Материал: 3877

6

x 0,

5x2

y

.

x

2

25

Отсюда

x 0 , y 0,

поэтому точка (0;0) является точкой пересечения

графика функции с осью Oy .

4.

Исследование

функции по первой производной (интервалы

монотонности, точки экстремума).

Найдем первую производную функции:

2

2

2

2

2

2

2

5x

(5x

25)

5x

(x

10x (x

25)

5x

2x

) (x

25)

y

2

2

2

2

2

25

(x

25)

(x

25)

x

10x (x2

25 x2 )

250x

.

(x

2 25)2

(x2 25)2

y 0 при

x 0 , y

не существует при

x 5

и

x 5.

Точки

x1 5 ,

x2 0 , x3

5 разбивают область определения функции на четыре интервала

( ; 5) , ( 5;0) , (0;5) ,

(5; ) . Определим знак производной

y

на каждом из

них. Возьмем любое число из интервала ( ; 5) ,

например

6 .

Так как

250 ( 6)

1500

y ( 6)

12,4 0 ,

поэтому

на всем

интервале

( ; 5)

(36 25)2

121

производная

y 0

и,

следовательно, функция монотонно возрастает.

Аналогично определяем знак производной y

на трех других интервалах:

250 ( 1)

250

y ( 1)

0,4 0 ,

(1 25)2

576

250 2

500

y (2)

1,1 0 ,

(4 25)2

441

250 7

1750

y (7)

3,1

0 .

(49 25)2

576

Результаты исследования занесем в таблицу:

x

( ; 5)

( 5;0)

0

(0;5)

(5; )

y

+

+

0

−

−

y

0

y

функция

функция

max

функция

функция

возрастает

возрастает

убывает

убывает

ymax(0) 0 .

5.

Исследование

функции

по

второй

производной

(выпуклость,

вогнутость, точки перегиба графика).

Найдем вторую производную функции:

2

250x

(x

2

25)

2

x ((x

2

25)

(x)

)

y

250

( y )

2

2

4

(x

25)

2

(x

25)

250

1 (x2 25)2 2x (x2 25) 2x

250

(x2 25) (x2 25 4x2 )

(x2 25)4

(x2 25)4

250

3x2 25

.

(x2 25)3

y 0 , если 3x2

25 0 . Это уравнение не имеет решения.

y не существует при x 5 и x 5.

Точки x1 5 , x2 5 разбивают область определения функции на три

интервала: ( ; 5) ,

( 5;5) , (5; ) .

Определим

знак производной y на

3 62

25

133

(62 25)2

250

121 274,8 0 ,

каждом из них. Так как y ( 6) 250

поэтому

на всем интервале ( ; 5) производная

y

0

и,

следовательно,

график

что y 0

на

интервале

( 5;5) , поэтому график выпуклый на данном

интервале.

На

интервале (5; ) y 0 , поэтому график вогнутый на этом

интервале. Результаты исследования занесем в таблицу:

x

( ; 5)

( 5;5)

(5; )

y

+

−

+

y

y

вогнутый

выпуклый

вогнутый

график

график

график

lim

5x2

125

,

lim

5x2

125

.

2

25

2

25

x 5 x

0

x 5 x

0

параллельную оси Оу. Невертикальная асимптота графика функции

y f (x)

при x существует тогда

и

только тогда,

когда

существуют

конечные

пределы

lim

f (x)

k,

lim[ f (x) kx] b .

x

x

x

Эта асимптота имеет уравнение y kx b .

Вычислим пределы

f (x)

lim

5x

2

lim

5x

lim

5

0

0 k ,

lim

x

x

x

x x (x2

25)

x x2

25

x 1

252

1

x

5x2

5x2

5

5

lim[ f (x) kx] lim

0 x

lim

lim

5 b .

2

25

2

25

1

x

x x

x x

x 1 252

x

Так

как

оба предела

k

иb конечны,

то

график

функции имеет

9

y(2)

5 22

20

0,9 ,

y(7)

5 72

245

10,2 .

22

25

21

72

25

24

1. y

1

.

2. y

1 x3

.

x

2

4x 3

x2

3. y

x3

.

4. y

x2

2x

.

6

2x2

x

1

5. y

x

2 x 4

.

6. y

x 2

.

2x

x3

7. y

1

.

8. y

x3 4

.

x

2

2x

3x2

9. y

x2

.

10. y

x3

.

x2 1

x2 1

xi

20

25

30

35

40

45

n j

y j

30

6

4

10

40

4

1

5

7

17

50

3

4

5

6

18

60

5

3

10

2

20

70

2

3

3

5

13

ni

12

12

12

19

12

11

n =78

Решение.

Для упрощения расчетов введем условные варианты:

u

x u

0

y j

v0

i

,

v

,

j

i

hx

hy

где u0 M0 (X ) 35

(max ni 19);

v0 M0 (Y ) 60 (max nj 20);

hx

= 5 (разность между соседними значениями вариант xi );

hy

= 10 (разность между соседними значениями вариант y j ).

ui

–3

–2

–1

0

1

2

n j

v j

–3

6

4

10

–2

4

1

5

7

17

–1

3

4

5

6

18

0

5

3

10

2

20

1

2

3

3

5

13

ni

12

12

12

19

12

11

n =78