В статье «Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics» Constantino Tsallis (Constantino Tsallis, 1987) предлагается обобщение энтропии Больцмана, устраняя обязательное условие экстенсивности переменных системы. Это предположение позволяет моделировать поведение сложных систем с выраженной мультифрактальностью и heavy-tailored распределением, что, в частности, указывает на наличие дальних взаимодействий в замкнутой системе. Выводы Constantino Tsallis позволяют доказать существование одной из необходимых особенностей сложности системы, которая до появления этой работы была невозможна, путем сравнения энтропии системы рассмотрения с энтропией Tsallis и проверки гипотезы их распределения подобия (Tsallis, 1987).
Отдельно можно отметить ряд статей посвящённых физическому моделированию социальных сетей.
Работа «Statistical mechanics of complex networks» Reka Albert and Albert-Laszlo Barabasi (2002) посвящена исследованию физической природы любых организационных структур с точки зрения их математического анализа. В статье отмечается, что сложные сети описывают широкий спектр систем в природе и обществе. Например сложными системами часто называют: устройство клетки, сеть химических веществ, связанных химическими реакциями, и др. Но ведь и интернет это есть сеть маршрутизаторов и компьютеров, соединенных физическими связями. Хотя традиционно все эти системы были смоделированы как случайные графы, все чаще отмечается, что топология и эволюция реальных сетей регулируются надежными организационными принципами. В этой статье актуальные исследования сложных сетей, однако, основное внимание уделяется статистической механике и топологии и динамики сети. Авторы исследования обсуждают основные модели и аналитические инструменты, охватывающие случайные графики, сети малого масштаба, возникающую теорию эволюционирующих сетей и взаимодействие между топологией и устойчивость сети к отказам и атакам.
Работа «Phase of Ising spins on modular networks analogous to social polarization» (2009) Subinay Dasgupta, Raj Kumar Pan, and Sitabhra Sinha посвящена исследованию модели Изинга. Модель Изинга описывает процессы упорядочивания в сложных сетях. Так процессы координации в сложных системах могут быть связаны с проблемой коллективного упорядочения в сетях, многие из которых имеют модульную организацию. Авторы исследования отмечают, что исследуя переход порядка и беспорядка на модульные случайные сети, они наблюдали различные формы формирования консенсуса в обществе. На основе наблюдений они выделили две различные фазы: упорядочение внутри каждого модуля при критической температуре, за которым следует глобальное упорядочение при более низкой температуре. Это указывает на поляризацию общества на группы, имеющие противоположные мнения, которые могут сохраняться бесконечно, даже когда взаимное взаимодействие между агентами способствует достижению консенсуса.
Работа «Bose-Einstein Condensation in Complex Networks» Ginestra Bianconi (2001) посвящена исследованию природы различных социальных сетей на предмет их рассмотрения с точки зрения природы равновесных квантовых газов. Эволюция многих сложных систем, в том числе сетей интернет, социальный сетей и др., кодируется в динамической сети, описывающей взаимодействия между составляющими системы. Несмотря на их необратимый и неравновесный характер, эти сети следуют за статистикой Бозе и могут подвергаться конденсации Бозе-Эйнштейна. Рассмотрение динамических свойств этих неравновесных систем в рамках равновесных квантовых газов предсказывает, что наблюдаемые в конкурентных системах явления «первопроходца», «пригодности-обогащения» и «победителя-все-все» являются термодинамически-отличными фазами основных эволюционирующих сетей.
Еще одна модель физического моделирования посвящена модели квантового пробега. Работа «Degree Distribution in Quantum Walks on Complex Networks» (2013) Faccin M, Johnson T, Biamonte J, Kais S посвящена анализу квантового блуждания по сложным сетям, которое моделируют сетевые процессы, от квантовых вычислений до биологии и даже социологии. В частности, в статье аналитически относят среднее распределение вероятности долгого времени для местоположения унитарного квантового ходока по сравнению с соответствующим классическим ходоком.
