Материал: Темы по Котелку и ИКМ

3.Теорема Котельникова.

1. Разложение непрерывных сигналов в ряд Котельникова Телекоммуникационные сигналы делятся на непрерывные и дискретные. Непрерывные сигналы (функции) могут принимать любые , сколь угодно близкие друг к другу значения, в любые моменты времени. Примером непрерывного сигнала является гармоническое колебание.

Дискретные (цифровые) сигналы могут принимать только заранее известные значения, отличающиеся одно от другого на конечную величину, причем изменяться эти значения могут только в определенные моменты времени. Примером дискретного сигнала является (см. рис.2.1 ) периодическая последовательность прямоугольных импульсов, которая в моменты времени ( -/2 +кТ ) принимает значения или 0, или А.

Любая непрерывная функция, спектр которой не содержит частот

выше ^_в , полностью определяется своими отсчетами, взятыми через

интервал времени _{t  /в} . ( Теорема Котельникова)

Временные диаграммы непрерывного сигнала x(t) и дискретизированного x _д(t) имеют вид:

x(t)

t

Рис. 3.1

x_д(t)

0 t 2t 3t 4t t



x(t)  _

_x(kt) sin _в (t  kt)

k 

_в (t  kt)

(3.1)

x ( k  t ) 

отсчёты

(sin

^ вер

( t 

k  t ))

^{/ } вер

( t 

k  t ) 

функции

 отсчётов

Ряд Котельникова – это разложение сигнала нальным функциям ^_k ^(t) .

_k (t)  (sin_вер (t  kt)) /_вер (t  kt)

x(t)

в ряд по ортого-

(3.2)

Теоретически дискретизация осуществляется с помощью -импульсов .

Временная диаграмма одиночного - импульса имеет вид:

Рис. 3.2 t





 ( t  a )

0 , t

 , t

_ 

 0

 0

0 , t  a



,

t



a



Спектр одиночного ^ - импульса получим, используя преобразование Фурье:



^S  ^{( j  ) }



_  ( t ) e ^

 

^{j  t} dt  1

Использовано "фильтрующее" свойство дельта-функций:



_(t a)f (t)dt f (a)



Следовательно, спектр одиночного дельта-импульса имеет вид: S(j)

Рис. 3.3



Чтобы получить отсчёты функции

^{x (t )} перемножим функцию

^{x (t )} на

периодическую последовательность ^ - импульсов с периодом Т=t. Временная диаграмма периодической последовательности дельта- импульсов имеет вид:

u_(t)

.

-4t -3t -2t -t 0 t 2t 3t 4t t

Рис.3.4

Так как сигнал периодический, то его спектр будет дискретным.

k



_{C e} jkt

_{ … } ¹ _e2 jkt

t

_ 1

t

_e jkt

_ 1

t

_ 1

t

_e jkt _{ …}

k 

T

₁ 2

• jkt ¹

2 2

2

(3.3)

T

T

dt  _{t ;}

  

T t

_ в



 2_в  _д



2

Т = t ;

^ _д -частота дискретизации.

Спектр периодической последовательности ^ - импульсов в соответствии с формулой для U(t) имеет следующий вид :

S(j)

2. Спектр дискретизированного сигнала.

Рассмотрим временные диаграммы исходного и дискретизированного сигналов:

x(t)

t

Рис. 3.6

x_д(t)

0 t 2t 3t 4t t

^x_д ^{(t)  x(t)U}_ ^(t) - дискретизированный сигнал

^x(t)- исходный сигнал.

^U_ ^(t)-периодическая последовательность ^ - импульсов

Разложим периодическую последовательность -импульсов в ряд Фурье, как мы это делали выше:

U_ (t )  … 

¹ _e j_дt _ ¹

t t

• ¹ e ^jдt  …

t

x_д (t ) 

x(t )U_

(t ) 

x(t )[… 

¹ _e j_дt _ ¹

t t

• ¹ _e j_дt

t

 …]

Найдём спектр дискретизированного сигнала.



^S д ^{( ) }



1



_ x(t)e^

j ( _д )t _{dt } ¹



_ x(t)e^{ jt} dt 



 ^t  ^t 



j ( _д )t _{dt …  … }



1



1

(3.4)

^t 

t t

1

_t Sx(  _д )  _t Sx(  2_д )  ...

--3_д -2_д -_д 0 _д 2_д 3 _д 

Т.о. мы видим, что спектр дискретизированного сигнала содержит спектр ^{исходного сигнала S}x^{(), спектр исходного сигнала смещенный на} величину частоты дискретизации вправо Sx( - _д), тот же спектр смещенный на величину частоты дискретизации влево Sx(+ _д), тот же спектр смещенный на величину 2_д и т.д.

Спектр исходного непрерывного сигнала.

-_g _g 



(-_д - _в) -  _д - _в 0 _в _д (_д + _в) 

3. Спектр дискретизированного сигнала при дискретизации импульсами конечной длительности (сигнал

амплитудно-импульсной модуляции или АИМ сигнал).

Очевидно, что реально мы располагаем не последовательностью дельта-импульсов, а последовательностью импульсов конечной длительности.

В результате процесса дискретизации мы получим не последовательность дельта-импульсов, амплитуда которых соответствует значению непрерывного сигнала в тактовые моменты времени, а последовательность реальных, например, прямоугольных импульсов, амплитуда которых соответствует значениям непрерывного сингнала в тактовые моменты времени.

Рассмотрим временные диаграммы :

x(t) аналоговый сигнал

U(t)

t периодическая последовательность импульсов

t

Xаим(t) сигнал аим

t

0 t 2t 3t 4t …… Рис.3.10.

АИМ сигнал можно записать в виде:

д

АИМ

(t)  x(t)U (t)  x(t)^

_…

_ ^a1 _e^{ jдt}

2

_ a₀

2

_ ^a1 _e^{ jдt}

2

 …^

_

U(t)-периодическая последовательность импульсов.

В квадратных скобках – ряд Фурье для последовательности импульсов конечной длительности.

Спектр АИМ сигнала,следовательно, похож на спектр дискретизированного сигнала при дискретизации дельта -импульсами , но

амплитуда составляющих спектра убывает с ростом номера гармоники :



S_д() …