Материал: 6593

121

лицу

0000 → 0000000, 0001 → 0001111,...,1111 →1111111.

Пример 4.3.5. Для кода Хэмминга, определяемого проверочной матрицей H, построенного в примере 4.3.4, декодировать принятый вектор 1011001.

Решение. Для принятого вектора b=1011001 по формуле (4.3.6) вычисляем синдром

Синдром с≠0, т.е. имеет место ошибка. В случае одиночной ошибки (и только лишь) вычисленное значение синдрома всегда совпадает с одним из столбцов матрицы Н, причем номер столбца указывает номер искаженного символа. Видим, что ошибка произошла в первом символе и передавался вектор

a = 0011001.

ЗАДАЧИ

4.3.1. Составить кодовую таблицу, определить кодовое расстояние и вычислить минимальное значение избыточности 3-разрядного двоичного кода, удовлетворяющего требованиям:

а) код содержит максимальное количество кодовых слов; б) код обнаруживает все однократные ошибки; в) код исправляет все однократные ошибки.

Построить геометрические модели полученных кодов.

4.3.2.Дать правило построения простейшего кода, обнаруживающего все ошибки нечетной кратности.

4.3.3.Показать, что векторы

V1 = 10111, V2 = 01011,V3 - = 01110

линейно независимы, а векторы

U1=10001, U2=10011, U3=0110

ортогональны векторам VI.

4.3.4. Найти все кодовые векторы для линейного блочного кода, заданного порождающей матрицей

123

б) закодировать информационную последовательность, заданную в виде десятичного числа х = 7.

4.3.9. Систематический (n, k) код задан производящей матрицей

1000011 G = 01001010010110 0001111

Декодировать принятый вектор 0111011 методами минимального расстояния и вычисления синдрома.

4.3.10. Кодирующее устройство отображает последовательность информационных символов простого равномерного кода 00, 01, 10, 11 в последовательность кодовых векторов 00000, 01101, 10111, 11010, принадлежащих корректирующему коду:

а) показать, что полученный код является систематическим. Выразить каждый символ кодового слова в виде линейной комбинации информационных символов;

б) найти для этого кода производящую и проверочную матрицы;

в) привести таблицу декодирования (вычисления синдрома) для случая q = 1.

4.3.11. Построить код Хэмминга, заданный параметрами dкод = 3, r = 4, без приведения матрицы Н к каноническому виду. Декодировать принимаемый вектор

b=110101010101010.

4.3.12.Код Рида—Малера задан параметрами m = 3 и δ =1. Закодировать десятичное число х = 11.

4.3.13.Построить код Рида–Малера с параметрами m = 4 и

δ= 2 для информационной последовательности х = 10101100111.

4.3.14.Составить схему кодирующего устройства для (8,4)- кода Рида–Малера.

4.3.15.Какому коду принадлежит проверочная матрица

4.3.16. Представленное на рис. 4.3.2 устройство используется для кодирования символов при передаче по двоичному симметричному каналу.

Рис. 4.3.2

В положении ключа 1 на вход подается информационная последовательность 1010, через 4 шага информационные символы занимают все ячейки регистра. Ключ К переводится положение 2, замыкая цепь обратной связи, и регистр совершает еще 7 шагов, причем при каждом шаге на выходе появляется очередной символ кодового вектора. Убедиться в том, что этот код принадлежит циклическому, и записать проверочную матрицу.

4.3.17. После кодирования линейным блочным кодом сигнал с выхода стационарного источника передается по стационарному двоичному симметричному каналу без памяти. Вероятность ошибки в канале равна 0,04. Найти минимальное отношение числа проверочных символов к числу информационных, необходимое для того, чтобы вероятность ошибки про декодирования была пренебрежимо мала.

4.3.18. Определить кодовое расстояние для кода, если комбинации в кодовой таблице – это сдвинутые во времени не более

125

чем на период отрезки бесконечной M-последовательности, формируемой генератором, содержащим 3-разрядный двоичный регистр сдвига.

4.3.19. Построить ряд распределения для расстояния между двумя комбинациями кода Хэмминга (7,4), если одна из них (опорная) – это комбинация 0000000, а другая взята наугад. Проверить, изменится ли он, если в качестве опорной взять другую комбинацию.

4.3.20. Проводится каскадное кодирование, при этом первый этап – это кодирование кодом Хэмминга (7,4), а на втором этапе полученные семь символов кодируются кодом с проверкой на четность. Указать какой-то другой из известных кодов, эквивалентный полученному коду, то есть для которого основные параметры имеют те же значения.

4.3.21. Для передачи в двоичном симметричном канале с вероятностью ошибки 5·10–3 применяется код Хэмминга (31,26). Определить битовую вероятность ошибки на выходе, если:

а) используется идеальный канал переспроса; б) канал переспроса отсутствует.

4.3.22. Построить систему ортогональных двоичных сигналов для n = 8. Для той же длины ко мбинаций записать систему биортогональных сигналов. В обоих случаях найти кодовое расстояние.

4.3.23.Комбинация, закодированная кодом Хэмминга с

0 0 0 1 1 1 1

проверочной матрицей H = 0 1 1 0 0 1 1 , на входе приемни-

1 0 1 0 1 0 1

ка имеет вид 1 1 1 X 0 X 0, где буквой X обозначены стертые символы, а вероятность того, что остальные символы приняты верно, очень велика. Восстановить значения стертых символов.

4.3.24. Передача осуществляется в двоичном симметричном канале с независимыми ошибками, битовая вероятность ошибки р = 10–5. Таков же канал переспроса, но ро = 10–7. Найти вероятность правильного декодирования кодовой комбинации, если в прямом канале применен простейший код с проверкой на четность (n = 100).