В работе «Statistical mechanics of community detection» (2006) Reichardt J, Bornholdt S., рассматриваются методы нахождения сообществ и первоначальных состояний. В данной работе структура сообщества сети интерпретируется как spin configuration, это минимизирует энергию spin glass, причем такие состояния являются индексами сообщества. Авторы выясняют свойства конфигурации основного состояния, чтобы дать краткое определение сообществ как сплоченных подгрупп в сетях, которые адаптированы к конкретному классу исследуемой сети. Кроме того, авторы работы показывают, как иерархии и совпадения в структуре сообщества могут быть обнаружены.
Предметная область
В последние годы наука о сетях становится отдельной новой дисциплиной, имеющей большое значение. Началом данной науки можно отметить 2005 год, когда Национальный исследовательский совет Соединенных Штатов определил науку о сетях как новое поле фундаментальных исследований (National Research Council Committee on Network Science for Future Army Applications, 2005). Самые выдающиеся академические издательские компании объявляют о запуске новых журналов, посвященных сложным сетям, один за другим:
· Журнал Journal of Complex Network by Oxford University Press
· Журнал Network Science by Cambridge University Press
Ведущие университеты также постоянно создают исследовательские центры для исследования сложных сетей, такие как: Йельский университет, Университет Дьюка, Северо-восточный университет, Центрально-Европейский университет, последние два из них запустили программы PhD в этой области. Значение теории сети также отражено в большом количестве публикаций о сложных сетях и в огромном числе цитирования пионерских работ Барабаша и Альберта (Barabasi, Albert, 1999) и Ватса и Строгаца (Watts, Strogatz, 1998), которые первыми обратили внимание на сложные сетей. Некоторые ученые интерпретируют сетевую науку как новый сдвиг парадигмы (Kocarev, Visarath, 2010). Сложные сети влияют на исследовательское сообщество, но они даже появлялись в популярной литературе (Watts, 2003) и средствах массовой информации (Bollobas, Riordan, 2004).
Сложные сети исследуют несколько разрозненных дисциплин математики, в первую очередь, с точки зрения, теории графов и вероятностей. Математики иногда испытывают трудности с науками о сети, поскольку в основном исследования ведутся с эмпирической точки зрения без математической строгости, но с понятиями, основанными на симуляциях. Также важно упомянуть некоторые критические высказывания в области сложных сетей. Некоторые статьи ставят под сомнение вездесущность безмасштабного свойства, но допускают предположение о том, что биологические сети или сеть Интернет свободны от масштаба (Lima-Mendez, Helden, 2009), (Tanaka, 2005), (Willinger, Alderson, Doyle, 2009). В этих документах утверждается, что в большинстве случаев, в публикациях недостаточно данных, а измерения не имеют удовлетворительного качества для не удовлетворяют цели, для которой они предназначены, кроме того, нет тщательных статистических испытаний (Stumpf, Porter, 2012). Критики теории науки о сетях также отмечают недостаточность дифференциации методов применяемых в исследованиях: при изучении сетей обычно нет статистически чистого разделения данных, используемые модели, зачастую применяются на этапах и выборки и проверки. Из недостатков исследовательских методов, также отмечается, что множество утверждений получается путем подстроения и подгонки, например, создание логарифмических графиков степени по частоте и установке прямой линии. Неточность подчеркивается тем, что обычно используемые методы, такие как подгонка наименьших квадратов, могут давать достаточно неточные оценки параметров (Clauset, Shalizi, Newman, 2009). Стоить отметить, что важность изучения сложных сетей и наук о сетях в целом, не ставит под сомнение не один из исследователей. В первую очередь среди тех, кто критикует существующие теории, вызывают озабоченность именно методов и заявления существующих исследователей сложных сетей.
