Документ: Захаров, Сайфутдинов - Вычислительная техника, страницы 11-15

222,22 = 2 102 + 2 101 + 2 100 + 2 10-1 + 2 10-2.

Аналогично

725 = 7 102 + 2 101 + 5 100;

1304,5 = 1 103 + 3 102 + 0 101 + 4 100 + 5 10-1; 50328,15 = 5 104 + 0 103 + 3 102 + 2 101 + 8 100 + 1 10-1 + 5 10-2.

Таким образом, любое число А можно представить в виде полинома путем разложения его по степеням числа 10:

A10 = аn 10n + аn-1 10n-1 + ... + а1 101 + а0 100 + a-1 10-1 + ... + а–m 10-m +...,

последовательность из коэффициентов которого представляет собой десятичную запись числа А10:

A10 = аn аn-1 ... а1 а0 , a–1 ... a –m …

Запятая, отделяющая целую часть числа от дробной, служит для фиксации конкретных значений каждой позиции в этой последовательности цифр и является началом отсчета.

1.2. Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Примеры изображения чисел в данных системах счисления представлены в табл. 1.2.

В современной вычислительной технике, в устройствах автоматики и связи используется в основном двоичная система счисления, что обусловлено рядом преимуществ данной системы счисления перед другими системами. Так, для ее реализации нужны технические устройства лишь с двумя устойчивыми состояниями, например материал намагничен или размагничен (магнитные ленты, диски), отверстие есть или отсутствует (перфолента и перфокарта). Этот метод обеспечивает более надежное и помехоустойчивое представление информации, дает возможность применения аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации. Кроме того, арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются наиболее просто.

11

			Таблица 1.2
			Шестнадцатеричная
Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная

0	00000	0	0

1	00001	1	1

2	00010	2	2

3	00011	3	3

4	00100	4	4

5	00101	5	5

6	00110	6	6

7	00111	7	7

8	01000	10	8

9	01001	11	9

10	01010	12	А

11	01011	13	В

12	01100	14	С

13	01101	15	D

14	01110	16	Е

15	01111	17	F

16	10000	20	10

17	10001	21	11

18	10010	22	12

19	10011	23	13

20	10100	24	14

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи больших чисел. Этот недостаток не имеет существенного значения для ЭВМ. Если же возникает необходимость кодировать информацию, «вручную», например при составлении программы на машинном языке, то используют восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления. Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в 3 (восьмеричная) и в 4 (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (числа 8 и 16 — соответственно 3-я и 4-я степени числа 2), а перевод их в двоичную систему счисления и обратно осуществляется гораздо проще в сравнении с десятичной системой счисления.

12

Арифметические операции в двоичной системе счисления

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицей сложения, вычитания и умножения (табл. 1.3).

		Таблица 1.3

Сложение	Вычитание	Умножение

0 + 0 = 0	0 – 0 = 0	0 0 = 0

0 + 1 = 1	1 – 0 = 1	0 1 = 0

1 + 0 = 1	1 – 1 = 0	1 0 = 0

1 + 1 = 10	10 – 1 = 1	1 1 = 1

Единица – перенос в старший разряд

Правила арифметики во всех позиционных системах счисления аналогичны. В двоичной системе счисления арифметическое сложение происходит по правилу сложения по модулю два с учетом переноса единицы в старший разряд.

Пример. Выполнить операцию арифметического сложения в двоичной системе

счисления чисел 13 и 7.
1310			= 11012					710	= 01112
Решение:					+	13			+ 01101
						7			00111
						20 10			10100 2
При сложении двух единиц результат операции равен нулю и единица перено-
сится в соседний разряд.
4		3	2 1	0
1 0 1 0 0 2 = 1 2 4 + 0 2									3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 0 2 0 = 20 10.
Пример. Выполнить операцию арифметического вычитания в двоичной систе-
ме счисления чисел 12 и 7.
									1 11
Решение:					–	12			– 1 1 0 0
						7			0 1 1 1
							5	10	0 1 0 1	2
При вычитании из нулевого разряда в данном разряде образуются две единицы,
а в соседних нулевых разрядах возникает единица.
3	2	1	0			3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 5 10.
0 1 0 1 2 = 0 2						3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 5 10.
									13

Таблицы сложения для восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления представлены на рис. 1.1 и 1.2.

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

		Рис. 1.1. Таблица сложения для восьмеричной систем счисления

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F

0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F

1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F	10

2	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F	10	11

3	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F	10	11	12

4	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F	10	11	12	13

5	5	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F	10	11	12	13	14

6	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F	10	11	12	13	14	15

7	7	8	9	А	В	С	D	Е	F	10	11	12	13	14	15	16

8	8	9	А	В	С	D	Е	F	10	11	12	13	14	15	16	17

9	9	А	В	С	D	Е	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18

А	А	В	С	D	Е	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19

В	В	С	D	Е	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A

С	С	D	Е	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1А	1B

D	D	Е	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1А	1В	1С

Е	Е	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1А	1В	1С	1D

F	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1А	1В	1С	1D	1E

Рис. 1.2. Таблица сложения для шестнадцатеричной системы счисления

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

14

1.3. Перевод числа из одной системы счисления в другую

При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q–1. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

Пример. Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмерич-

ную и шестнадцатеричную:
в двоичную	в восьмеричную	в шестнадцатеричную

Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.

Другой способ записи перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется следующим способом.

Исходное число делят на 2, результат пишут под исходным числом, а справа от черты в строке с исходным числом ставят 0, если деление без остатка, и 1, если остаток есть. Деление повторяют до тех пор, пока делимое не станет меньше делителя. Считывание результата производится снизу вверх.

Пример. В десятичной системе число А10 = 37. Получить число А в двоичной системе счисления.

37	2						37	1
1	18	2					37	1
1	18	2					18	0
	0	9	2				18	0
	0	9	2				9	1
		1	4	2			4	0
			0	2	2		2	0
				0		1	1
				0		1

А10 = 37 А2 = 100101

15

Материал: Захаров, Сайфутдинов - Вычислительная техника

Смотрите также:

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16