Материал: Тема-02 НЛУ

Тема 2. Методы решения нелинейных уравнений

2.1. Постановка задачи

Одной из важнейших и наиболее распространенных задач математического анализа является задача определения корней уравнения с одним неизвестным, которое в общем виде можно представить как f(x) = 0. В зависимости от вида функции f(x) различают алгебраические и трансцендентные уравнения. Алгебраическими уравнениями называются уравнения, в которых значение функции f(x) представляет собой полином n-й степени:

f(x) = Р(х) = a_n xⁿ + a₂ x² + …+ a₁ x + a₀ = 0. (1)

Всякое неалгебраическое уравнение называется трансцендентным уравнением. Функция f(x) в таких уравнениях представляет собой хотя бы одну из следующих функций: показательную, логарифмическую, тригонометрическую или обратную тригонометрическую.

Решением уравнения f(x)=0 называется совокупность корней, то есть такие значения независимой переменной , при которых уравнение обращается в тождество . Однако, точные значения корней могут быть найдены аналитически только для некоторых типов уравнений. В частности, формулы, выражающие решение алгебраического уравнения, могут быть получены лишь для уравнений не выше четвертой степени. Еще меньше возможностей при получении точного решения трансцендентных уравнений. Следует отметить, что задача нахождения точных значений корней не всегда корректна. Так, если коэффициенты уравнения являются приближенными числами, точность вычисленных значений корней заведомо не может превышать точности исходных данных. Эти обстоятельства заставляют рассматривать возможность отыскания корней уравнения с ограниченной точностью (приближенных корней).

Задача нахождения корня уравнения с заданной точностью ( >0) считается решенной, если вычислено приближенное значение , которое отличается от точного значения корня не более чем на значение e

(2)

Процесс нахождения приближенного корня уравнения состоит из двух этапов:

1. Отделение корней (локализация корней);

2. Итерационное уточнение корней.

На этапе отделения корней решается задача отыскания возможно более узких отрезков , в которых содержится один и только один корень уравнения.

Этап уточнения корня имеет своей целью вычисление приближенного значения корня с заданной точностью. При этом применяются итерационные методы вычисления последовательных приближений к корню: x₀, x₁, ..., x_n, …, в которых каждое последующее приближение x_n+1 вычисляется на основании предыдущего x_n. Каждый шаг называется итерацией. Если последовательность x₀, x₁, ..., x_n, … при n ® ¥ имеет предел, равный значению корня , то говорят, что итерационный процесс сходится.

Существуют различные способы отделения и уточнения корней, которые мы рассмотрим ниже.

2.2. Отделение корней

Корень уравнения f(x)=0 считается отделенным (локализованным) на отрезке , если на этом отрезке данное уравнение не имеет других корней. Чтобы отделить корни уравнения, необходимо разбить область допустимых значений функции f(x) на достаточно узкие отрезки, в каждом их которых содержится только один корень. Существуют графический и аналитический способы отделения корней.

2.2.1. Графическое отделение корней

Графическое отделение корней основано на графическом способе решения уравнений – отыскании точек, в которых функция f(x) пересекает ось 0Х.

Пример 2.2-1. Отделить корни уравнения ln (x-1)² – 0.5 = 0.

На рис. 2.2-1 изображен график функции y = ln (x-1)² – 0.5 , из которого следует, что уравнение имеет два действительных корня [-1;0] и [2;3].

Рис.2.2-1

В некоторых случаях удобно вначале преобразовать функцию f(x) к виду f(x)=g₁(x) - g₂(x), из которого, при условии f(x)=0, следует, что g₁(x)=g₂(x). При построении графиков y₁=g₁(x) и y₂=g₂(x) находят отрезки, содержащие точки пересечения этих графиков.

Пример 2.2-2. Отделить корни уравнения сos(x) – x + 1 = 0.

Приведем исходное уравнение к виду сos(x)= x – 1. Построив графики функций y₁ = сos(x) и y₂ = х – 1 (рис. 2.2-2), выделим отрезок, содержащий корень [1;2].

