Материал: 8. Текстовые задачи

§8. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ Текстовые задачи классифицируют по следующим типам: задачи “на проценты”; задачи “на работу”; задачи “на дви- жение”; задачи “на смеси” и “ на сплавы”. Эти задачи обычно решают по следующей схеме: выбирают неизвестные; записывают связи между известными и неизвестными величинами в виде уравнений или неравенств, откуда и находят искомые величины. Ниже на ряде примеров показано, как это делается. Задачи “на проценты” Процентом данного числа называется его сотая часть: 1 % от числа равен . Следует помнить, что выражение показывает: сколько процентов от числа составляет число . Пример 1. После двух последовательных повышений зарплата увеличилась в раза. На сколько процентов повысилась зарплата в первый раз, если второе повышение по коли- честву процентов было вдвое больше, чем первое ? Решение. Пусть первоначальная зарплата была равна руб. После первого повышения на % она составила руб.; после второго повышения на % она составила: , т.е. руб. Поэтому, , откуда получаем: ; . Ответ: 25.

71

Пример 2. Цена товара снижена на 40 %, а зарплата дваж-ды увеличивалась на 20 %. На сколько процентов больше

можно купить товара после снижения цен и повышения зарплаты? Решение. Пусть первоначальная зарплата – руб., а руб. – цена условной единицы товара. Количество куплен- ного товара составит условных единиц. После снижения цен условная единица товара стоит руб. Зарплата после пер- вого повышения составит руб., а после второго повышения – руб. Тогда количество товара, которое можно купить на эти деньги, равно , что составляет от перво- начального.

Ответ: . Пример 3. Длину кирпича увеличили на 25 %, ширину на 30 %, а высоту уменьшили на 40 %. На сколько процентов уменьшился объем кирпича ?

Решение. Пусть первоначальные длина, ширина и высота кирпича были равны, соответственно, , , . Тогда  первоначальный объем кирпича. Объем кирпича после изменения его размеров :

.

.

Ответ: .

Задачи “на движение” Пример 4. Поезд прошёл 1/4 расстояния АВ, равного 240 км, и был задержан на 36 минут. Затем он увеличил скорость на 10 км/ч и пришёл в пункт В по расписанию. Найти первоначальную скорость поезда (км/ч ).

72

Решение. Пусть км/ч – первоначальная скорость поезда. Задержку в 36 минут ( 3/5 часа) поезд ликвидировал на расстоянии км, проезжая со скорость км/ч. Следовательно, , откуда (км/ч).

Ответ: 50 Пример 5. Велосипедист проехал 96 км на два часа быст- рее, чем предполагал. При этом за каждый час он проезжал на 1 км больше, чем ранее предполагал проезжать за 1 ч 15 мин. С какой скоростью (км/ч) он ехал ? Решение. Пусть велосипедист ехал со скоростью км/ч, а ранее предполагаемая скорость – км/ч. . Из условий задачи можно составить уравнения: откуда получаем, что (км/ч).

Ответ: .

Пример 6. Пловец плыл против течения реки. У первого моста он потерял пустую флягу. Проплыв ещё 20 минут против течения реки, он заметил свою потерю и вернулся, чтобы догнать флягу. Найти скорость (км/ч) течения реки, если пловец догнал флягу у второго моста, а расстояние между мостами равно 2 км. Решение. Пусть км/ч – скорость течения реки, км/ч – скорость пловца в стоячей воде. 20 мин. = ч.

73

км – расстояние, пройденное пловцом от первого моста до места обнаружения пропажи. ч – время, которое пловец плыл по течению. Из условия задачи можно составить уравнение: , откуда ; (км/ч).

Ответ: 3. Задачи “на работу “ Пример 7. Токарь должен был изготовить 450 деталей за определенный срок. Перевыполняя ежедневно норму на 10 деталей, он изготовил 480 деталей за 3 дня до срока. Сколько деталей составляла ежедневная норма? Решение. Пусть ежедневная норма составляла деталей. Тогда – количество дней, необходимых для выполнения работы. В действительности токарь работал дней с производительностью деталей в день и изготовил 480 деталей. Следовательно, , откуда получаем: . Ответ: 30. Пример 8. Два каменщика сложили вместе стену за 20 часов. За сколько часов выполнил бы эту работу первый камен-

74

щик в отдельности, если ему пришлось бы работать на 9 часов больше второго? Решение. Объем работы примем за единицу; ч – время, за которое первый каменщик выполняет всю работу в отдельнос-ти, – производительность первого рабочего. Тогда ч – время, за которое второй каменщик выполняет всю работу в отдельности, – его производительность. Производительность совместной работы каменщиков равна сумме их производительностей. Следовательно, , откуда получаем: . Корни этого уравнения: . Значение не подходит по условию задачи. Поэтому, .