Теория сетей обладает большим потенциалом для изучения математики с несколькими выдающимися математическими вызовами. Чтобы устранить существующую двусмысленность в математической формулировке и методах исследования. Многие выдающиеся математики пытаются построить математически прочную основу данной проблемы: развивая теорию беспорядочных случайных графов (Bollobas, Riordan, 2003, 2004), развивая теорию графовых последовательностей и границ графа (Lovasz, 2012), (Borgs, Chayes, Lovasz, Sos, Szegedy, Vesztergombi, 2006), вырабатывая точные концепции теории графов без шкалы (Li, Alderson, Doyle, Willinger, 2005), создавая определения математических основ случайных сетевых моделей (Hofstad, 2009). Тем не менее можно утверждать, что математически строгие концепции и теории иногда не отвечают реальным интересам исследователей данной проблемы. Пример: большинство теорий разработаны для графиков, стремящихся к бесконечности, но для практических целей больше интересны сети реального мира (которые, безусловно, имеют конечные узлы). Важно также отметить, что как и в научной литературе, так и в этой работе в большинстве случаев понятие network (сеть) и graph (граф) являются взаимозаменяемыми понятиями. Обычно мы используем понятие сеть, если хотим подчеркнуть его реальный характер, и понятие граф, если хотим подчеркнуть его математические свойства.
Одним из ключевых направлений данной работы является изучение сложных сетей. Сложные сети широко изучаются, так как они описывают, широкий спектр систем, охватывающих множество различных дисциплин, таких как биология (например, сети взаимодействия с белками), информационные технологии (например, всемирная паутина, Интернет), социальные науки (например, социальные сети, сетей связей человека) и т. д. Соответственно, сети появляются в науке повсеместно, поскольку они могут представлять различные системы в разумной форме. Характеристика топологии сетей очень важна для широкого спектра статических и динамических свойств (например, топология социальных сетей влияет на распространение информации и вирусов). Одно из самых важных открытий состоит в том, что, несмотря на разнообразие сетей, большинство сетей реального мира имеют особые свойства, которые во многом отличаются от случайных сетей (например, случайный граф Erdos-Renyi random graph (Erdos, Renyi, 1960)). Основными типами графов сложных сетей привлекающих внимание в последнее время являются: small-world и scale-free графы. Small-world - это такой тип графа, в котором среднее расстояние между вершинами логарифмически масштабируется с количеством узлов (Watts, Strogatz, 1998). Scale-free - это такой тип графа, в котором распределение степени следует степенному закону (Barabasi, Albert, 1999).
Другими фундаментальными основами, которые находятся в центре внимания этой работы, являются самоподобие и фрактальность. Фрактальность, иными словами, исследует выглядит ли вся сеть так же, как и ее подразделение. Несмотря на то, что нет разницы между фрактальностью и самоподобием по отношению к регулярным фрактальным объектам, в теории сетей принято различать эти два термина: фрактальность означает степенное соотношение между минимальным количеством делений, необходимых для покрытия всей сети, и размером этих делений, тогда как самоподобная сеть определяется как сеть, распределение степени которой инвариантно относительно перенормировки (Song, Havlin, Makse, 2005).
Ключевые термины и определения
В этом разделе автор исследования вводит наиболее важные определения теории сетей и фиксирует обозначения, используемые в данной работе. Отмечая тот факт, что сеть означает систему, которая может быть смоделирована графиком (в большинстве случаев неориентированным одиночным графом), многие понятия в данной работе исходят из теории графов. Тем не менее, тема исследуемая в данной работе очень новая, поэтому она исследуется в основном эмпирически: с более практической точки зрения учеными из нескольких дисциплин, в связи с этим, определения не всегда точны в математическом смысле, а иногда терминология не является следствием математики указанной в статьях. В качестве источников для создания определений терминов автор исследования опирался на ряд источников (Bornholdt, Schuster, 2002), (Wang, 2011), (Rozenfeld, Gallos, Song, Makse, 2009).
· Граф (graph) - упорядоченная пара G = (V; E), где V - множество вершин или узлов, E множество ребер или связей, которые являются двухэлементными подмножествами V. Это определение неориентированного и простого графа, поскольку оно не допускает ни петель (саморебер), ни кратных ребер между элементами V. Заметим, что иногда множество вершин (узлов) обозначается через N.
· Путь (path) представляет собой последовательность ребер, окончание предыдущего края является источником следующего ребра. Длина пути - это число его ребер.
· Путь является геодезическим (geodesic path), если его конечные точки не могут быть связаны более коротким путем.
· Геодезическая длина (length of a geodesic) между вершинами u и v равна расстоянию d (u; v) этих вершин.
· l-neighborhood (окрестность) вершины u - это множество вершин v, расстояние от которых не больше l.