Материал: 01
величину, равную сумме отброшенных членов, но не повлияет на сходимость.
Теорема. Если ряд сходится, сумма его остатка стремится к нулю с возрастанием номера остатка.
Если S и Sn – соответственно сумма и частичная сумма с номером n сходящегося ряда, а rn – сумма его остатка, то
rn
S
S |
n |
|
. Следовательно,
limr |
|
n |
n |
|
|
lim (S S |
n |
) S S |
n |
|
|
|
|
0
.
3. Критерий Коши сходимости рядов.
Согласно определению числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм. Для числовой последовательности критерий сходимости (критерий Коши) формулируется следующим образом:
для того, чтобы числовая последовательность
S |
n |
|
,
n
1,2,3,...
, имела конечный
предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого
номер N, что для всех |
n N |
и для всех натуральных |
неравенство |
|
|
0 существовал такой чисел k выполнялось
S |
n k |
S |
n |
|
|
|
|
.
Формулируя эту теорему для последовательности частичных сумм, получим критерий сходимости числовых рядов:
Теорема (критерий Коши сходимости ряда). Для того, чтобы сходился
|
|
|
|
числовой ряд |
a |
n , необходимо и |
достаточно, |
|
|||
n 1 |
|
|
|
существовал такой номер N, что для |
всех n N |
||
чисел k выполнялось неравенство |
|
||
чтобы для любого |
0 |
и для всех натуральных
a |
n 1 |
a |
n 2 |
... a |
n k |
|
. |
|
|
|
|
В качестве примера применения критерия Коши, еще раз докажем
расходимость |
гармонического ряда. |
Для |
этого |
оценим разность между |
|||||||||||||||||||||
частичными суммами гармонического ряда |
S |
n k |
S |
n , полагая k n : |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
S2n Sn |
|
|
1 |
|
1 |
|
.... |
1 |
|
n |
1 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||
n |
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
n 2 |
|
|
|
2n 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n слагаемых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, |
какой бы ни был номер n , |
можно выбрать число k n |
|||||||||||||||||||||||
так, что Sn k |
Sn |
1 |
. Итак, |
если выбрать |
|
1 |
|
и для любого номера n |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
выбрать число k n , то |
S |
n k |
S |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
и, согласно критерию Коши, гармонический ряд расходится.
4. Линейные действия с рядами.
Сходящиеся ряды обладают следующими простыми свойствами:
1) если члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число, то его сходимость не нарушится (сумма умножится на то число, на которое были умножены члены ряда).
|
|
|
|
2) если ряды an |
и bn |
сходятся и их суммы равны A и |
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
то ряд (an bn ) |
также сходится и его сумма равна A B . |
||
n 1
B
соответственно,