Рис. 2.2-2

2.2.2. Аналитическое отделение корней

Аналитическое отделение корней основано на следующей теореме.

Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [a;b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то на отрезке [a;b] содержится один корень уравнения f(x)=0.

Действительно, если условия теоремы выполнены, как это имеет место на отрезке [a;b] (рис. 1.2-3), то есть f(a)∙f(b)<0 и f'(x)>0 для xÎ [a;b], то график функции пересекает ось 0Х только один раз и, следовательно, на отрезке [a;b] имеется один корень уравнения f(x) = 0.

Аналогично можно доказать единственность корня на отрезке [c;d], на [d;e] и т.д

Рис. 2.2-3

Таким образом, для отделения корней нелинейного уравнения необходимо найти отрезки, в пределах которых функция монотонна и изменяет свой знак. Принимая во внимание, что непрерывная функция монотонна в интервалах между критическими точками, при аналитическом отделении корней уравнения можно рекомендовать следующий порядок действий:

1. установить область определения функции;

2. определить критические точки функции, решив уравнение f¢(x)=0;

3. составить таблицу знаков функции f(x) в критических точках и на границах области определения;

4. определить интервалы, на концах которых функция принимает значения разных знаков.

Пример 2.2-3. Отделить корни уравнения x - ln(x+2) = 0.

Область допустимых значений функции f(x) = x - ln(x+2) лежит в интервале (-2; ∞), найденных из условия x+2>0. Приравняв производную f¢(x)=1-1/(x+2) к нулю, найдем критическую точку х_k= -1. Эти данные сведены в табл. 1.2-1 и табл. 1.2-2 знаков функции f(x).

Таблица 2.2-1 Таблица 2.2-.2

x	x→-2	-1	x→∞		x	-1.9	-1.1	-0.9	2.0
Sign(f(x))	+	-	+		Sign(f(x))	+	-	-	+

Уравнение x - ln(x+2) = 0 имеет два корня (-2;-1] и [-1; ∞) . Проверка знака функции внутри каждого из полученных полуинтервалов (табл.2.2) позволяет отделить корни уравнения на достаточно узких отрезках [-1.9;-1.1] и [-0.9;2.0].

2.3. Уточнение корней

Задача уточнения корня уравнения с точностью , отделенного на отрезке [a;b], состоит в нахождении такого приближенного значения корня , для которого справедливо неравенство . Если уравнение имеет не один, а несколько корней, то этап уточнения проводится для каждого отделенного корня.

2.3.1. Метод половинного деления

Пусть корень уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a;b], то есть на этом отрезке имеется единственный корень, а функция на данном отрезке непрерывна.

Метод половинного деления позволяет получить последовательность вложенных друг в друга отрезков [a_1;b₁], [a₂;b₂], …,[a_i;b_i],…, [a_n;b_n], таких что f(a_i).f(b_i) < 0, где i=1,2,…,n, а длина каждого последующего отрезка вдвое меньше длины предыдущего:

Рис.2.3-1

Последовательное сужение отрезка вокруг неизвестного значения корня обеспечивает выполнение на некотором шаге n неравенства |b_n - a_n| < e. Поскольку при этом для любого хÎ[a_n;b_n] будет выполняться неравенство | - х| < , то с точностью любое

может быть принято за приближенное значение корня, например его середину отрезка

В методе половинного деления от итерации к итерации происходит последовательное уменьшение длины первоначального отрезка [a₀;b₀] в два раза (рис. 2.3-1). Поэтому на n-м шаге справедлива следующая оценка погрешности результата:

(2.3-1)

где - точное значение корня, х_nÎ [a_n;b_n] – приближенное значение корня на n-м шаге.

Сравнивая полученную оценку погрешности с заданной точностью , можно оценить требуемое число шагов:

(2.3-2)

Из формулы видно, что уменьшение величины e (повышение точности) приводит к значительному увеличению объема вычислений, поэтому на практике метод половинного деления применяют для сравнительно грубого нахождения корня, а его дальнейшее уточнение производят с помощью других, более эффективных методов.

Рис. 2.3-2. Схема алгоритма метода половинного деления