Материал: 12
0 +∞ 1( − 0) + 2( − 0)2+. . . + ( − 0) +. . . = = ∑ ( − 0) ,
=0
где и 0 – комплексные постоянные, а – комплексная переменная, называется степенным рядом в комплексной области.
При 0 = 0 степенной ряд имеет вид ∑∞=0 = 0 + 1 + 2 2 + .
Теорема 4.2 (теорема Абеля). Пусть степенной ряд
Теорема 4.3. Функция ( ) аналитична в круге | − 0| < , разлагается в нем единственным образом в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора
∞
( ) = ∑ ( − 0) ,
=0
коэффициенты которого вычисляются по формулам
|
|
1 |
|
( ) |
|
( )( |
) |
|
|
|
= |
|
∫ |
|
|
= |
0 |
|
( = 0,1, . . . ), |
2 |
|
) +1 |
! |
|
|||||
|
|
( − |
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
где – окружность с центром 0, целиком лежащая в круге сходимости ряда | − 0| < .
Предполагается, что окружность проходится в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки.
Имеют место следующие разложения в ряд Тейлора в окрестности точки
0 = 0.
= 1 + + |
2 |
+. . . + |
|
+. . . = ∑∞ |
|
, = ∞, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
=0 |
! |
сх |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
sin = − |
3 |
+ + (−1) |
2 +1 |
+ = |
∑∞ |
2 +1 |
, |
||||||||||||||||||||||
3! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 +1)! |
|
|
|
=0 (2 +1)! |
|
сх |
||||||||
= 1 − |
2 |
+. . . +(−1) |
|
2 |
+. . . = ∑∞ |
(−1) |
2 |
|
, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 )! |
|
|
|
|
|
=0 |
(2 )! |
сх |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(1 + ) = − |
2 |
|
+ |
3 |
− + (−1)−1 |
|
+ = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= ∑=1∞ (−1)−1 |
|
|
, сх = 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + ) = |
1 + + |
( −1) |
2+. . . + |
( −1)...( − +1) |
|
+. .., |
|||||||||||||||||||||||
2! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|||||
при = −1,
1+1 = 1 − + 2−. . . +(−1) +. . . = ∑∞=0(−1) ,сх = 1,
=∞,
=∞,
сх = 1
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
1 |
= 1 + + 2+. . . + +. . . = ∑∞ |
, = 1. |
(4.7) |
|
|||
1− |
=0 |
сх |
|
|
|
|
Пример 4.1.
Разложить по степеням ( − 2) функцию ( ) = 7−12.
Решение: введем новую переменную = − 2, выразим = + 2 и подставим в функцию ( )
( ) = |
1 |
|
= |
1 |
= |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7 − 2( + 2) |
3 − 2 |
3 |
1 − |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
в точке = 2 ( = 0). Воспользуемся формулой (4.10), подставляя вместо
→ 23 :
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||
( ) = |
|
|
|
|
|
= |
|
|
(1 + |
|
+ ( |
|
) |
+. . . + ( |
|
) |
+. . . ). |
||||||||||||||
3 |
1 − 2 |
|
3 |
3 |
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Сделаем обратную замену |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
( ) = |
1 |
[1 + |
|
2 |
( − |
2) |
+ |
22 |
( − 2)2+. . . + |
2 |
( − 2) +. . . ]. |
||||||||||||||||||||
3 |
3 |
32 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Этот ряд сходится при условии | |
2 |
( − 2)| < 1, или |
| − 2| < |
3 |
, т.е. радиус |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
сходимости ряда = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||