Материал: 3663

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

a1i p1 a2i p2 a1i (1 p2) a2i p2 ,

и этому выигрышу соответствует точка М на прямой bi	c абсциссой
x p2 ( рис. 2.2 ).

Ломаная b1MNb3, отмеченная на чертеже ( рис. 1.2 ) жирной линией,

позволяет определить минимальный выигрыш игрока А при любом поведении игрока В. Точка N , в которой эта ломанная достигает максимума, определяет решение и цену игры. Ордината точки N равна цене игры ,

а ее абсцисса p2 – вероятности применения стратегии А1 в оптимальной смешанной стратегии игрока А .

Рис. 1.2

Далее, непосредственно по чертежу, находим пару активных стратегий игрока В , пересекающихся в точке N (если в точке N пересекается более двух стратегий, то выбираем любые две из них). Пусть это будут стратегии Bi и

B j . Поскольку выигрыш игрока А , если он придерживается оптимальной

стратегии,	не зависит от того, с какими вероятностями игрок В применяет эти
стратегии,	то неизвестные		p* , p*				и	определяются из системы
			1	2
уравнений
	a		p*	a	2i	p*		,
		1i	1		2i		2
	a		p*	a	2 j		p*	,
	1 j		1		2 j		2
			p* p*				1.
			p* p*				1.
			1		2

Вероятности q1* и q*2 в оптимальной стратегии

	B		...	B ...	B ...	B
		1		i	j	n
*		1		i	j	n
SB		0	...	q* ...	q* ...	0
				i	j

игрока В определяются из соотношения
a	q* a		(1 q) ( q 1 q*).
1i	i	1 j	i	j	i

З а м е ч а н и е. Иногда точка не является пересечением двух стратегий, а попадает на одну из прямых х = 0 или х = 1. В этом случае решением игры будут соответствующие чистые стратегии.

Для игры размера m 2 решение находится аналогично. Действительно,

поскольку выигрыш игрока А одновременно является проигрышем игрока В , то для решения задачи нужно построить ломаную, соответствующую верхней границе выигрыша игрока А , а затем найти на ней точку с минимальной ординатой.

Пример. Решить графическим методом игру

1 11

с платежной матрицей Р=

5 0

Решение. Найдем – верхнюю и – нижнюю цены игры:

1		11		1
	5	0		0
				0

	5	11
max 1; 0 0		и min 5; 11 5.
i 1,2				j 1,2
В данном случае , то	есть		в	игре отсутствует седловая точка и

применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры.

Платежная матрица содержит отрицательные числа, поэтому графического решения задачи перейдем к новой матрице с неотрицательными элементами; для этого к элементам исходной матрицы достаточно добавить соответствующее положительное число.

1 11

К каждому элементу исходной платежной матрицы

5 0

прибавим, например, число			2	и получим новую платежную матрицу
1	13
		.
7	2

	На оси абсцисс откладываем единичный отрезок A					A	. Точка		A
					1	2			1

соответствует стратегии A1		первого игрока, точка A2 соответствует стратегии
A2	второго игрока. В точках		A1	и A2	проведем оси		I и II. На
перпендикулярных осях I и II откладываем выигрыши при стратегиях A1								и A2 ,
соответственно.
	Пусть первый игрок придерживается стратегии A1 . Если 2-й игрок примет
стратегию B1 , то она дает выигрыш			a11 1 . Отложим по оси I отрезок длины
a11 1 вверх от точки A1		и обозначим полученную точку с координатами

(0;1) через B11 .

Пусть первый игрок придерживается стратегии A2 . Если

2-й

игрок

примет стратегию

B1 , то она дает выигрыш a21 7 .

Отложим по

оси II

отрезок длины a21 7 вверх от точки

и обозначим полученную точку с

координатами (1;7) через B2 . Через точки B1 (0;1)

B2 (1;7) проведем

прямую B1 B2

(рис. 1.3).Уравнение

прямой

B1 B2

имеет

вид:

y 1

x 0

или

y 6 x 1.

7 1

1 0

Рис. 1.3

Далее строим прямую, соответствующую применению вторым игроком

стратегии B2 .
Пусть первый игрок придерживается	стратегии	A1 . Если	2-й	игрок
примет стратегию B2 , то она дает выигрыш a12 13. Отложим по				оси I
отрезок длины a12 13 вверх от точки A1	и обозначим полученную точку с
координатами (0;13) через B1 (рис. 1.4).
2
Пусть первый игрок придерживается	стратегии	A2 . Если 2-й игрок
примет стратегию B2 , то она дает выигрыш a22 2 . Отложим по оси II
отрезок длины a22 2 вверх от точки A2	и обозначим полученную точку с
координатами (1;2) через B2 . Через точки	B1 (0;13)	и B2 (1;2)	проведем
2	2	2

прямую B1	B2	. Уравнение прямой	B1	B2	имеет вид:	y 13	x 0	или

2	2		2	2		2 13	1 0

y 11x 13 (рис. 1.4).

Рис. 1.4

	S*	A		A
Оптимальную стратегию	S*		1	2	определяет точка		N	с
	A	p*		p*
			1	2
координатами ( p* ; 2) в	которой		минимальный выигрыш достигает
1
максимума. Координаты точки	N (как точки пересечения прямых B1 B2
							1	1
			y 6 x 1
и B21 B22 ) находятся как решение системы:						(рис. 1.5).
			y 11x 13

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11
:Конвергентный подход к проектированию дополнительных общеобразовательных общеразвивающих программ