Ответ: 45. Задачи “на смеси” и “на сплавы” Пример 9. Сколько граммов воды нужно выпарить из 600 г 4 % - ого раствора поваренной соли, чтобы получить 5 % - ый раствор соли?

Решение. В 600 г 4 %-ого раствора соли содержится (г ) соли. Положим, что из раствора нужно выпарить г воды. Масса полученного 5 % -ого раствора рав- на г, а количество соли в этом растворе – . Следовательно, , т.е. , откуда .

Ответ: 120. Пример 10. Имеется лом стали двух сортов, причем первый сорт содержит 10 % никеля, а второй  30 %. На сколько тонн больше нужно взять лома стали второго сорта, чем первого, чтобы получить 200 тонн стали с содержанием никеля 25 % ?

75

Решение. Пусть надо взять тонн лома стали первого сорта и тонн лома стали второго сорта. Тогда

Отсюда: , .

.

Ответ: .

Пример 11. Имеются два слитка золота и серебра; в одном количество этих металлов находится в отношении 2 : 3, в другом – в отношении 3 : 7. Сколько килограммов каждого сплава нужно взять, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5 : 11 ?

Решение. Положим, что надо взять кг первого сплава. Тогда в нём будет содержаться к г золота, а в кг второго сплава золота будет кг. По условию в 8 кг нового сплава должно содержаться золота кг. Следовательно, . Отсюда находим (кг). Ответ: 1 кг первого сплава, 7 кг второго сплава.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. На ковер повысили цену на 10 %, а затем еще на 15 %. На

сколько процентов больше стал стоить ковер после двух

повышений цены? (Ответ: 26,5) 2. При изготовлении в день по 324 детали план будет перевы-

полнен на 8 %. Сколько деталей нужно изготовить в день, чтобы перевыполнить план на 14 %? (Ответ: 342) 3. Магазином продано в первый день 50 % поступившего то-

76

вара, а во второй день – 25 % остатка. Сколько процентов

поступившего товара было продано за два дня? (Ответ: 62,5)

4. Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие  20%. Сколько

килограммов сухих фруктов получится из 40 кг свежих

фруктов? (Ответ: 14)

5. Аквариум частично заполнен водой. За месяц 40% воды ис-

парилось. При этом объем воздуха увеличился на 60%.

Сколько процентов объема аквариума занимала вода в конце

месяца ? (Ответ: 36)

6. Из двух сплавов, первый из которых имеет массу 12 кг и

содержит 70 % серебра, а второй 56 % серебра, получили

сплав, содержащий 60 % серебра. Найти массу второго

сплава (кг). (Ответ: 30) 7. Смешали 5 л сливок 35 %-ной жирности с 4 л сливок 20 %-ной жирности и к смеси добавили 1 л чистой воды.

Какова жирность (в %) полученной смеси? (Ответ: 25,5) 8. В сосуде находился 15% - ый раствор соли. Из сосуда отли-

ли содержимого, а оставшуюся часть долили водой так,

что сосуд оказался заполненным на первоначального объ-

ема. Найти процентное содержание соли в полученном

растворе. (Ответ: 8)

9. Два станка работали по 4 часа, причем за это время на пер-

вом станке было изготовлено на 16 деталей больше, чем на втором. Определить количество деталей, изготовленных на

первом станке, если известно, что на изготовление одной де-

тали первому станку требуется времени на 4 минуты мень-

ше, чем второму. (Ответ: 40) 10. Для перевозки 90 тонн груза было затребовано некоторое количество машин. В связи с тем, что на каждую машину

погрузили на 0,5 тонны меньше, чем предполагалось, до-

77

полнительно было затребовано 6 машин. Сколько машин

было затребовано первоначально ? (Ответ: 30)