Материал: 5

0.4167 ≤ 0.4286, следовательно, x₁ и x₂ равны:

x₁ = 0.1667

x₂ = 0.25

2. 2.4y₁+1.8y₂+3y₃+3.4y₄ ≤ 1

2.6y₁+2.8y₂+2y₃+1.8y₄ ≤ 1

Z(y) = y₁+y₂+y₃+y₄ → max

Решим данную систему с помощью excel, результат решения представлен на рисунке 3.

Рисунок 3 – Результат решения.

Цена игры:

g = = = 2,3998

Оптимальная смешанная стратегия игрока 1:

p1 = 2.4*0.16667 = 0.4

p2 = 2.4*0.25 = 0.6

Оптимальная смешанная стратегия игрока 2:

q2 = 2.4*0 = 0

q3 = 2.4*0.20833 = 0.5

q4 = 2.4*0.20833 = 0.5

q5 = 2.4*0 = 0

Ответ:

Цена игры: y = 2.4, векторы стратегии игроков: Q(0, 0, 0.5, 0.5, 0), P(0.4, 0.6, 0)

Проверка в Excel:

Рисунок 4 – Параметры поиска решений

Рисунок 5 – Результат поиска решения

Рисунок 6 – Параметры поиска решений

Рисунок 7 – Результат поиска решения

4. Метод Брауна-Робинсона

Игроки	B1	B2	B3	a = min(Ai)
A1	1	0	-1	-1
A2	1	-1	2	-1
A3	0	2	-4	-4
b = max(Bj)	1	2	2

Пусть на первом этапе выбрана стратегия А1. Минимальный элемент для нее равен -1 и находится под номером j=3. Следовательно, игрок 2 выбирает стратегию В3. Максимальный элемент для стратегии В3 равен 2 и находится под номером i=2. Следовательно, игрок 1 выбирает стратегию А2.

Дальнейшие расчёты представлены в таблице.

k	i	B1	B2	B3	j	A1	A2	A3	Vmin	Vmax	Vср
1	1	1	0	-1	3	-1	2	-4	-1	2	1/2
2	2	1+2=3	0-1=-1	-1+1=0	2	-1-1=-2	2+1=3	-4-2=-6	-1/2	3/2	1/2
3	2	3+3=6	-1-2=-3	0+3=3	2	-2-1=-3	3+0=3	-6+0=-6	-3/3=-1	3/3=1	0
4	2	6+4=10	-3-3=-6	3+5=8	2	-3-1=-4	3-1=2	-6-2=-4	-6/4=-3/2	2/4=1/2	-1/2
5	3	10+4=14	-6-1=-7	8+1=9	2	-4-1=-5	2-2=0	-4+4=0	-7/5	0	-7/10
6	3	14+4=18	-7+1=-6	9-3=6	3	-5-2=-7	0+0=0	0+0=0	-6/6=-1	0	-1/2
7	2	18+5=23	-6+0=-6	6-1=5	3	-7-3=-10	0+2=2	0-4=-4	-6/7	2/7	-2/7
8	2	23+6=29	-6-1=-7	5+1=6	2	-10-3=-13	2-1=3	-4-2=-6	-7/8	3/8	-1/4
9	2	29+7=36	-7-2=-9	6+3=9	2	-13-3=-16	3+0=3	-6+0=-6	-9/9=-1	3/9=1/3	-2/6
10	2	36+8=44	-9-3=-12	9+5=14	2	-16-3=-19	3-1=2	-6+2=-4	-12/10=-6/5	2/10=1/5	-1/2

i - номер стратегии, выбираемой игроком A

j - номер стратегии, выбираемой игроком В

Ni - сколько раз выбирается Аi стратегия

Nj - сколько раз выбирается Bj стратегия

N_A1 = 1

P(A₁) =

N_A2 = 7

P(A₂) =

N_A3 = 2

P(A₃) = =

N_B1 = 0

P(B₄) = = 0

N_B2 = 7

P(B₄) =

N_B3 = 3

P(B₄) =

Стратегия игрока I: p = ( , , )

Стратегия игрока II: q = (0, , )

5. Метод Крамера

А =

B = (1,1,1)

Определим оптимальную стратегию x = (x₁, x₂, x₃) игрока А и цену игры ν.

∆а = = 1·(-1)·(-4) + 1·2·(-1) – 1·2·2 = -2

Заменим 1-й столбец транспонированной матрицы А на вектор В. Найдем определитель полученной матрицы.

∆а₁ = = 1·(-1)·(-4) + 1·2·1 – 1·2·2 - 1·1·(-4) = 6

Заменим 2-й столбец транспонированной матрицы А на вектор результата В. Найдем определитель полученной матрицы.

∆а₂ = = 1·1·(-4) + 1·2·(-1) – 1·2·1 = -8

Заменим 3-й столбец транспонированной матрицы А на вектор результата В. Найдем определитель полученной матрицы.

∆a₃ = = 1·(-1)·1 + 1·1·(-1) – 1·(-1)·(-1) – 1·1·2 = -5

Следовательно:

ν = = =

x₁ = = =

x₂ = = =

x₃ = = =

Определим оптимальную стратегию y = (y₁, y₂, y₃) игрока B.

Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор В. Найдем определитель полученной матрицы.

∆ã₁ = = 1·(-1)·(-4) + (-1)·1·2 – (-1)·(-1)·1 – 1·2·2 = -3

Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В. Найдем определитель полученной матрицы.

∆ã₂ = = 1·1·(-4) + (-1)·1·1 – 1·2·1 – 1·1·(-4) = -3

Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В. Найдем определитель полученной матрицы.

∆ã₃ = = 1·(-1)·1 + 1·1·2 – 1·1·2 = -1

Следовательно:

y₁ = = =

y₂ = = =

y₃ = = =

Ответ: Оптимальная стратегия игрока А x = ( ), оптимальная стратегия игрока В y = ( ), цена игры -2.

2. Биматричные игры

C = a₁₁ – a₁₂ – a₂₁ + a₂₂

α = a₂₂ – a₁₂

D = b₁₁ – b₁₂ – b₂₁ + b₂₂

β = b₂₂ – b₂₁

C = 6 – 2 – 2 + 4 = 6

α = 4 – 2 = 2

D = 2 – 6 – 8 + 2 = -10

β = 2 – 8 = -6

(p–1)(6q-2) ≥ 0

p(6q-2) ≥ 0

(q-1)(-10p+6) ≥ 0

q(-10p+6) ≥ 0

получаем:

1) p = 1,q ≥

p = 0, q ≤

0 ≤ p ≤ 1, q =

2) q = 1,p ≤

q = 0, p ≥

0 ≤ q ≤ 1, p =

Игра имеет единственную ситуацию равновесия (P*,Q*), где оптимальными стратегиями являются: P* = ( ; ); Q* = ( ; ).