Материал: 751

(1.13) ãäå (Ð) — поле в точке наблюдения Ð; S — замкнутая поверхность, окружающая источник; n — внешняя нормаль к поверхности S; k 2 / — волновое число; — длина волны;S — поле на поверхности S; R — расстояние от точки Ð до точек поверхности S.

Формула Кирхгофа не учитывает векторный характер электромагнитного поля и поэтому является приближенной. Позднее были получены векторные аналоги формулы Кирхгофа [3, 6, 7]. Однако и в таком виде она находит широкое применение, так как позволяет объяснить и рассчитать многие эффекты, связанные с распространением радиоволн.

Построение, предложенное Френелем, позволяет наглядно истолковать принцип Гюйгенса, определить размеры и конфигурацию области, существенной для распространения радиоволн, не прибегая к вычислению интеграла в (1.13) [1–3].

Пусть в точке À помещен источник, а в точке Â — приемная антенна. Причем расстояние ÀÂ много больше длины волны. Пусть на некотором расстоянии 0 от точки À помещена бесконечная плоскость S, перпендикулярная к линии ÀÂ (ðèñ. 1.2), à r0 — расстояние от плоскости S до при¸мника (точки B).

Рис. 1.2. Построение зон Френеля на плоскости

Эту плоскость выберем в качестве поверхности, на которой рассматриваются вторичные источники. Разобьем плоскость S на зоны Френеля. Границы зон Френеля определяются равенствами

1 6 1. Распространение радиоволн в свободном пространстве

1 r1 0 r0 2;

2 r2 0 r0 2 2;

(1.14)

...............................

n rn 0 r0 n 2.

Таким образом, первая зона Френеля — круг радиуса R1, вторая — поверхность между окружностями с радиусами R1 è

R2 R1

R3

1-ÿ çîíà

Рис. 1.3. Зоны Френеля в плоскости S

Мы использовали условие R1/ 0 << 1. Аналогично

R2

r1 r0 1 . (1.16) 2r0

Подставляя (1.15) и (1.16) в первое уравнение системы (1.14), получим

Отсюда радиус первой зоны Френеля

Аналогично внешний радиус зоны любого номера будет

R n r 0 0 . (1.19)

n

r0 0

Площадь первой зоны

S1 R12 r0 0 .

r0 0

Площадь n-é çîíû

Таким образом, площади всех зон Френеля одинаковы и равны

Sô r0 0 .

r0 0

Построим границы зон Френеля в плоскости распространения волны. Для этого будем перемещать плоскость S вдоль линии ÀÂ (ðèñ. 1.4).

Рис. 1.4. Пространственные зоны Френеля

Для любого положения этой плоскости будут справедливы равенства, описывающие границу данной зоны Френеля:

Равенства (1.21) описывают эллипсы с полюсами в точках À è Â, где расположены излучатель и при¸мник. Следовательно, в пространстве первая зона Френеля представляет собой эллипсоид вращения с осью вращения — линией АВ. Зоны высших номеров — часть пространства между соседними

эллипсоидами вращения. Таким образом, если мы ограничи- ваемся конечным числом зон, конфигурация области, существенной при распространении радиоволн, — это эллипсоид вращения с полюсами в точках расположения излучателя и при¸мника.

Посмотрим теперь, все ли зоны Френеля необходимо учи- тывать в результирующем поле. Вернемся к системе уравнений (1.14). Согласно этим равенствам вторичные источники, расположенные на границах двух соседних зон, излучают волны, приходящие в точку наблюдения в противофазе. Найдем суммарное поле, обусловленное всеми зонами Френеля.

В практике распространения радиоволн расстояние между излучателем и точкой наблюдения всегда велико по сравнению с длиной волны, т.е. всегда интересуются полем в дальней зоне. Следовательно, всегда выполняется условие 0 r0 1. Будем считать, что также выполняется условие 0 1; r0 1.

При этих условиях, при переходе от одной зоны к другой, амплитуда колебаний каждого элемента площади Sn меняется незначительно. Ещ¸ меньше меняется амплитуда колебаний при перемещениях в пределах одной зоны. Разделим каждую зону Френеля на некоторое число равных по площади колец. При этом волны, создаваемые каждым кольцом, почти не будут отличаться по амплитуде друг от друга, но будут отличаться по фазе. Например, при делении первой зоны на четыре кольца фазы колебаний источников двух соседних колец будут отличаться на 45°. Суммирование векторов напряженностей поля в пределах первой зоны для этого случая можно изобразить так, как они изображены на рис. 1.5,à.

Рис. 1.5. Суммирование векторов напряженности электрического поля

Результирующий вектор волны от вторичных источников второй зоны E2 будет направлен противоположно вектору E1 (ðèñ. 1.5,á). Он будет короче вследствие увеличения расстояния и r (см. рис. 1.2). Результирующий вектор E3 (ðèñ. 1.5,â) будет меньше по длине E2 и направлен противоположно последнему. Таким образом, результирующую напряженность поля, создаваемого всеми n зонами Френеля, можно представить в виде знакопеременного ряда

E E1 E2 E3 E4 .....( 1)n 1 En. Поскольку соседние члены ряда мало отличаются друг от

друга, каждый член ряда можно считать равным среднему арифметическому из двух соседних:

Ряд (1.22) сходящийся. При n величины в каждой из скобок близки к нулю и результирующая напряженность поля стремится к половине значения напряженности поля, создаваемого первой зоной:

E E1 . 2

Такой результат обусловлен тем, что поля, создаваемые зонами высших номеров, взаимно компенсируются.

Таким образом, получаем важный вывод: результирующее поле в точке наблюдения в основном созда¸тся волнами вторичных излучателей, расположенных в пределах первых нескольких зон Френеля. Вклад остальных зон Френеля в силу быстрой сходимости ряда пренебрежимо мал.

Из проведенного анализа можно сделать вывод о том, что существует область пространства, существенно участвующая в распространении радиоволн. Эта область ограничена эллипсоидом вращения, соответствующим внешней границе пространственной зоны Френеля с небольшим номером.