Материал: 13

Математические модели случайных сигналов: функция распределения вероятности и плотность распределения вероятности стохастического сигнала.

Сигнал, мгновенные значения которого нельзя заранее указать с вероятностью 1, называется стохастическим или случайным.

Случайный процесс X(t) является функцией времени, значения которой в любой фиксированный момент времени t_i представляет собой случайную величину x(t_i).

Функция распределения F(x) показывает вероятность нахождения случайной величины в пределах F(x)=F(X≤x). Безразмерна.

• Одномерная – F(х,t_i) = P(X(t_i)≤х)

• Двумерная – F₂ (х₁,х₂; t₁,t₂) = P(X(t₁)≤х₁; X(t₂)≤х₂;)

• Многомерная – F_N(х₁,х₂,…,х_N; t₁,t₂,…,t_N) = P(X(t₁)≤х₁; X(t₂)≤х₂;…; X(t_N)≤х_N;)

Взаимосвязь:

F(x) – неубывающая F(x₂)≥F(x₁).

Вероятность нахождения функции в пределах от x₁ до x₂ рассчитываются как: P(x₁≤X≤x₂) = F(x₂)-F(x₁).

При равномерном распределении:

Плотность распределения

P.S. В презентациях плотность обозначалась через р, у Щербатого была ω. Обозначайте как хотите, только в дальнейших вопросах не запутайтесь с другой ω.

• Одномерная -

• Двумерная – p(x₁, x₂)dx₁ dx₂ = P[x₁ < X(t₁) ≤ (x₁+dx₁); x₂ < X(t₂) ≤ (x₂+dx₂)]

• Многомерная – p(x₁, x₂,..,x_N)dx₁ dx₂...dx_N = P[x₁ < X(t₁) ≤ (x₁+dx₁); x₂ < X(t₂) ≤ (x₂+dx₂); …; x_N < X(t_N ) ≤ (x_N+dx_N)]

Взаимосвязь:

Плотность вероятности – неотрицательная функция ω(x)≥0.

Вероятность нахождения случайной величины между сечениями x₁ и x₂: .

При равномерном распределении:

Г истограмма в целом не гладкая, так как в каждом столбце подсчитывается % отсчетов, величина которых попадает в интервал конечной ширины столбца.

Чем меньше ширина столбца, тем более гладкой будет выглядеть кривая распределения.

В пределе, когда ширина столбца гистограммы стремиться к 0, получается зависимость, называемая плотностью распределения вероятности p_v(v).

Моментные числовые характеристики закона распределения вероятности: математическое ожидание. Дисперсия, автокорреляционная функция.

МОЖ – первый момент плотности распределения вероятностей; начальный момент первого порядка.

Физический смысл: среднее значение сигнала или постоянная составляющая сигнала, вокруг которой происходят случайные флюктуации сигнала.

Расчет МОЖ путем усреднения значений ансамбля N реализаций, N:

Расчет МОЖ путем усреднения по времени одной реализации, T:

Дисперсия – второй центральный момент плотности распределения вероятностей; центральный момент второго порядка.

Физический смысл: дисперсии заключается в том, что она является средней мощностью флюктуаций случайного сигнала, воздействующего на сопротивление в 1 ОМ.

Расчет дисперсии путем усреднения значений ансамбля N реализаций, N:

Расчет дисперсии путем усреднения по времени одной реализации, T :

Автокорреляционная функция (АКФ) – второй смешанный центральный момент двумерной плотности распределения вероятностей; центральный смешанный момент второго порядка.

P.S. В презентациях АКФ обозначается через R, на практиках Щербатого было B_X. Для себя обозначайте как больше нравится.

Некоторые свойства АКФ случайного процесса:

• R(0) = D(X(t))

• Абсолютные значения АКФ при любом τ не превышают ее значения при τ=0:

|R(τ)| ≤ R(0) = D(X(t))

• АКФ характеризует статистическую связь сечений случайного процесса (внутри процесса). Если связи между сечениями нет (сечения независимы), то R(t₁, t₂) = 0

• АКФ стационарного случайного процесса является четной R(τ) = R(-τ)

Стационарные и эргодические случайные процессы.

Случайные процессы, статистические характеристики которых одинаковы во всех сечениях называются стационарными случайными процессами.

Различаются стационарные случайные процессы в узком смысле и широком смысле. Случайный процесс стационарен в узком смысле, если любая n-мерная плотность вероятности инвариантна относительно временного сдвига  (другими словами, выражения для плотностей вероятности не зависят от начала отсчета времени):

(6.1)

Если же ограничить требования тем, чтобы МОЖ и дисперсия процесса не зависели от времени (т.е. константы), а функция корреляции зависела лишь от разности , т.е. (т.е. АКФ не зависит от начала отсчета), то подобный случайный процесс будет стационарен в широком смысле.

Из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле, но не наоборот.

АКФ стационарного случайного процесса является чётной.

Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если при нахождении его моментных функций усреднение по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени.

Оно проявляется в том, что каждая реализация случайного процесса достаточной продолжительности несет практически полную информацию о свойствах всего ансамбля реализаций, что позволяет существенно упростить процедуру определения статистических характеристик, заменяя усреднение значений по ансамблю реализаций усреднением значений одной реализации за длительный интервал времени.

Связь акф с энергетическим спектром случайного сигнала, теорема Винера – Хинчина, интервал корреляции, белый шум.

Связь корреляционной функции и энергетического спектра обуславливается прямым и обратным преобразованиями Фурье и называется теоремой Винера-Хинчина:

Знание корреляционной функции случайного процесса позволяет:

1. Определить мощность флюктуации случайного процесса (в момент времени τ=0).

2. Определить время, на котором в будущем можно достоверно предсказывать значение случайного процесса, предполагая линейный тренд его развития.

Основание прямоугольника называется интервалом корреляции. На этом интервале можно предсказать случайный сигнал (линейный тренд).

Эффективная ширина спектра определяется отношением площади под кривой энергетического спектра к максимальному значению спектральной плотности мощности.

Если спектральная плотность мощности постоянна во всей области частот, то такой сигнал называют белым шумом.

Узкополосные случайные процессы, распределение огибающей и фазы узкополосного случайного процесса.

Узкополосные случайные процессы играют важную роль в радиотехнике. Они возникают при прохождении сигналов и помех через сравнительно узкополосные фильтры.

Назовём узкополосным такой случайный процесс(далее СП), у которого спектральная плотность отлична от нуля только в сравнительно узкой полосе частот , где – средняя частота спектра. Для описания этого процесса удобно применять его представление в квазигармонической форме :

– амплитуда (огибающая) и начальная фаза соответственно, являющиеся случайным медленно изменяющимся по сравнению с функциями; .

Графическое изображение такого процесса имеет вид колебания, про модулированного по амплитуде и фазе.

Произведем некоторые преобразования:

– квадратурные компоненты сигнала, которые также

являются СП , но медленно изменяются относительно

периода несущей

Используя понятие комплексного сигнала, получим

Сопряженный процесс:

т.е. действительный сигнал равен вещественной части своего комплексного преставления.

Комплексная огибающая (амплитуда) сигнала -

Огибающую и фазу узкополосного сигнала можно представит следующими выражениями:

Модуль комплексной огибающей является амплитудой действительного узкополосного процесса, а фаза комплексной огибающей совпадает с фазой действительного процесса.

Характерный вид узкополосного процесса:

Огибающая A(t) и фаза случайного узкополосного процесса в одном сечении статически независимы, при этом фаза является равномерно распределённой по всей области возможных значений от 0 до 2п.