Курсовая работа (т): Виды нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка

Виды нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка

ПГУ им. Т.Г. Шевченко

Курсовая работа

Виды нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка

Выполнил:

студент 211 группы

специальности «ИКТиСС»

Бирт Игорь Андреевич

Тирасполь 2014 год

ВВЕДЕНИЕ

Дифференциальное уравнение - уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.

Порядок дифференциального уравнения - наибольший порядок производных, входящих в него.

Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на линейные и не линейные.

Нелинейное дифференциальное уравнение - дифференциальное уравнение (обыкновенное или с частными производными), в которое по крайней мере одна из производных неизвестной функции (включая и производную нулевого порядка - саму неизвестную функцию) входит нелинейно.

Иногда под Н.Д.У. понимается наиболее общее уравнение определенного вида. Напр., нелинейнымобыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка наз. уравнение  с произвольной функцией  при этом линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка соответствует частному случаю

Н. д. у. с частными производными 1-го порядка для неизвестной функции z от независимых переменных  имеет вид:

где F- произвольная функция своих аргументов;

Виды нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка

Уравнения с разделенными переменными

П1.

Общий интеграл

П2.

Общий интеграл

Уравнение в полных дифференциалах

Где

Существует такая функция u(x, y), что

Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах u(x, y) = C.

Функция u может быть представлена в виде

Однородное уравнение

где P(x, y), Q(x, y) - однородные функции одной и той же степени

.

Подстановка y = ux, dy = xdu + udx переводит однородное уравнение в линейное относительно функции u:

Уравнение вида

. Если прямые  и  пересекаются в точке (x0; y0), то замена  приводит его к однородному уравнению

. Если прямые  и  параллельны, то замена  приводит к уравнению с разделяющимися переменными

Уравнение Бернулли

Подстановкой  сводится к линейному

Уравнение Риккати

Если известно какое-либо из решений , то уравнение сводится к

линейному подстановкой .

Уравнение Лагранжа

Дифференцируя по x и полагая y' = p, приходим к линейному уравнению относительно x как функции p:

Уравнение Клеро

 - частный случай уравнения Лагранжа.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Уравнения Риккати

Решить дифференциальное уравнение

' = y + y2 + 1.

Решение.

Данное уравнение является простейшим уравнением Риккати с постоянными коэффициентами. Переменные x, y здесь легко разделяются, так что общее решение уравнения определяется в следующем виде:

Решить уравнение Риккати

Решение

Будем искать частное решение в форме:

Подставляя это в уравнение, находим:

Получаем квадратное уравнение для c:

Мы можем выбрать любое значение c. Например, пусть c = 2. Теперь, когда частное решение известно, сделаем замену:

Снова подставим это в исходное уравнение Риккати:

Как видно, мы получили уравнение Бернулли с параметром m = 2. Сделаем еще одну замену:

Разделим уравнение Бернулли на z2 (полагая, что z ≠ 0) и запишем его через переменную v:

Последнее уравнение является линейным и легко решается с помощью интегрирующего множителя:

Общее решение линейного уравнения определяется функцией

Теперь мы будем последовательно возвращаться к предыдущим переменным. Так как z = 1/v, то общее решение для z записывается следующим образом:

Следовательно,

Можно переименовать константу: 3C = C1 и записать ответ в виде

где C1 − произвольное действительное число.

Уравнения Бернули

Найти все решения дифференциального уравнения

Решение.

Данное уравнение является уравнением Бернулли с дробным параметром m = 1/2. Его можно свести к линейному дифференциальному уравнению с помощью замены

Производная новой функции z(x) будет равна

Разделим исходное уравнение Бернулли на

Аналогично другим примерам на этой веб-странице, корень y = 0 также является тривиальным решением дифференциального уравнения. Поэтому можно записать:

Заменяя y на z, находим:

Итак, мы имеем линейное уравнение для функции z(x). Интегрирующий множитель здесь будет равен

Выберем в качестве интегрирующего множителя функцию u(x) = x. Можно проверить, что после умножения на u(x) левая часть уравнения будет представлять собой производную произведения z(x)u(x):

Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения будет определяться выражением:

Возвращаясь к исходной функции y(x), записываем решение в неявной форме:

Итак, полный ответ имеет вид:

Уравнения с разделяющимися переменными

Найти все решения дифференциального уравнения

' = −xey.

Решение.

Преобразуем уравнение следующим образом:

Очевидно, что деление на ey не приводит к потере решения, поскольку ey > 0. После интегрирования получаем

Данный ответ можно выразить в явном виде:

В последнем выражении предполагается, что константа C > 0, чтобы удовлетворить области определения логарифмической функции.

Найти частное решение уравнения, при

(0) = 0.

Решение.

Перепишем уравнение в следующем виде:

Поскольку 1 + ex > 0, то при делении мы не потеряли никаких решений. Интегрируем полученное уравнение:

Теперь найдем константу C из начального условия y(0) = 0.

Следовательно, окончательный ответ имеет вид:

Уравнение Клеро

Найти общее и особое решения дифференциального уравнения