Уравнения динамики треугольной и квадратной кристаллических решёток
А.Е.Осокина
И.Е. Беринский
Существует множество способов моделирования структуры материалов. В частности, свойства микроструктуры материала определяются геометрией его кристаллической решётки. С развитием твердотельных физики и электроники стало необходимо всё чаще и точнее описывать процессы, протекающие в кристаллах. Большинство из этих материалов имеют сложную кристаллическую решётку. На данный момент подходы для описания динамики таких систем развиты недостаточно, поэтому в данной работе рассматривались более простые двумерные решётки: треугольная и квадратная, с целью развития методов описания структур материалов. Двумерные материалы, в частности, графен, имеют большие перспективы применения в электронике.
Примеры кристаллических решёток
Целью данной работы является вывод и решение уравнений движения двумерной квадратной и треугольной решётки с одинаковым типом частиц. В статье [1] рассматриваются треугольная и квадратная решётки, для которых получены уравнения движения с использованием уравнений Лагранжа второго рода. В данной работе используется другой подход, основанный на тензорной записи выражений для компонент силы. Полученные в результате дискретные уравнения сравниваются, затем проводится их континуализация для получения уравнений движения эквивалентной сплошной среды.
При исследовании движения частиц в решётках подразумевается, что атомы можно считать материальными точками, соединёнными между собой линейными пружинами.
Квадратная двумерная решётка.
Рассматривается взаимодействие частицы (i, j) с 4 ближайшими соседними частицами: (i +1, j), (i-1, j), (i, j +1), (i, j-1). (Рисунок 1)
Рисунок 1
Первый способ заключается в выражении силы через тензор жёсткости:
Рассмотрев получившееся выражение покомпонентно, получим уравнения:
Решение уравнения ищется в виде суперпозиции волн: [4]
кристаллический решетка квадратный треугольный
В процессе решения становится ясно, что удобнее всего выбрать периодические граничные условия Борна-Кармана, заключающиеся в том, что мы требуем периодичности функции по каждой из координат. [2]
Получим, в итоге, следующие [3]выражения для частот:
;
Разложив компоненты уравнений в ряд Тейлора до 2 порядка [5], получим континуальные выражения:
Второй способ вывода - через уравнения Лагранжа 2 рода, для этого запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий.
Подставив выражения для всех производных, получим из системы
следующие уравнения:
Сравнив их с выражениями, полученными первым способом, увидим, что они совпадают, следовательно, решениями являются выражения:
,
Треугольная двумерная решётка. (Рисунок 2)
Рисунок 2
Выражение для вектора силы через тензор жёсткости будет выглядеть следующим образом:
Рассмотрев покомпонентно этот тензор, получим систему[1]:
Континуальные уравнения в этом случае имеют вид:
(u и v здесь-континуальные составляющие, соответствующие дискретным смещениям x и y.)
В результате было получены уравнения, описывающие динамику двумерной квадратной решётки и найдены его решения. Получено выражение для треугольной кристаллической решётки. Помимо дискретных, также найдены континуальные уравнения для квадратной и треугольной решёток. В дальнейшем планируется получение решения уравнения треугольной решётки и моделирование более сложных решёток, в частности, гексагональной двумерной и трёхмерных решёток.
Литература
1. Метрикин А.В. «Higher-order continua derived from discrete media: continualisation aspects and boundary conditions.»
2. Ашкрофт. «Физика твердого тела» (т.2) стр. 122-130.
3. А.В. Окомельков. «Спектр нормальных волн в двумерной решётке нейтральных атомов»
4. А.В. Порубов, И.В Андрианов. «Nonlinear waves in diatomic crystals.»
5. Борн М., Кунь Х. «Динамическая теория кристаллических решёток» стр. 70-77.