Материал: Захаров, Сайфутдинов - Вычислительная техника

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему осу-

ществляется путем замены каждой цифры эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр) соответственно.

Пример.

537,18 = 101 011 111, 0012; 1А3, F16 = 1 1010 0011, 11112.

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой.

Например:

10101001,101112 = 10 101 001, 101 1102 = 251, 568;

2 5 1 5 6

10101001,101112 = 1010 1001, 1011 10002 = А9, В816.

А 9 В 8

При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы счисления в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

16

Контрольные вопросы

1.Что такое система счисления?

2.Какие система счисления используются для представления информации в компьютерах?

3.В чем отличие позиционной системы счисления от непозиционной?

4.Что называется основанием системы счисления?

5.Назовите порядок перевода чисел из десятичной в двоичную, восьмеричную

ишестнадцатеричную системы счисления.

17

2. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ

2.1. Основы алгебры логики

Основой построения любого устройства, использующего цифровую информацию, являются элементы двух типов: логические и запоминающие. Логические элементы выполняют простейшие логические операции над цифровой информацией, а запоминающие – ее хранят.

Логическая операция состоит в преобразовании по определенным правилам входной информации в выходную. Сигналы на входах и выходах логических элементов обычно являются двоичными (бинарными), т. е. принимают лишь два значения, символически обозначаемые как 0 и 1. Поэтому их также называют двоичными переменными и обозначают буквами латинского алфавита (входные сигналы xl, x2, ..., xn, а результат операции, т. е. выходной сигнал – у). Переменная х может принимать два значения: либо х = 1 (событие истинно), либо х = 0 (событие ложно). Эти переменные называются также булевыми по имени английского математика Дж. Булля, который в середине XIX века разработал основные положения алгебры логики.

Различные логические переменные могут быть связаны функциональными зависимостями. Например, y = f(x1, x2) указывает на функциональную зависимость логической переменной у от логических переменных х1 и х2, называемых аргументами (или входными переменными).

2.2.Основные законы алгебры логики

Валгебре логики имеются четыре основных закона: переместительный (свойство коммутативности); сочетательный (свойство ассоциативности); распределительный (свойство дистрибутивности); инверсии (закон де Моргана).

Переместительный и сочетательный законы имеют место в обычной алгебре. Распределительного закона и закона инверсии в обычной алгебре нет.

Соотношения, отображающие основные законы алгебры логики, приведены в таблице 2.1.

18

Используя основные законы алгебры логики, можно составить ряд правил, которые применяются при анализе сложных логических выражений, приведения их к более простому и удобному виду (таблица 2.2).

Законам и правилам булевой алгебры присуще свойство симметрии. Все правила (кроме последнего) представлены парой соотношений. В каждой паре одно соотношение вытекает из другого заменой логического сложения логическим умножением и наоборот. Кроме того, все значения «0» заменяются на «1» и наоборот. Это свойство симметрии отражает принцип двойственности булевой алгебры.

Правило склеивания широко используется при минимизации логических функций с целью их упрощения.

19

2.3. Преобразование булевых выражений

Рассмотренные законы и правила используются для тождественных преобразований булевых выражений, описывающих логические функции. Булевое выражение представляет собой формулу, состоящую из логических констант и логических переменных, соединенных знаками логических операций. Как и в обычной алгебре для задания порядка выполнения логических выражений используются скобки. Примером

Обычно считают, что операция логического умножения всегда предшествует операции логического сложения.

Преобразуем выражение (2.1), применив законы и правила алгебры логики.

(х1 х2 х3 х1 х2 )(х1 х3 ) х1 х2 х3 х1 х1 х2 х3 х3 х1 х2 х1

х1 х2 х3 х1 х2 х3 х1 х2 х1 х2 х3 х2 х3 (х1 х1 ) х1 х2

х2 х3 х1 х2 х2 (х3 х1 ). (2.2)

Полученное в результате тождественных преобразований выражение (2.2) значительно проще выражения (2.1). Процесс упрощения логического выражения, основанный на тождественных преобразованиях, называется минимизацией булевых выражений.

2.4. Дизъюнктивные нормальные формы

Для записи одной и той же функции алгебры логики можно использовать различные формы. Формы, которые представляют суммы элементарных произведений, называют дизъюнктивными нормальными формами (ДНФ).

Под элементарным понимается такое произведение, в котором сомножителями являются только отдельные переменные или их отрицания. Например, формула f(x1, x2, x3) = х2 х3 х1 х2 содержит два элементарных произведения, каждое из которых состоит из двух сомножителей. Очевидно, одна и та же функция может быть представлена множеством различных ДНФ. Однако существуют такие виды ДНФ,

20