Материал: 11. Векторы

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

§11. ВЕКТОРЫ. КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД

Сложение двух векторов производится по правилу параллелограмма (рис.1) или треугольника (рис.2).

a b

Рис. 1

Рис. 2

Рис.3

Разностью векторов a и b называется такой вектор c a b , что b c a ( рис.3 ).

Произведением вектора a на число называется вектор

a такой, что

1)длина вектора a равна a ;

2)векторы a и a одинаково направлены, если 0 , и противоположно направлены, если 0 .

Два ненулевых вектора a и b называются коллинеарны-

ми ( a || b ), если они лежат на параллельных прямых или на

одной прямой. a || b a b , где 0 .

Если в пространстве задана прямоугольная система коор-

динат Oxyz , i , j , k – единичные векторы координатных осей Ox, Oy, Oz соответственно, то произвольный вектор

a единственным образом представляется в виде

a ax i ay j az k ; ax , ay ,

az – координаты вектора a .

2 a

2 .

Длина вектора a :

Если известны координаты точек A и B : A x1; y1; z1 ,

B x2 ; y2 ; z2 , то AB x2 x1; y2 y1; z2 z1 . Середина С

105

отрезка AB имеет координаты: x

x1 x2

y1 y2

ax ; ay ; az ,

;by ;bz , то

Если a

ax bx ; ay by ; az bz

;

ax ; ay ; az .

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов a и b называется

произведение длин этих векторов на косинус угла между

ними:

a b

cos .

ax ; ay ; az ,

bx ;by ;bz , то

Если

a b axbx ay by az bz .

Угол между двумя векторами

axbx a y by az bz

a b

cos

; а ,b 0 .

ax 2 a y 2 az 2

bx 2 by 2 bz 2

Если , , – углы между вектором a и осями Oх , Oу ,

Oz , соответственно, то cos 2 cos 2 cos 2 1.

Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов

a y

a || b

a b a b 0, т.е. axbx ay by az bz 0 .

Пример 1. Даны точки А 1;7 и B 5; 1 . Найти абсциссу

х 0

точки M x;0 , если векторы

перпендику-

АМ

106

лярны.

Решение. АМ х 1; 7 , ВМ х 5;1 .

Векторы АМ и ВМ перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

AM BM x 1 x 5 7 0 ; х2 4х 12 0 . Корни этого

уравнения:

х1 6 ,

х2 2 . Условию задачи х 0 удовлет-

воряет только х 6 .

Ответ:

6 .

Пример 2. Найти в градусах угол между вектором 2а b и

осью

Oy , если

1;2; 3 ,

1;4;3 .

Решение. Найдем координаты вектора 2а b :

2;4; 6 ,

1;4;3 ;

поэтому

1;0; 9 .

Если

угол между вектором

2a b и осью Oy , то

cos

0 . Это означает, что 90 .

2a b

Ответ:

90 .

23 ,

Пример 3. Найти длину вектора b , если

a b

20 ,

a b

30.

Решение. Поместим начала векторов а и b в одну точку.

Тогда в параллелограмме, построенном на них, имеем:

а b

откуда

900 400

529 121;

121 11 .

Ответ: 11.

107


Пример 4. Даны четыре точки: А 1;0;2 ,			В 1;2;3 ,
С 0;2; 1 и D 4; х; у . Векторы
С 0;2; 1 и D 4; х; у . Векторы	АВ	и CD коллинеарны. Най-

ти длину вектора CD .

Решение.

2;2;1 ,

4; x 2; y 1 . Из коллинеар-

АВ

следует:

ности векторов AB

и CD

, откуда

x 2

y 1

находим, что x 6 , y 1. Тогда:

4;4;2 ,

16 16 4 6 .

Ответ: 6 .

Пример 5. Даны три последовательные вершины параллелограмма A 1; 2;3 , B 3;2;1 , C 6;4;4 . Найти сумму координат

четвертой вершины D .

Решение. Пусть D x; y; z . Так как в параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны, то BC AD .

BC 6 3;4 2;4 1 3;2;3 , AD x 1; y 2; z 3 . Поэто-

x 1 3,
	2, откуда x 4, y 0, z 6 .	x y z 10 .
му, y 2
	3,
z 3

Ответ: 10. Пример 6. Два вектора а 2; 3;6 и b 1;2; 2 приве-

дены к одной точке. Определить координаты вектора c , направленного по биссектрисе угла между векторами a и b , если c 342 . В ответе указать большую из координат.

Решение. Пусть х , у , z – искомые координаты вектора c .

		2 x2 y 2 z 2 3		2 .
	c	2 x2 y 2 z 2 3	42	2 .		(1)

Если – угол между векторами a и b , то						– угол между
					2

векторами a и с , b и c . 108


cos			a b				2 6 12						20	.
cos							2 6 12							.
		a			b				7 3				21


cos				1 cos						1 20 / 21					1	.


	2						2		2						42

cos			a c					2x 3y			6z	.
cos												.
	2		a			c			7 3 42

(2)

(3)


cos			c b		x 2 y	2z	.	(4)
cos							.	(4)
	2	c		b	3 3 42

Учитывая (1), (2), (3), (4), получаем систему уравнений:

				6z 21,							х 3,
2х 3у							х 69 6z,
x 2 y 2z 9,							y 39 2z,				откуда y 15,
	2	y	2	z	2	378		2	24z 144	0,	z 12.
x							z

Ответ: 15. Пример 7. Катеты прямоугольного треугольника равны 3

и 4. Найти расстояние d между центрами вписанной и описанной окружностей.

Решение. Пусть в прямоугольном треугольнике OAB :

OA 3, OB 4 .

На плоскости введем прямо-

угольную систему координат

следующим образом: начало

координат разместим в вершине

прямого угла O , ось абсцисс

направим по линии OB , а ось ординат – по линии OA . Тогда

A 0;3 , B 4;0 .

Центр M описанной окружности лежит в середине гипо-

тенузы AB . Поэтому,

xA xB

0 4

2, y

yA yB

3 0

1,5 , т.е.

109

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)