Рассмотрим точку , лежащую вне ОЗЭ. Опустим из этой точки перпендикуляр на поверхность эллипсоида и продолжим его до пересечения с экваториальной плоскостью (рис. 1). Проекцию точки на поверхность эллипсоида обозначим через Тогда отрезок PQ есть геодезическая высота точки . Угол, под которым упомянутый перпендикуляр пересекает плоскость экватора, есть геодезическая широта . Она относится как к точке , так и к точке . Геоцентрические широты этих двух точек, как видно из рисунка, различаются. Геоцентрическая широта точки угол между радиус-вектором этой точки и плоскостью экватора.
Рис. 1
Установим связь между координатами точки , сжатием эллипсоида и широтами и . Поскольку точка лежит на поверхности эллипсоида, то ее прямоугольные координаты подчиняются уравнению эллипсоида вращения: . Рассмотрим сечение . Тогда, как легко видеть, . Чтобы определить , нужно найти угловой коэффициент нормали в точке . Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид
(2.3)
У нас
,
поэтому
, ,
Следовательно,
Определим отличие геоцентрической широты от геодезической . Имеем очевидные равенства
(2.4)
Второй эксцентриситет эллипса, как мы знаем, определяется следующим образом , поэтому
Для Земли второй эксцентриситет мал, поэтому, пренебрегая малыми второго порядка относительно сжатия, получим . Можно также считать, что
Учитывая сказанное, получим
Наибольшее отличие геодезической широты от геоцентрической достигается на широте 45° и составляет.
Связь глобальных декартовых координат с геоцентрическими определяется формулами (2.1). Определим теперь формулы, связывающие декартовы координаты с геодезическими. Это означает, что бы должны определить координаты точки через параметры эллипсоида и геодезические широту и долготу.
Поскольку , для определения координат , , точки достаточно, для начала, определить только координаты и , то есть все рассуждения проводить только для сечения . Обратимся к рис. 2.
Рис. 2
Определим прямоугольные координаты точки , расположенной на высоте Н над поверхностью эллипсоида. Сначала определим координаты проекции точки на поверхность эллипсоида (точка ). Ее координаты в сечении Охz равны
Индексом "0" мы отметили принадлежность координат к точке, лежащей на поверхности эллипсоида. Как мы видели
поэтому
Остается определить радиус-вектор точки . Воспользуемся уравнением эллипса и выполним необходимые преобразования.
(2.5)
Выразим и через и , для чего воспользуемся приведенными выше формулами. Определим радиус-вектор точки
следовательно,
(2.6)
Обозначим
(2.7)
Теперь
(2.8)
Для произвольного сечения, проходящего через ось вращения , будем иметь
(2.9)
Теперь поднимем точку на высоту Н и совместим ее с точкой . Прямоугольные координаты изменятся на
(2.10)
Окончательно, теперь формулы для пересчета геодезических координат и Н в прямоугольные примут вид
(2.11)
Здесь , определенный формулой (2.7) имеет простой геометрический смысл: он равен отрезку нормали, проходящей через точку , от этой точки до точки пересечения ее с осью вращения эллипсоида. Справедливость этого утверждения предлагается доказать самостоятельно.
5. Эллипсоидальная система координат
Рассмотрим еще одну систему координат, имеющую приложение в теории гравитационного потенциала:
Эти формулы содержат не три, а четыре переменные величины. Четвертая переменная устанавливает семейство координатных поверхностей -- эллипсоидов. Убедимся в этом. Проделаем простые преобразования:
Разделив первое уравнение на а второе -- на , получим
Очевидно, что при получим уравнение эллипсоида вращения
где
Поскольку , имеем , отсюда параметр имеет простой физический смысл: он равен половине межфокусного расстояния. Понятно, что изменяя при условии , получим семейство софокусных эллипсоидов, играющих важную роль в теории потенциала фигур равновесия Построим теперь семейство координатных поверхностей . Проделаем очевидные преобразования
меняя , получим семейство однополостных гиперболоидов вращения. Обозначив , , получим уравнение гиперболоида в общепринятой форме.
Разделив у на х, получим . Изменяя , получим семейство плоскостей, проходящее через ось Оz. Все три семейства поверхностей образуют взаимно ортогональную систему.
Список использованной литературы
1. Маслов А.В., Гордеев А. В., Батраков Ю.Г. Геодезия. - М.:КолосС, 2006.
2. Кузнецов П.Н. Геодезия. - М.: Недра, 2003.
3. Маслов А.В., Юнусов А.Г., Горохов Г.И. Геодезические работы при землеустройстве. - М.: Недра, 1990.
4. Лысов А.В., Павлов А.П., Шиганов А.С. Геодезия. Методические указания по изучению дисциплины: Саратов, ФГОУ ВПО «Саратовский ГАУ им. Н.И. Вавилова». 2007.
5. Селиханович В.Г., Козлов В.П., Логинова Г.П. Практикум по геодезии. - М.: Недра, 1978.