Материал: 11. Векторы
M 2;1,5 .
Центр K вписанной окружности имеет координаты:
хK r , yK |
r , где r – радиус вписанной окружности. |
||||
|
r |
a b c |
|
3 4 5 |
1 |
|
|
|
|||
|
2 |
|
2 |
|
|
( a OB, b OA, c AB 
9 16 5 ), т.е. K 1;1 . d KM 
2 1 2 1,5 1 2 
1,25 ;
Ответ: 
1,25
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.Даны векторы а 6; 8;5
2 и b 2; 4; 
2 . Найти в гра - дусах угол, образуемый вектором a b с осью Oz.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: 45) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
, если |
|
9;6; 17 , |
|
|
|
|
||||||
2. |
Найти длину вектора |
а |
b |
a |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1; 2;4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
b |
|
|
(Ответ: 13) |
|||||||||||||||||||
3. |
Отрезок AB , ограниченный точками A 1;8; 3 и |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
B 9; 7;2 , разделен точками M1 , M2 , M3 , M4 на пять рав- |
|||||||||||||||||||||||
|
ных частей. Найти произведение координат точки M 3 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: 0) |
|||||||
|
|
|
х;1;2 перпендикулярен вектору |
|
2; у; 4 , а |
||||||||||||||||||
4. |
Вектор |
а |
b |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
длина вектора b в два раза больше длины вектора a . Найти |
||||||||||||||||||||||
|
x и y . В ответе указать их произведение. |
|
|
(Ответ: 8) |
|||||||||||||||||||
5. |
Треугольник задан координатами своих вершин A 3; 2;1 , |
||||||||||||||||||||||
B 3;1;5 , С 4;0;3 . Найти расстояние от начала координат до |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
точки пересечения медиан треугольника. |
(Ответ: |
|
182 |
) |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
110 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. Даны вершины треугольника А 1; 2;4 , B 4; 2;0 и
C 3; 2;1 . Определить (в градусах) его внутренний угол при вершине B .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: 45) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5, |
|
8 , а угол между |
||||
7. |
Найти длину вектора а b , если |
a |
|
b |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
векторами a и b равен 120 . |
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: 7) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6; 8; 7,5 , образует |
||||||||||||||
8. |
Вектор x , коллинеарный вектору |
a |
||||||||||||||||||||||
|
острый угол с осью Oz . Зная, что |
|
|
50 , найти его коор- |
||||||||||||||||||||
|
|
х |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
динаты. В ответе указать меньшую из них. |
(Ответ: –24) |
||||||||||||||||||||||
9. |
Найти сумму длин диагоналей параллелограмма, построен- |
|||||||||||||||||||||||
|
ного на векторах |
|
4; 1;1 и |
|
8; 5;3 . |
(Ответ: 20) |
||||||||||||||||||
|
а |
b |
||||||||||||||||||||||
10. При каких значениях m и n точки |
A( 5; 13;0), B 5; n;15 |
|||||||||||||||||||||||
|
и C 7;11; m лежат на одной прямой ? |
В ответе указать |
||||||||||||||||||||||
|
m n . |
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: 25) |
|||||||||||||||
11. Даны вершины треугольника: A 3; 1;5 , B 4;2; 5 и |
||||||||||||||||||||||||
|
C 4;0;3 . Найти длину медианы |
AM . |
(Ответ: 7) |
|||||||||||||||||||||
12.Найти в градусах угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах а 2;1; 0 и
|
|
|
0; 2;1 . |
|
|
|
|
|
(Ответ: 90) |
|
b |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13. Известно, что вектор |
a b делит угол между векторами |
|||||||||
|
|
|
2;3; x и |
|
1; x 2;4 пополам. Найти x . (Ответ: 2) |
|||||
|
|
a |
b |
|||||||
14.Найти сумму координат вектора с , перпендикулярного векторам a 1; 2;1 и b 2;1; 3 и образующего с осью
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Oz острый угол, если |
c |
2 27 . |
|
|
|
(Ответ: 18) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3, |
|
|
1, |
|
4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
15. Даны векторы a, b, c , причем |
a |
b |
c |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b c 0 . Найти a b b c c a . |
(Ответ: – 13) |
|||||||||||||||||||
16. Даны векторы а и b , угол между которыми равен 120 . Определить длину вектора c , если c 3 a 0,5 b и
|
1, |
|
2 . |
|
|
|
a |
b |
(Ответ: 13 ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
17.Найти длину меньшей диагонали параллелограмма, построенного на векторах a p 3q , b 5 p 2q , если из-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
вестно, что |
p |
2 |
2 , |
q |
3 и угол между векторами p и |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равен 45 . |
|
|
|
|
|
||||
q |
|
|
|
|
(Ответ: 15) |
||||||
18.Даны три последовательные вершины параллелограмма
ABCD : А 3; 2;0 , В 3; 3;1 , С 5;0; 2 . Вычислить
скалярное произведение векторов АС и 2BD .
(Ответ: – 48)
19. Найти в градусах угол между биссектрисами углов xOz и yOz . (Ответ: 60 )
20.В трапеции ABCD с основаниями AB и CD известно, что AC AD DB DA 7 . Найти длину средней линии тра-
пеции. |
(Ответ: 3,5) |
21.Найти площадь треугольника ABC , если известны координаты его вершин: A 1;10 , B 2;1 , C 6; 1 . (Ответ: 15)
22.В прямоугольном треугольнике ABC длины катетов AC и
BC соответственно равны 12 и 8 . Точка K – середина медианы BD . Найти длину отрезка CK . (Ответ: 5)
23.Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12. Найти расстояние между точкой пересечения биссектрис и
точкой пересечения медиан треугольника. |
(Ответ: 1) |
24.В правильной четырехугольной пирамиде MABCD , все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра MD . Найдите тангенс угла между прямыми MB и AE .
(Ответ: 
2 )
112