных решений однородного уравнения (3.16); С1,С2,...,Сn произвольные постоянные.

Система функцийy1(x), y2(x),...,yn(x)называется линейно зави-

Если тождество (3.18) имеет место только тогда, когда

1 2 ... n 0,

24

то система функций y1(x), y2(x),...,yn(x) называется линейно незави-

симой.

Пример 18. Функции

1,x,x2,...,xn

линейно независимы в интервале ( , ), а также в любом конечном интервале. Допустив противное, получили бы равенство

0 1x 2x2 ... nxn 0

для всех рассматриваемых значений x и не всех , равных нулю. Однако написанное равенство есть алгебраическое уравнение степени n, которое имеет ровно n корней, поэтому может быть справедливым не более как для n значений x.

sin2 x cos2 x 1 0.

Определителем Вронского (вронскианом) для системы функций y1(x), y2(x),...,yn(x), имеющих непрерывные производные до порядка (n 1) включительно, называется определитель вида

В частности, вронскиан для системы двух функций y1(x) и y2(x) есть определитель второго порядка:

Справедливо утверждение: для того, чтобы система функций y1(x), y2(x),...,yn(x) была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского, составленный для этих функций, был не равен нулю.

25